문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 극한 전체 문제

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유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.1절 · 39번우리말 풀이

다음과 같이 정의된 수열이 극한을 갖는지 판단하고, 갖는다면 그 극한을 구하세요.

$a_1=3$ , $a_n=\sqrt{2a_{n-1}}$ ( $n=2,3,\ldots$ )

영어 원문 보기

Determine whether the sequence defined as follows has a limit. If it does, find the limit.

${a}_{1}=3,$ ${a}_{n}=\sqrt{2{a}_{n-1}},$ $n=2,3,\ldots .$

풀이 보기

감소하면서 아래로 유계인 수열은 수렴하고, 극한 $a$ 는 $a=\sqrt{2a}$ 를 만족해요.

1
몇 항을 계산해 봐요. $a_1=3$ , $a_2=\sqrt6\approx2.449$ , $a_3=\sqrt{2\cdot2.449}\approx2.213$ 로 줄어들면서 $2$ 에 가까워지는 것 같아요.
2
$a_n>2$ 임을 보여요. $a_1=3>2$ 이고, $a_{n-1}>2$ 이면 $2a_{n-1}>4$ 이므로 $a_n=\sqrt{2a_{n-1}}>2$ 예요. 따라서 모든 항이 $2$ 보다 커요(아래로 유계).
3
감소함을 보여요. $a_n<a_{n-1}$ 은 $\sqrt{2a_{n-1}}<a_{n-1}$ 과 같고, 양변을 제곱하면 $2a_{n-1}<a_{n-1}^2$ , 즉 $a_{n-1}>2$ 예요. 앞 단계에서 이것이 참이므로 수열은 감소해요.
4
수렴하므로 극한을 구해요. 감소하면서 아래로 유계인 수열은 수렴해요. 극한을 $a$ 라 하면 $a_n\to a$ , $a_{n-1}\to a$ 이므로 $a=\sqrt{2a}\;\Rightarrow\;a^2=2a\;\Rightarrow\;a(a-2)=0$ 모든 항이 $2$ 보다 크니 극한은 $0$ 일 수 없고 $a=2$ 예요.

답

수렴하고 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=2$

자주 하는 실수

$a^2=2a$ 에서 $a=0$ 도 답이라고 쓰는 실수가 있어요. 수열이 항상 $2$ 보다 크다는 사실로 $0$ 을 버려야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}$ is decreasing and bounded below by $2.$ The limit $a$ must satisfy $a=\sqrt{2a}$ so $a=2,$ independent of the initial value.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 31번

# 수열의 수렴과 발산개념 확인도전

2.OpenStax 2권 · 5.2절 · 43번우리말 풀이

일반적인 망원급수란, 연속한 항들을 어느 정도 더하고 나면 처음 몇 항을 빼고는 모두 지워지는 급수입니다.

$a_n=f(n)-2f(n+1)+f(n+2)$ 이고 $n\to\infty$ 일 때 $f(n)\to0$ 이라고 합시다. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

A general telescoping series is one in which all but the first few terms cancel out after summing a given number of successive terms.

Let ${a}_{n}=f(n)-2f(n+1)+f(n+2),$ in which $f(n)\to 0$ as $n\to \infty .$ Find $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}.$

풀이 보기

$a_n$ 을 "앞뒤가 지워지는 차"의 꼴로 바꾸면 부분합이 몇 개 항만 남아요.

1
$a_n$ 을 두 개의 차로 나눠요. $-2f(n+1)=-f(n+1)-f(n+1)$ 이므로 $a_n=\big[f(n)-f(n+1)\big]-\big[f(n+1)-f(n+2)\big]$
2
부분합 $S_N$ 을 써요. 각 대괄호를 따로 더하면 이웃한 항이 지워져요. $\sum_{n=1}^N\big[f(n)-f(n+1)\big]=f(1)-f(N+1),\qquad \sum_{n=1}^N\big[f(n+1)-f(n+2)\big]=f(2)-f(N+2)$ $S_N=f(1)-f(N+1)-f(2)+f(N+2)$
3
$N\to\infty$ 로 보내요. $f(N+1)\to0$ , $f(N+2)\to0$ 이므로 $\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{N\to\infty}S_N=f(1)-f(2)$

답

$f(1)-f(2)$

자주 하는 실수

두 번째 대괄호의 부호를 놓쳐 $f(1)+f(2)$ 로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=f(1)-f(2)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 57번

# 급수의 수렴과 발산계산도전

3.OpenStax 2권 · 5.2절 · 57번우리말 풀이

[계산기 사용] 공정한 동전을 던질 때, 앞면이 두 번째로 나오는 것이 짝수 번째 던지기에서일 확률을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Find the probability that a fair coin will come up heads for the second time after an even number of flips.

답 쓰고 채점

풀이 보기

$n$ 번째에서 두 번째 앞면이 나올 확률을 식으로 쓰고, 짝수 $n$ 에 대해 모두 더하면 급수가 돼요.

1
$n$ 번째 던지기에서 두 번째 앞면이 나오려면, 앞의 $n-1$ 번 중 앞면이 정확히 1번이고 $n$ 번째가 앞면이어야 해요. 앞면이 나올 자리를 고르는 방법이 $n-1$ 가지이므로 확률은 다음과 같아요.

$P(n)=(n-1)\left(\frac12\right)^{n}$
2
짝수 번째만 모으면 되니까 $n=2m$ ( $m=1,2,3,\dots$ ) 으로 놓아요.

$P(2m)=\frac{2m-1}{2^{2m}}=\frac{2m-1}{4^{m}}$

구하는 확률은 $\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}$ 이에요.
3
식을 둘로 쪼개요. 각각 계산하기 쉬운 급수가 되기 때문이에요.

$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}=2\sum_{m=1}^{\infty}m\left(\frac14\right)^{m}-\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac14\right)^{m}$
4
$|x|<1$ 일 때 $\sum_{m=1}^{\infty}x^m=\frac{x}{1-x}$ 이고 $\sum_{m=1}^{\infty}m x^m=\frac{x}{(1-x)^2}$ 이에요. $x=\frac14$ 를 넣으면

$\sum m\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{(3/4)^2}=\frac49,\qquad \sum\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{3/4}=\frac13$
5
따라서 확률은 다음과 같아요.

$2\cdot\frac49-\frac13=\frac89-\frac39=\frac59$

답

$\dfrac59$

자주 하는 실수

두 번째 앞면이 나오는 확률을 $\left(\frac12\right)^n$ 으로만 쓰고 앞의 $n-1$ 번 중 앞면 자리를 고르는 경우의 수 $(n-1)$ 을 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

$5/9$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 21번

# 급수의 수렴과 발산활용도전

4.OpenStax 2권 · 5.2절 · 61번우리말 풀이

[계산기 사용] 환자 몸속의 약의 양이 매시간 일정한 비율 $r<1$ 배로 줄어든다고 합시다. 새 약은 $N$ 시간마다 투여합니다. 투여량 $d$ 와 비율 $r$ 로, 각 $n$ 에 대해 $n$ 시간 후 환자 몸속의 약의 양 $A(n)$ 을 나타내는 식을 구하세요. (힌트: $n=mN+k$ ( $0\le k<N$ ) 로 쓰고, 서로 다른 투여분을 모두 더하세요.)

영어 원문 보기

[T] Suppose that the amount of a drug in a patient’s system diminishes by a multiplicative factor $r<1$ each hour. Suppose that a new dose is administered every $N$ hours. Find an expression that gives the amount $A(n)$ in the patient’s system after $n$ hours for each $n$ in terms of the dosage $d$ and the ratio $r.$ (Hint: Write $n=mN+k,$ where $0\le k<N,$ and sum over values from the different doses administered.)

풀이 보기

각 투여분은 따로 줄어들고, 몸속의 양은 그 투여분들을 모두 더한 값이에요(첫 투여는 시각 $0$ 으로 봐요).

1
투여 시각을 정리해요. 투여는 시각 $0,\ N,\ 2N,\ \ldots$ 에 이뤄지고, $n=mN+k$ 이면 시각 $n$ 까지 $m+1$ 번(시각 $0,N,\ldots,mN$ ) 투여한 거예요.
2
한 번의 투여분이 남는 양을 구해요. 시각 $lN$ 에 투여한 약 $d$ 는 $n-lN$ 시간 동안 매시간 $r$ 배가 되니 $d\,r^{\,n-lN}$ 이 남아요.
3
모두 더해요. $A(n)=\sum_{l=0}^{m}d\,r^{\,n-lN}$ $q=m-l$ 로 바꾸면 $n-lN=k+mN-lN=k+qN$ 이므로 $A(n)=\sum_{q=0}^{m}d\,r^{\,k+qN}=d\,r^{k}\sum_{q=0}^{m}\left(r^{N}\right)^{q}$
4
등비수열의 합 공식을 써요. 첫째항 $1$ , 공비 $r^N$ , 항의 수 $m+1$ 이니 $A(n)=d\,r^{k}\cdot\frac{1-r^{(m+1)N}}{1-r^{N}},\qquad n=mN+k$

답

$A(n)=d\,r^{k}\dfrac{1-r^{(m+1)N}}{1-r^{N}}$ ( $n=mN+k$ , $0\le k<N$ )

자주 하는 실수

항의 수를 $m$ 개로 세어 $1-r^{mN}$ 으로 쓰는 실수가 있어요(투여 횟수는 $m+1$ 번).

원본 교재 풀이(영어)

The part of the first dose after $n$ hours is $d{r}^{n},$ the part of the second dose is $d{r}^{n-N},$ and, in general, the part remaining of the $m\text{th}$ dose is $d{r}^{n-mN},$ so

$A(n)=\sum_{l=0}^{m}d{r}^{n-lN}=\sum_{l=0}^{m}d{r}^{k+(m-l)N}=\sum_{q=0}^{m}d{r}^{k+qN}=d{r}^{k}\sum_{q=0}^{m}{r}^{Nq}=d{r}^{k}\frac{1-{r}^{(m+1)N}}{1-{r}^{N}},n=k+mN.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 25번

# 등비급수활용도전