빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다변수 미분

라그랑주 승수법

조건(제약)이 있을 때 다변수함수의 최댓값·최솟값을 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
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21문제 · 1 / 2쪽

1.OpenStax 3권 · 4.8절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 라그랑주 승수법을 이용하여, 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

f(x,y)=x2y;x2+2y2=6f(x,y)={x}^{2}y;{x}^{2}+2{y}^{2}=6

영어 원문 보기

For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.

f(x,y)=x2y;x2+2y2=6f(x,y)={x}^{2}y;{x}^{2}+2{y}^{2}=6

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 24번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.OpenStax 3권 · 4.8절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 라그랑주 승수법을 사용하여, 주어진 조건을 만족하는 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

f(x,y,z)=xyz,x2+2y2+3z2=6f(x,y,z)=xyz,{x}^{2}+2{y}^{2}+3{z}^{2}=6

영어 원문 보기

For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.

f(x,y,z)=xyz,x2+2y2+3z2=6f(x,y,z)=xyz,{x}^{2}+2{y}^{2}+3{z}^{2}=6

정답·풀이 보기

최댓값: 2332\frac{\sqrt{3}}{3}, 최솟값: −233\frac{-2\sqrt{3}}{3}

원본 교재 풀이(영어)

maximum: 233,2\frac{\sqrt{3}}{3}, minimum: −233\frac{-2\sqrt{3}}{3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.10절 · 30번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.OpenStax 3권 · 4.8절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 라그랑주 승수법을 사용하여, 주어진 조건을 만족하는 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

f(x,y)=xy;4x2+8y2=16f(x,y)=xy;4{x}^{2}+8{y}^{2}=16

영어 원문 보기

For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.

f(x,y)=xy;4x2+8y2=16f(x,y)=xy;4{x}^{2}+8{y}^{2}=16

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 30번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.OpenStax 3권 · 4.8절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 라그랑주 승수법을 사용하여, 주어진 조건을 만족하는 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

f(x,y)=4x3+y2;2x2+y2=1f(x,y)=4{x}^{3}+{y}^{2};2{x}^{2}+{y}^{2}=1

영어 원문 보기

For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.

f(x,y)=4x3+y2;2x2+y2=1f(x,y)=4{x}^{3}+{y}^{2};2{x}^{2}+{y}^{2}=1

정답·풀이 보기

최댓값: (22,0,2)\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\sqrt{2}\right), 최솟값: (−22,0,−2)\left(\frac{-\sqrt{2}}{2},0,-\sqrt{2}\right)

원본 교재 풀이(영어)

maximum: (22,0,2),\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0,\sqrt{2}\right), minimum: (−22,0,−2)\left(\frac{-\sqrt{2}}{2},0,-\sqrt{2}\right)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 2번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
5.OpenStax 3권 · 4.8절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 라그랑주 승수법을 사용하여, 주어진 조건을 만족하는 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

f(x,y,z)=x2+y2+z2,x4+y4+z4=1f(x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2},{x}^{4}+{y}^{4}+{z}^{4}=1

영어 원문 보기

For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.

f(x,y,z)=x2+y2+z2,x4+y4+z4=1f(x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2},{x}^{4}+{y}^{4}+{z}^{4}=1

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 14번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 3권 · 4.8절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 라그랑주 승수법을 사용하여, 주어진 조건을 만족하는 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

f(x,y,z)=yz+xy,xy=1,y2+z2=1f(x,y,z)=yz+xy,xy=1,{y}^{2}+{z}^{2}=1

영어 원문 보기

For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.

f(x,y,z)=yz+xy,xy=1,y2+z2=1f(x,y,z)=yz+xy,xy=1,{y}^{2}+{z}^{2}=1

정답·풀이 보기

최댓값: 32\frac{3}{2}, 최솟값 = 12\frac{1}{2}

원본 교재 풀이(영어)

maximum: 32,\frac{3}{2}, minimum = 12\frac{1}{2}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 4번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 3권 · 4.8절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 라그랑주 승수법을 이용하여 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

f(x,y)=x2+y2,(x−1)2+4y2=4f(x,y)={x}^{2}+{y}^{2},{(x-1)}^{2}+4{y}^{2}=4

영어 원문 보기

For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.

f(x,y)=x2+y2,(x−1)2+4y2=4f(x,y)={x}^{2}+{y}^{2},{(x-1)}^{2}+4{y}^{2}=4

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 12번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 3권 · 4.8절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 라그랑주 승수법을 이용하여 주어진 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

f(x,y)=4xy,x29+y216=1f(x,y)=4xy,\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{16}=1

영어 원문 보기

For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.

f(x,y)=4xy,x29+y216=1f(x,y)=4xy,\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{16}=1

정답·풀이 보기

최댓값: f(322,22)=24,f\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}\right)=24, f(−322,−22)=24f\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},-2\sqrt{2}\right)=24; 최솟값: f(−322,22)=−24,f\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}\right)=-24, f(322,−22)=−24f\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},-2\sqrt{2}\right)=-24

원본 교재 풀이(영어)

maxima: f(322,22)=24,f\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}\right)=24, f(−322,−22)=24;f\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},-2\sqrt{2}\right)=24; minima: f(−322,22)=−24,f\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},2\sqrt{2}\right)=-24, f(322,−22)=−24f\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},-2\sqrt{2}\right)=-24

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 6번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.OpenStax 3권 · 4.8절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 라그랑주 승수법을 이용하여 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

f(x,y,z)=x+y+z,1x+1y+1z=1f(x,y,z)=x+y+z,\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1

영어 원문 보기

For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.

f(x,y,z)=x+y+z,1x+1y+1z=1f(x,y,z)=x+y+z,\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 2번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.OpenStax 3권 · 4.8절 · 10번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 라그랑주 승수법을 이용하여 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

f(x,y,z)=x+3y−z,x2+y2+z2=4f(x,y,z)=x+3y-z,{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=4

영어 원문 보기

For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.

f(x,y,z)=x+3y−z,x2+y2+z2=4f(x,y,z)=x+3y-z,{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=4

정답·풀이 보기

최댓값: f(211,611,−211)f\left(\frac{2}{\sqrt{11}},\frac{6}{\sqrt{11}},\frac{-2}{\sqrt{11}}\right) 에서 2112\sqrt{11}; 최솟값: f(−211,−611,211)f\left(\frac{-2}{\sqrt{11}},\frac{-6}{\sqrt{11}},\frac{2}{\sqrt{11}}\right) 에서 −211-2\sqrt{11}

원본 교재 풀이(영어)

maximum: 2112\sqrt{11} at f(211,611,−211);f\left(\frac{2}{\sqrt{11}},\frac{6}{\sqrt{11}},\frac{-2}{\sqrt{11}}\right); minimum: −211-2\sqrt{11} at f(−211,−611,211)f\left(\frac{-2}{\sqrt{11}},\frac{-6}{\sqrt{11}},\frac{2}{\sqrt{11}}\right)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 16번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.OpenStax 3권 · 4.8절 · 11번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 라그랑주 승수법을 이용하여 주어진 제약 조건 아래에서 함수의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

f(x,y,z)=x2+y2+z2,xyz=4f(x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2},xyz=4

영어 원문 보기

For the following exercises, use the method of Lagrange multipliers to find the maximum and minimum values of the function subject to the given constraints.

f(x,y,z)=x2+y2+z2,xyz=4f(x,y,z)={x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2},xyz=4

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 20번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
12.OpenStax 3권 · 4.8절 · 16번대학 수준우리말 번역

곡선 x3−y3=1{x}^{3}-{y}^{3}=1 은 직선 y=xy=x 에 점근한다. 곡선 x3−y3=1{x}^{3}-{y}^{3}=1 위의 점 중 직선 y=xy=x 에서 가장 먼 점을 구하세요.

영어 원문 보기

The curve x3−y3=1{x}^{3}-{y}^{3}=1 is asymptotic to the line y=x.y=x. Find the point(s) on the curve x3−y3=1{x}^{3}-{y}^{3}=1 farthest from the line y=x.y=x.

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정답·풀이 보기

(123,−123)\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}},\frac{-1}{\sqrt[3]{2}}\right)

원본 교재 풀이(영어)

(123,−123)\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}},\frac{-1}{\sqrt[3]{2}}\right)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 14번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
13.OpenStax 3권 · 4.8절 · 25번대학 수준우리말 번역

타원 x2+xy+2y2=1{x}^{2}+xy+2{y}^{2}=1 과 원점 사이의 거리의 최솟값과 최댓값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the minimum and maximum distances between the ellipse x2+xy+2y2=1{x}^{2}+xy+2{y}^{2}=1 and the origin.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 8번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
14.OpenStax 3권 · 4.8절 · 26번대학 수준우리말 번역

곡면 x2−2xy+y2−x+y=0{x}^{2}-2xy+{y}^{2}-x+y=0 위의 점 중에서 점 (1,2,−3)(1,2,-3) 에 가장 가까운 점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the point on the surface x2−2xy+y2−x+y=0{x}^{2}-2xy+{y}^{2}-x+y=0 closest to the point (1,2,−3).(1,2,-3).

정답·풀이 보기

곡면 x2−2xy+y2−x+y=0{x}^{2}-2xy+{y}^{2}-x+y=0 위의 점 중에서 점 (1,2,−3)(1,2,-3) 에 가장 가까운 점은 (32,32,−3)\left( \frac{3}{2},\frac{3}{2},-3 \right) 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The point on the surface x2−2xy+y2−x+y=0{x}^{2}-2xy+{y}^{2}-x+y=0 closest to the point (1,2,−3)(1,2,-3) is (32,32,−3)\left( \frac{3}{2},\frac{3}{2},-3 \right).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 32번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
15.OpenStax 3권 · 4.8절 · 28번대학 수준우리말 번역

점 (0,1)(0,1) 에서 포물선 x2=4y{x}^{2}=4y 까지의 최소 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the minimum distance from point (0,1)(0,1) to the parabola x2=4y.{x}^{2}=4y.

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정답·풀이 보기

1.01.0

원본 교재 풀이(영어)

1.01.0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 8번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
16.OpenStax 3권 · 4.8절 · 29번대학 수준우리말 번역

포물선 y=x2y={x}^{2} 에서 점 (0,3)(0,3) 까지의 최소 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the minimum distance from the parabola y=x2y={x}^{2} to point (0,3).(0,3).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 28번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
17.OpenStax 3권 · 4.8절 · 30번대학 수준우리말 번역

평면 x+y+z=1x+y+z=1 에서 점 (2,1,1)(2,1,1) 까지의 최소 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the minimum distance from the plane x+y+z=1x+y+z=1 to point (2,1,1).(2,1,1).

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정답·풀이 보기

3\sqrt{3}

원본 교재 풀이(영어)

3\sqrt{3}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 26번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
18.OpenStax 3권 · 4.8절 · 32번대학 수준우리말 번역

직선 y=2x+3y=2x+3 위의 점 중에서 점 (4,2)(4,2) 에 가장 가까운 점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the point on the line y=2x+3y=2x+3 that is closest to point (4,2).(4,2).

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정답·풀이 보기

(25,195)\left(\frac{2}{5},\frac{19}{5}\right)

원본 교재 풀이(영어)

(25,195)\left(\frac{2}{5},\frac{19}{5}\right)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 24번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
19.OpenStax 3권 · 4.8절 · 33번대학 수준우리말 번역

평면 4x+3y+z=24x+3y+z=2 위의 점 중에서 점 (1,−1,1)(1,-1,1) 에 가장 가까운 점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the point on the plane 4x+3y+z=24x+3y+z=2 that is closest to the point (1,−1,1).(1,-1,1).

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 12번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
20.OpenStax 3권 · 4.8절 · 34번대학 수준우리말 번역

f(x,y)=sin⁡ x sin⁡ yf(x,y)=\sin \,x\,\sin \,y 의 최댓값을 구하세요. 여기서 x 와 yx\,\text{와}\,y 는 직각삼각형의 두 예각을 나타냅니다. 컴퓨터 대수 시스템을 사용하여 이 함수의 등고선을 그리세요.

영어 원문 보기

Find the maximum value of f(x,y)=sin⁡ x sin⁡ y,f(x,y)=\sin \,x\,\sin \,y, where x and yx\,\text{and}\,y denote the acute angles of a right triangle. Draw the contours of the function using a CAS.

정답·풀이 보기

12\frac{1}{2}

진폭이 1인 언덕과 구덩이가 번갈아 나타나는 모양이 삼차원 공간 전체에 걸쳐 펼쳐져 있다.

원본 교재 풀이(영어)

12\frac{1}{2}

An alternating series of hills and holes of amplitude 1 across xyz space.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.8절 · 30번
# 라그랑주 승수법계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 3 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)