문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 적분

미적분의 기본정리

부정적분 F로 정적분 F(b)−F(a)를 계산하고, 적분과 미분의 관계를 이해한다

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5문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-2 · 1.3절 · 2번우리말 번역

함수 $f(x) = x^3 -\sin 2x$ 에 대하여, $F(0)=1$ 을 만족시키는 부정적분 $F(x)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the function $f(x) = x^3 -\sin 2x$ , find its antiderivative $F(x)$ that satisfies $F(0)=1$ .

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먼저 $x^3-\sin(2x)$ 의 부정적분을 구해 보자.

도함수가 $x^3$ 인 함수 하나는 $\dfrac{x^4}{4}$ 이다.
$\sin(2x)$ 의 부정적분을 구하기 위해 먼저 $\cos(2x)$ 를 떠올릴 수 있지만, 확인해 보면 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos(2x)\}=-2\sin(2x)$ 이다. 따라서 $-\dfrac{1}{2}$ 을 곱하기만 하면 된다: $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right\}=\sin(2x)$ .

따라서 $f(x)$ 의 부정적분은 $\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{2}\cos 2x+C$ 이다. $F(0)=1$ 을 만족시키려면 다음이 성립해야 한다. (기호 $\iff$ 는 “필요충분조건이다”라고 읽는다. 이는 수학에서 두 명제가 논리적으로 동치임을 나타내는 데 쓰인다. 더 정확히 말하면, 명제 $P \iff Q$ 는 $Q$ 가 참일 때마다 $P$ 가 참이고 $P$ 가 참일 때마다 $Q$ 가 참이라는 뜻이다.)

$\begin{aligned} \Big[\frac{x^4}{4}+\frac{1}{2}\cos 2x+C\Big]_{x=0}=1 \iff \frac{1}{2} + C = 1 \iff C=\frac{1}{2} \end{aligned}$

따라서 $F(x) = \dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{2}\cos 2x+\dfrac{1}{2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First, let's find a general antiderivative of $x^3-\sin(2x)$ .

One function with derivative $x^3$ is $\dfrac{x^4}{4}$ .
To find an antiderivative of $\sin(2x)$ , we might first guess $\cos(2x)$ ; checking, we see $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{\cos(2x)\}=-2\sin(2x)$ . So, we only need to multiply by $-\dfrac{1}{2}$ : $\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{-\dfrac{1}{2}\cos 2x\right\}=\sin(2x)$ .

So, the general antiderivative of $f(x)$ is $\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{2}\cos 2x+C$ . To satisfy $F(0)=1$ , we need (The symbol $\iff$ is read “if and only if”. This is used in mathematics to express the logical equivalence of two statements. To be more precise, the statement $P \iff Q$ tells us that $P$ is true whenever $Q$ is true and $Q$ is true whenever $P$ is true.)

$\begin{aligned} \Big[\frac{x^4}{4}+\frac{1}{2}\cos 2x+C\Big]_{x=0}=1 \iff \frac{1}{2} + C = 1 \iff C=\frac{1}{2} \end{aligned}$

So $F(x) = \dfrac{x^4}{4}+\dfrac{1}{2}\cos 2x+\dfrac{1}{2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 51번

# 미적분의 기본정리계산기본자동 분류

2.CLP-2 · 1.3절 · 6번우리말 번역

$F(x) = \displaystyle\int_7^x \sin(t^2)\ \mathrm{d}t$ 라 하자. $x$ 에 대한 $F(x)$ 의 순간변화율을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $F(x) = \displaystyle\int_7^x \sin(t^2)\ \mathrm{d}t$ . What is the instantaneous rate of change of $F(x)$ with respect to $x$ ?

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정답·풀이 보기

“ $x$ 에 대한 $F(x)$ 의 순간변화율”은 “ $F'(x)$ ”를 달리 표현한 말이다. 미적분학의 기본정리 제1부에 의해 이 값은 $\sin (x^2)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

“The instantaneous rate of change of $F(x)$ with respect to $x$ " is another way of saying “ $F'(x)$ ". From the Fundamental Theorem of Calculus Part 1, we know this is $\sin (x^2)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 4.4절 · 13번

# 미적분의 기본정리계산기본자동 분류

3.CLP-2 · 1.3절 · 7번우리말 번역

$F(x) = \displaystyle\int_{2}^x e^{1/t}\ \mathrm{d}t$ 라 하자. $x=3$ 일 때 $y=F(x)$ 의 접선의 기울기를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $F(x) = \displaystyle\int_{2}^x e^{1/t}\ \mathrm{d}t$ . What is the slope of the tangent line to $y=F(x)$ when $x=3$ ?

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정답·풀이 보기

$x=3$ 일 때 $y=F(x)$ 의 접선의 기울기는 바로 $F'(3)$ 이다. 미적분학의 기본정리 제1부에 의해 $F'(x) = e^{1/x}$ 이다. 따라서 $F'(3) = e^{1/3} = \sqrt[3]{e}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The slope of the tangent line to $y=F(x)$ when $x=3$ is exactly $F'(3)$ . By the Fundamental Theorem of Calculus Part 1, $F'(x) = e^{1/x}$ . Then $F'(3) = e^{1/3} = \sqrt[3]{e}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 6번

# 미적분의 기본정리계산기본자동 분류

4.CLP-2 · 1.3절 · 8번우리말 번역

$F'(x)=f(x)$ 라 하자. $f(x)$ 의 서로 다른 부정적분 두 개를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $F'(x)=f(x)$ . Give two different antiderivatives of $f(x)$ .

정답·풀이 보기

임의의 상수 $C$ 에 대해 $F(x)+C$ 는 $f(x)$ 의 부정적분이다. 왜냐하면 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{F(x)+C\} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{F(x)\} = f(x)$ 이기 때문이다. 따라서 예를 들어 $F(x)$ 와 $F(x)+1$ 은 모두 $f(x)$ 의 부정적분이다.

원본 교재 풀이(영어)

For any constant $C$ , $F(x)+C$ is an antiderivative of $f(x)$ , because $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{F(x)+C\} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{F(x)\} = f(x)$ . So, for example, $F(x)$ and $F(x)+1$ are both antiderivatives of $f(x)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.4절 · 30번

# 미적분의 기본정리계산기본자동 분류

5.CLP-2 · 1.3절 · 10번우리말 번역

미적분학의 기본정리 제2부를 이용하여 다음 적분의 값을 구하거나, 적용할 수 없는 이유를 설명하세요.

(a) $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \cos x \ \mathrm{d}x$ . (b) $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \sec^2 x \ \mathrm{d}x$ . (c) $\displaystyle\int_{-2}^0 \frac{1}{x+1}\ \mathrm{d}x$ .

영어 원문 보기

Evaluate the following integrals using the Fundamental Theorem of Calculus Part 2, or explain why it does not apply.

(a) $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \cos x \ \mathrm{d}x$ . (b) $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \sec^2 x \ \mathrm{d}x$ . (c) $\displaystyle\int_{-2}^0 \frac{1}{x+1}\ \mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

(a) $\cos x$ 의 부정적분은 $\sin x$ 이고, $\cos x$ 는 모든 곳에서 연속이므로 $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \cos x \ \mathrm{d}x = \sin(\pi)-\sin(-\pi) = 0$ . (b) $\sec^2 x$ 는 $x=\pm\frac{\pi}{2}$ 에서 불연속이므로, $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \sec^2 x \ \mathrm{d}x$ 에는 미적분학의 기본정리 제2부를 적용할 수 없다. (c) $\frac{1}{x+1}$ 은 $x=-1$ 에서 불연속이므로, $\displaystyle\int_{-2}^0 \frac{1}{x+1}\ \mathrm{d}x$ 에는 미적분학의 기본정리 제2부를 적용할 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The antiderivative of $\cos x$ is $\sin x$ , and $\cos x$ is continuous everywhere, so $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \cos x \ \mathrm{d}x = \sin(\pi)-\sin(-\pi) = 0$ . (b) Since $\sec^2 x$ is discontinuous at $x=\pm\frac{\pi}{2}$ , the Fundamental Theorem of Calculus Part 2 does not apply to $\displaystyle\int_{-\pi}^\pi \sec^2 x \ \mathrm{d}x$ . (c) Since $\frac{1}{x+1}$ is discontinuous at $x=-1$ , the Fundamental Theorem of Calculus Part 2 does not apply to $\displaystyle\int_{-2}^0 \frac{1}{x+1}\ \mathrm{d}x$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 5번

# 미적분의 기본정리계산기본자동 분류