라그랑주 승수법 연습문제

1.OpenStax 3권 · 4.8절 · 27번대학 수준우리말 번역

반지름이 $R$ 인 원에 내접하는 모든 삼각형 중에서 정삼각형의 둘레가 가장 큼을 보이세요(그림 참조).

원 안에 정삼각형이 그려져 있고, 삼각형의 각 꼭짓점이 원에 닿아 있다.

영어 원문 보기

Show that, of all the triangles inscribed in a circle of radius $R$ (see diagram), the equilateral triangle has the largest perimeter.

A circle with an equilateral triangle drawn inside of it such that each vertex of the triangle touches the circle.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 22번

# 라그랑주 승수법증명·논술자동 분류

2.CLP-3 · 2.10절 · 30번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)$ 가 연속인 편도함수를 가진다고 하자. 곡선 $xy=1$ 위에서 $f(x,y)$ 의 극솟값과 극댓값을 구하는 문제를 생각하자.

$g(x,y) = xy -1$ 로 정의한다. 라그랑주 승수법에 따르면, $(x,y)$ 가 곡선 $xy=1$ 위에서 $f(x,y)$ 의 극소 또는 극대이면 다음을 만족하는 실수 $\lambda$ 가 존재한다.

${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y) =\lambda { \boldsymbol{\nabla} } g(x,y),\quad g(x,y)=0 \tag{E1}$

곡선 $xy=1$ 위에서 $y=\frac{1}{x}$ 이고 $f(x,y) =f\big(x,\frac{1}{x}\big)$ 이다. $F(x)=f\big(x,\frac{1}{x}\big)$ 로 정의한다. $x\ne 0$ 에서 $F(x)$ 가 극소 또는 극대이면 다음이 성립한다.

$F'(x)=0 \tag{E2}$

다음의 의미에서 (E1)과 (E2)가 동치임을 보이세요.

$\begin{aligned} &\text{$(x,y,\lambda )$ 가 (E1)을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다}\\ &\text{필요충분조건은}\\ &\text{$x\ne 0$ 이 (E2)를 만족하고 $y={1}/{x}$ 인 것이다.} \end{aligned}$

영어 원문 보기

Let $f(x,y)$ have continuous partial derivatives. Consider the problem of finding local minima and maxima of $f(x,y)$ on the curve $xy=1$ .

Define $g(x,y) = xy -1$ . According to the method of Lagrange multipliers, if $(x,y)$ is a local minimum or maximum of $f(x,y)$ on the curve $xy=1$ , then there is a real number $\lambda$ such that

${ \boldsymbol{\nabla} } f(x,y) =\lambda { \boldsymbol{\nabla} } g(x,y),\quad g(x,y)=0 \tag{E1}$

On the curve $xy=1$ , we have $y=\frac{1}{x}$ and $f(x,y) =f\big(x,\frac{1}{x}\big)$ . Define $F(x)=f\big(x,\frac{1}{x}\big)$ . If $x\ne 0$ is a local minimum or maximum of $F(x)$ , we have that

$F'(x)=0 \tag{E2}$

Show that (E1) is equivalent to (E2), in the sense that

$\begin{aligned} &\text{there is a $\lambda $ such that $(x,y,\lambda )$ obeys (E1)}\\ &\text{if and only if}\\ &\text{$x\ne 0$ obeys (E2) and $y={1}/{x}$.} \end{aligned}$

정답·풀이 보기

$(x,y)$ 가 $g(x,y)=xy-1=0$ 을 만족하면 $x$ 는 반드시 $0$ 이 아님에 유의한다. 따라서 $x\ne 0$ 이라고 가정해도 된다. 그러면

$\begin{aligned} &\text{$(x,y,\lambda )$ 가 (E1)을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다} \\ & \iff \text{다음을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다: } f_x(x,y)=\lambda g_x(x,y),\quad f_y(x,y)=\lambda g_y(x,y),\quad g(x,y)=0 \\ & \iff \text{다음을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다: } f_x(x,y)=\lambda y,\quad f_y(x,y)=\lambda x,\quad xy=1 \\ & \iff \text{다음을 만족하는 $\lambda $ 가 존재한다: } \frac{1}{y}f_x(x,y)= \frac{1}{x} f_y(x,y)=\lambda ,\quad xy=1 \\ & \iff \frac{1}{y}f_x(x,y)= \frac{1}{x} f_y(x,y) ,\quad xy=1 \\ & \iff xf_x\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big)= \frac{1}{x} f_y\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) ,\quad y=\frac{1}{x} \\ & \iff F'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) = f_x\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) -\frac{1}{x^2}f_y\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) =0,\quad y=\frac{1}{x} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Note that if $(x,y)$ obeys $g(x,y)=xy-1=0$ , then $x$ is necessarily nonzero. So we may assume that $x\ne 0$ . Then

$\begin{aligned} &\text{There is a $\lambda $ such that $(x,y,\lambda )$ obeys (E1)} \\ & \iff \text{there is a $\lambda $ such that } f_x(x,y)=\lambda g_x(x,y),\quad f_y(x,y)=\lambda g_y(x,y),\quad g(x,y)=0 \\ & \iff \text{there is a $\lambda $ such that } f_x(x,y)=\lambda y,\quad f_y(x,y)=\lambda x,\quad xy=1 \\ & \iff \text{there is a $\lambda $ such that } \frac{1}{y}f_x(x,y)= \frac{1}{x} f_y(x,y)=\lambda ,\quad xy=1 \\ & \iff \frac{1}{y}f_x(x,y)= \frac{1}{x} f_y(x,y) ,\quad xy=1 \\ & \iff xf_x\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big)= \frac{1}{x} f_y\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) ,\quad y=\frac{1}{x} \\ & \iff F'(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) = f_x\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) -\frac{1}{x^2}f_y\Big(\!x,\frac{1}{x}\Big) =0,\quad y=\frac{1}{x} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 18번

# 라그랑주 승수법증명·논술도전자동 분류