이상적분 연습문제 | 빌드라인 스쿨

101.Active Calculus · 6.5절 · 12번대학 수준우리말 번역

때로는 대응하는 정적분(보통의 정적분)의 극한을 쉽게 구할 수 없는 이상적분을 만날 수 있다. 예를 들어 $\int_1^{\infty} \frac{1}{1+x^3} \, dx$ 를 생각해 보자. $\frac{1}{1+x^3}$ 의 부정적분을 구하기는 어렵지만(어쩌면 불가능하지만), 더 간단한 이상적분과 비교하여 이 이상적분이 수렴하는지 발산하는지는 여전히 판단할 수 있다. 모든 $x > 0$ 에 대해 $1 + x^3 > x^3$ 이고, 따라서

$\frac{1}{1+x^3} < \frac{1}{x^3}\,$

임을 관찰하자.

그러므로 모든 $b > 1$ 에 대해

$\int_1^b \frac{1}{1+x^3} \, dx < \int_1^b \frac{1}{x^3} \, dx$

이다. 두 이상적분 $\int_1^\infty \frac{1}{1+x^3} \, dx$ 와 $\int_1^\infty \frac{1}{x^3} \, dx$ 를 생각하기 위해 $b \to \infty$ 로 보내면, 두 이상적분 중 더 큰 것이 수렴함을 알 수 있다. 그러므로 더 작은 것은 수렴하는 적분보다 아래에 있으므로, 더 작은 것도 수렴해야 한다. 특히 대응하는 정적분의 극한을 직접 구하지 않았더라도 $\int_1^\infty \frac{1}{1+x^3} \, dx$ 는 수렴해야 한다. 이어지는 문제에서 이 생각과 비슷한 생각을 이용한다.

(a) 모든 $x \ge 1$ 에 대해 $x^2 + x + 1 > x^2$ 인 이유를 설명하고, 이로부터 $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx$ 와 비교하여 $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx$ 가 수렴함을 보이세요. (b) 각 $x > 1$ 에 대해 $\ln(x) < x$ 임을 관찰하세요. 각 $b > 2$ 에 대해 $\int_2^b \frac{1}{x} \, dx < \int_2^b \frac{1}{\ln(x)} \,dx$ 인 이유를 설명하세요. $\int_2^\infty \frac{1}{\ln(x)} \, dx$ 가 반드시 발산하는 이유는 무엇인지 설명하세요. (c) 모든 $x > 1$ 에 대해 $\sqrt{\frac{x^4+1}{x^4}} > 1$ 인 이유를 설명하세요. 그런 다음 이상적분 $\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \cdot \sqrt{\frac{x^4+1}{x^4}} \, dx$ 이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

영어 원문 보기

Sometimes we may encounter an improper integral for which we cannot easily evaluate the limit of the corresponding proper integrals. For instance, consider $\int_1^{\infty} \frac{1}{1+x^3} \, dx$ . While it is hard (or perhaps impossible) to find an antiderivative for $\frac{1}{1+x^3}$ , we can still determine whether or not the improper integral converges or diverges by comparison to a simpler one. Observe that for all $x > 0$ , $1 + x^3 > x^3$ , and therefore

$\frac{1}{1+x^3} < \frac{1}{x^3}\,.$

It therefore follows that

$\int_1^b \frac{1}{1+x^3} \, dx < \int_1^b \frac{1}{x^3} \, dx$

for every $b > 1$ . If we let $b \to \infty$ so as to consider the two improper integrals $\int_1^\infty \frac{1}{1+x^3} \, dx$ and $\int_1^\infty \frac{1}{x^3} \, dx$ , we know that the larger of the two improper integrals converges. And thus, since the smaller one lies below a convergent integral, it follows that the smaller one must converge, too. In particular, $\int_1^\infty \frac{1}{1+x^3} \, dx$ must converge, even though we never explicitly evaluated the corresponding limit of proper integrals. We use this idea and similar ones in the exercises that follow.

(a) Explain why $x^2 + x + 1 > x^2$ for all $x \ge 1$ , and hence show that $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx$ converges by comparison to $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx$ . (b) Observe that for each $x > 1$ , $\ln(x) < x$ . Explain why $\int_2^b \frac{1}{x} \, dx < \int_2^b \frac{1}{\ln(x)} \,dx$ for each $b > 2$ . Why must it be true that $\int_2^\infty \frac{1}{\ln(x)} \, dx$ diverges? (c) Explain why $\sqrt{\frac{x^4+1}{x^4}} > 1$ for all $x > 1$ . Then, determine whether or not the improper integral $\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \cdot \sqrt{\frac{x^4+1}{x^4}} \, dx$ converges or diverges.

정답·풀이 보기

(a) $x \ge 1$ 이므로 $x + 1 \ge 1 > 0$ 이고, 이 부등식의 양변에 $x^2$ 을 더하면 $x^2 + x + 1 > x^2$ 이 모든 $x \ge 1$ 에 대해 성립한다. 역수를 취하면(부등호의 방향이 바뀐다) $\frac{1}{x^2 + x + 1} < \frac{1}{x^2}$ 이므로 임의의 $b > 1$ 에 대해 $\int_1^b \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx < \int_1^b \frac{1}{x^2} \, dx\,.$ $b \to \infty$ 일 때의 극한을 취하면 $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx < \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx\,,$ 이고, $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx$ 가 수렴함을 알고 있으므로 $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx$ 도 수렴한다고 결론짓는다. (b) 각 $x > 1$ 에 대해 $\ln(x) < x$ 이므로, 모든 $x > 2$ 에 대해서도 $\ln(x) < x$ 이다. 역수를 취하면 $\frac{1}{x} < \frac{1}{\ln(x)}$ 이고, 따라서 각 $b > 2$ 에 대해 $\int_2^b \frac{1}{x} \, dx < \int_2^b \frac{1}{\ln(x)} \,dx$ 이다. $b \to \infty$ 일 때의 극한을 취하면 $\int_2^{\infty} \frac{1}{x} \, dx \le \int_2^{\infty} \frac{1}{\ln(x)} \,dx$ 이고, $\int_1^\infty \frac{1}{x} \, dx$ 가 발산함을 알고 있으므로 $\int_2^\infty \frac{1}{\ln(x)} \, dx$ 도 발산한다. (c) 모든 $x$ 에 대해 $x^4+1 > x^4$ 이므로, 모든 $x > 1$ 에 대해 $\frac{x^4+1}{x^4} > 1$ 이고, 따라서 제곱근을 취하면 모든 $x > 1$ 에 대해 $\sqrt{\frac{x^4+1}{x^4}} > 1$ 이다. 1부터 $b$ 까지 적분한 다음 $b \to \infty$ 로 보내면, 다음과 같이 말할 수 있다. $\int_1^{\infty} \sqrt{\frac{x^4+1}{x^4}} \, dx \ge \int_1^{\infty} 1 \, dx$ 피적분함수가 $0$ 으로 가까워지지 않으므로 $\int_1^{\infty} 1 \, dx$ 가 발산함은 명백하다. 위의 마지막 부등식에 의해 $\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \cdot \sqrt{\frac{x^4+1}{x^4}} \, dx$ 이 발산한다고 결론지을 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $x \ge 1$ , it follows that $x + 1 \ge 1 > 0$ , so adding $x^2$ to both sides of this inequality shows that $x^2 + x + 1 > x^2$ for all $x \ge 1$ . Taking reciprocals (which reverses the inequality), $\frac{1}{x^2 + x + 1} < \frac{1}{x^2}$ and thus for any $b > 1$ , $\int_1^b \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx < \int_1^b \frac{1}{x^2} \, dx\,.$ Taking the limit as $b \to \infty$ , it follows that $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx < \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx\,,$ and since we know that $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx$ converges, we conclude that $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2 + x + 1} \, dx$ also converges. (b) Since for each $x > 1$ , $\ln(x) < x$ , it also holds that $\ln(x) < x$ for all $x > 2$ . Taking reciprocals, $\frac{1}{x} < \frac{1}{\ln(x)}$ and thus $\int_2^b \frac{1}{x} \, dx < \int_2^b \frac{1}{\ln(x)} \,dx$ for each $b > 2$ . Taking the limit as $b \to \infty$ , we have $\int_2^{\infty} \frac{1}{x} \, dx \le \int_2^{\infty} \frac{1}{\ln(x)} \,dx$ and since we know that $\int_1^\infty \frac{1}{x} \, dx$ diverges, it follows that $\int_2^\infty \frac{1}{\ln(x)} \, dx$ also diverges. (c) Since $x^4+1 > x^4$ for all $x$ , it follows that $\frac{x^4+1}{x^4} > 1$ for all $x > 1$ , and thus taking square roots, $\sqrt{\frac{x^4+1}{x^4}} > 1$ for all $x > 1$ . Integrating from $1$ to $b$ and then letting $b \to \infty$ , we can next say that $\int_1^{\infty} \sqrt{\frac{x^4+1}{x^4}} \, dx \ge \int_1^{\infty} 1 \, dx$ It is obvious that $\int_1^{\infty} 1 \, dx$ diverges since the integrand does not tend to $0$ . By the last inequality above, we can conclude that $\int_1^{\infty} \frac{1}{x} \cdot \sqrt{\frac{x^4+1}{x^4}} \, dx$ diverges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.7절 · 15번

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