빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 적분 기법

삼각치환

√(a²−x²) 같은 꼴을 x=a sin θ 등으로 바꾸어 적분한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

5문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 3.3절 · 42번대학 수준우리말 번역

두 가지 서로 다른 치환을 사용하여 적분 ∫dx1−x2\int \frac{dx}{\sqrt{1-{x}^{2}}} 의 값을 구하세요. 먼저 x=cos⁡θx=\cos \theta 로 놓고 삼각치환을 이용하여 값을 구하세요. 다음으로 x=sin⁡θx=\sin \theta 로 놓고 삼각치환을 이용하세요. 두 답은 같은가요?

영어 원문 보기

Evaluate the integral ∫dx1−x2\int \frac{dx}{\sqrt{1-{x}^{2}}} using two different substitutions. First, let x=cos⁡θx=\cos \theta and evaluate using trigonometric substitution. Second, let x=sin⁡θx=\sin \theta and use trigonometric substitution. Are the answers the same?

정답·풀이 보기

arcsin⁡(x)+C\arcsin (x)+C 가 공통된 답이다.

원본 교재 풀이(영어)

arcsin⁡(x)+C\arcsin (x)+C is the common answer.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 40번
# 삼각치환활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.OpenStax 2권 · 3.3절 · 49번대학 수준우리말 번역

y=x2,y=0,x=0,그리고 x=2y={x}^{2},y=0,x=0,\text{그리고}\,x=\sqrt{2} 의 그래프로 둘러싸인 영역을 x축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 겉넓이를 구하세요. (답은 반올림하여 소수 셋째 자리까지 나타내세요.)

영어 원문 보기

Find the surface area of the solid generated by revolving the region bounded by the graphs of y=x2,y=0,x=0,and x=2y={x}^{2},y=0,x=0,\text{and}\,x=\sqrt{2} about the x-axis. (Round the answer to three decimal places).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 9번
# 삼각치환활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 2권 · 3.3절 · 54번대학 수준우리말 번역

석유 저장 탱크는 y=1664+x2,x=0,y=0,x=2y=\frac{16}{\sqrt{64+{x}^{2}}},x=0,y=0,x=2 …로 유계된 영역을 x축을 중심으로 회전시켜 생기는 부피로 나타낼 수 있다. 탱크의 부피(세제곱미터)를 구하세요.

영어 원문 보기

An oil storage tank can be described as the volume generated by revolving the area bounded by y=1664+x2,x=0,y=0,x=2y=\frac{16}{\sqrt{64+{x}^{2}}},x=0,y=0,x=2 about the x-axis. Find the volume of the tank (in cubic meters).

정답·풀이 보기

24.6 m3

원본 교재 풀이(영어)

24.6 m3

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.3절 · 28번
# 삼각치환활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.OpenStax 2권 · 3.3절 · 55번대학 수준우리말 번역

각 주기 동안 로봇 용접 장치의 속도 v(피트/초)는 v=2t−144+t2v=2t-\frac{14}{4+{t}^{2}} 로 주어진다. 여기서 t는 시간(초)이다. t=0t=0 일 때 s=0s=0 이면, 변위 s(피트)를 t의 함수로 나타낸 식을 구하세요.

영어 원문 보기

During each cycle, the velocity v (in feet per second) of a robotic welding device is given by v=2t−144+t2,v=2t-\frac{14}{4+{t}^{2}}, where t is time in seconds. Find the expression for the displacement s (in feet) as a function of t if s=0s=0 when t=0.t=0.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.4절 · 2번
# 삼각치환활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.CLP-2 · 1.9절 · 25번대학 수준우리말 번역

f(x)=∣x∣1−x24f(x) = \dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}} 이라 하고, RR 을 구간 [−12,12][-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] 에서 f(x)f(x) 와 xx축 사이의 영역이라 하자.

(a) RR 의 넓이를 구하세요. (b) RR 을 xx축을 중심으로 회전시켜 만든 입체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

Let f(x)=∣x∣1−x24f(x) = \dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}, and let RR be the region between f(x)f(x) and the xx-axis over the interval [−12,12][-\frac{1}{2},\frac{1}{2}].

(a) Find the area of RR. (b) Find the volume of the solid formed by rotating RR about the xx-axis.

정답·풀이 보기

f(x)f(x) 는 우함수이고, 정의역 전체에서 음이 아님에 유의한다.

(a) RR 의 넓이를 구하기 위해 다음을 계산한다.

넓이=∫−1/21/2∣x∣1−x24 dx=2∫01/2x1−x24 dx치환 u=1−x2, du=−2x dx 를 이용한다.=−∫13/41u1/4 du=−[43u3/4]13/4=−43((34)3/4−1)=43−434\begin{aligned} \text{넓이}&=\int _{-1/2}^{1/2} \dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}~\mathrm{d}x = 2\int _{0}^{1/2} \dfrac{x}{\sqrt[4]{1-x^2}}~\mathrm{d}x \\ \text{치환 $u=1-x^2$, $\mathrm{d}u=-2x~\mathrm{d}x$ 를 이용한다.} \\ &=-\int_{1}^{3/4} \frac{1}{u^{1/4}}~\mathrm{d}u\\ &=-\left[\frac{4}{3}u^{3/4}\right]_1^{3/4} = -\frac{4}{3}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{3/4}-1\right)\\ &=\frac{4}{3} - \sqrt[4]{\frac{4}{3}} \end{aligned}

(b) 회전체를 너비가 dx\mathrm{d}x 이고 반지름이 ∣x∣1−x24\dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}} 인 원판으로 얇게 자른다.

부피=∫−1/21/2π(∣x∣1−x24)2 dx=2π∫01/2x21−x2 dx치환 x=sin⁡θ, dx=cos⁡θ dθ 를 이용하면 1−x2=1−sin⁡2θ=cos⁡θ 이다. sin⁡0=0 이고 sin⁡π6=12 임에 유의한다.=2π∫0π/6sin⁡2θcos⁡θcos⁡θ dθ=2π∫0π/6sin⁡2θ dθ=π∫0π/6(1−cos⁡(2θ)) dθ=π[θ−12sin⁡(2θ)]0π/6=π(π6−12⋅32)=π26−3π4\begin{aligned} \text{부피}&=\int_{-1/2}^{1/2} \pi\left(\dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}\right)^2~\mathrm{d}x\\ &=2\pi\int_{0}^{1/2} \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}~\mathrm{d}x \\ \text{치환 $x=\sin \theta$, $\mathrm{d}x = \cos\theta~\mathrm{d}\theta$ 를 이용하면 $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta}=\cos \theta$ 이다. $\sin 0 =0$ 이고 $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ 임에 유의한다.} \\ &=2\pi\int_{0}^{\pi/6} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}\cos \theta~\mathrm{d}\theta \\&=2\pi\int_{0}^{\pi/6} \sin^2 \theta~\mathrm{d}\theta \\&=\pi\int_{0}^{\pi/6}\big(1- \cos(2 \theta)\big)~\mathrm{d}\theta\\ &=\pi\left[\theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_0^{\pi/6}\\ &=\pi\left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &=\frac{\pi^2}{6} - \frac{\sqrt{3}\pi}{4} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Note that f(x)f(x) is an even function, nonnegative over its entire domain.

(a) To find the area of RR, we evaluate

Area=∫−1/21/2∣x∣1−x24 dx=2∫01/2x1−x24 dxWe use the substitution u=1−x2, du=−2x dx.=−∫13/41u1/4 du=−[43u3/4]13/4=−43((34)3/4−1)=43−434\begin{aligned} \text{Area}&=\int _{-1/2}^{1/2} \dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}~\mathrm{d}x = 2\int _{0}^{1/2} \dfrac{x}{\sqrt[4]{1-x^2}}~\mathrm{d}x \\ \text{We use the substitution $u=1-x^2$, $\mathrm{d}u=-2x~\mathrm{d}x$.} \\ &=-\int_{1}^{3/4} \frac{1}{u^{1/4}}~\mathrm{d}u\\ &=-\left[\frac{4}{3}u^{3/4}\right]_1^{3/4} = -\frac{4}{3}\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{3/4}-1\right)\\ &=\frac{4}{3} - \sqrt[4]{\frac{4}{3}} \end{aligned}

(b) We slice the solid of rotation into circular disks of width dx\mathrm{d}x and radius ∣x∣1−x24\dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}.

Volume=∫−1/21/2π(∣x∣1−x24)2 dx=2π∫01/2x21−x2 dxWe use the substitution x=sin⁡θ, dx=cos⁡θ dθ, so 1−x2=1−sin⁡2θ=cos⁡θ. Note sin⁡0=0 and sin⁡π6=12.=2π∫0π/6sin⁡2θcos⁡θcos⁡θ dθ=2π∫0π/6sin⁡2θ dθ=π∫0π/6(1−cos⁡(2θ)) dθ=π[θ−12sin⁡(2θ)]0π/6=π(π6−12⋅32)=π26−3π4\begin{aligned} \text{Volume}&=\int_{-1/2}^{1/2} \pi\left(\dfrac{|x|}{\sqrt[4]{1-x^2}}\right)^2~\mathrm{d}x\\ &=2\pi\int_{0}^{1/2} \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}~\mathrm{d}x \\ \text{We use the substitution $x=\sin \theta$, $\mathrm{d}x = \cos\theta~\mathrm{d}\theta$, so $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta}=\cos \theta$. Note $\sin 0 =0$ and $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.$} \\ &=2\pi\int_{0}^{\pi/6} \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta}\cos \theta~\mathrm{d}\theta \\&=2\pi\int_{0}^{\pi/6} \sin^2 \theta~\mathrm{d}\theta \\&=\pi\int_{0}^{\pi/6}\big(1- \cos(2 \theta)\big)~\mathrm{d}\theta\\ &=\pi\left[\theta - \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_0^{\pi/6}\\ &=\pi\left(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\ &=\frac{\pi^2}{6} - \frac{\sqrt{3}\pi}{4} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.9절 · 28번
# 삼각치환활용도전자동 분류
CLP-2 Integral Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)