수열의 극한 전체 문제

수열의 종류를 알아봐요. $a_{n+1}-a_n=4$ 로 차가 일정하니 공차 $d=4$ 인 등차수열이에요.

일반항 공식에 넣어요. $$a_n=a_1+(n-1)d=-3+4(n-1)=4n-7$$

확인해요. $a_1=4-7=-3$, $a_2=1$, $a_3=5$ 로 차가 $4$ 씩이에요.

몇 개 항을 직접 써 봐요. $a_1=2$, $a_2=2\cdot2=4$, $a_3=2\cdot4=8$, $a_4=16$ 이에요. 모두 2의 거듭제곱이에요.

등비수열의 일반항 공식을 써요. 첫째항 $a_1=2$, 공비 $r=2$ 이므로 $$a_n=a_1\,r^{\,n-1}=2\cdot2^{\,n-1}=2^{\,n}$$

확인해요. $a_{n+1}=2^{n+1}=2\cdot2^n=2a_n$ 이고 $a_1=2^1=2$ 이므로 조건을 모두 만족해요.

극한의 성질을 떠올려요. $\lim a_n$ 과 $\lim b_n$ 이 모두 존재하면 $\lim(pa_n+qb_n)=p\lim a_n+q\lim b_n$ 이에요.

값을 넣어요. $$\lim_{n\to\infty}(3a_n-4b_n)=3\cdot1-4\cdot(-1)=3+4=7$$

조건 $0<-b_n<a_n$ 는 이 문제에서 쓰이지 않아요. 다른 소문항(예: 비의 극한)에서 쓰이는 조건이에요.

처음 몇 항을 써 봐요. $a_2=\dfrac12$, $a_3=\dfrac38$, $a_4=\dfrac14$, $a_5=\dfrac5{32}$ 로 점점 줄어드는 것 같아요.

비로 감소를 확인해요. 모든 항이 양수이므로 $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n}=\frac{n+1}{2n}=\frac12+\frac1{2n}$$ $n\ge2$ 이면 이 값은 $\dfrac34$ 이하여서 1보다 작아요. 따라서 $a_{n+1}<a_n$, 즉 $n\ge2$ 에서 감소수열이에요.

유계를 확인해요. 모든 항이 양수라서 아래로 $0$ 보다 크고, 감소하므로 첫 항 $a_2=\dfrac12$ 보다 커질 수 없어요. 즉 $0<a_n\le\dfrac12$ 이므로 유계예요.

몇 항을 계산해 봐요. $a_1=3$, $a_2=\sqrt6\approx2.449$, $a_3=\sqrt{2\cdot2.449}\approx2.213$ 로 줄어들면서 $2$ 에 가까워지는 것 같아요.

$a_n>2$ 임을 보여요. $a_1=3>2$ 이고, $a_{n-1}>2$ 이면 $2a_{n-1}>4$ 이므로 $a_n=\sqrt{2a_{n-1}}>2$ 예요. 따라서 모든 항이 $2$ 보다 커요(아래로 유계).

감소함을 보여요. $a_n<a_{n-1}$ 은 $\sqrt{2a_{n-1}}<a_{n-1}$ 과 같고, 양변을 제곱하면 $2a_{n-1}<a_{n-1}^2$, 즉 $a_{n-1}>2$ 예요. 앞 단계에서 이것이 참이므로 수열은 감소해요.

수렴하므로 극한을 구해요. 감소하면서 아래로 유계인 수열은 수렴해요. 극한을 $a$ 라 하면 $a_n\to a$, $a_{n-1}\to a$ 이므로 $$a=\sqrt{2a}\;\Rightarrow\;a^2=2a\;\Rightarrow\;a(a-2)=0$$ 모든 항이 $2$ 보다 크니 극한은 $0$ 일 수 없고 $a=2$ 예요.

식을 풀어 써요. 지수법칙으로 $(2n)^{1/n}=2^{1/n}\,n^{1/n}$ 이니까 $$a_n=2^{1/n}\,n^{1/n}-n^{1/n}=n^{1/n}\left(2^{1/n}-1\right)$$

각 부분의 극한을 구해요. $n\to\infty$ 일 때 $\dfrac1n\to0$ 이므로 $2^{1/n}\to2^0=1$ 이에요. 또 $\ln n^{1/n}=\dfrac{\ln n}{n}\to0$ 이라(로그는 $n$ 보다 훨씬 느리게 커져요) $n^{1/n}\to e^0=1$ 이에요.

극한의 곱의 성질을 써요. $$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}n^{1/n}\cdot\lim_{n\to\infty}\left(2^{1/n}-1\right)=1\cdot(1-1)=0$$ (다르게 보면 $(2n)^{1/n}\to1$, $n^{1/n}\to1$ 이니 차가 $0$ 이에요.)

규칙을 이해해요. 이진수 $0.b_1b_2\ldots$ 는 $\dfrac{b_1}2+\dfrac{b_2}4+\cdots$ 를 뜻해요. 수를 두 배 했을 때 $1$ 이상이면 그 자리 숫자는 $1$ (그리고 $1$ 을 빼고), 아니면 $0$ 이에요.

$x=\dfrac13$ 으로 시작해요. $\dfrac13<\dfrac12$ 이므로 $b_1=0$ 이고 $$x_1=2\cdot\frac13-0=\frac23$$

다음 단계예요. $x_1=\dfrac23\ge\dfrac12$ 이므로 $b_2=1$ 이고 $$x_2=2\cdot\frac23-1=\frac43-1=\frac13$$

반복을 찾아요. $x_2=\dfrac13$ 은 처음 값과 같아요. 그러니 이후에도 $b_3=0,\ b_4=1,\ \ldots$ 가 같은 순서로 반복돼요. 따라서 $\dfrac13=0.010101\ldots_{(2)}$ 이에요.

검산해요. $0.010101\ldots_{(2)}=\dfrac14+\dfrac1{16}+\cdots=\dfrac{1/4}{1-1/4}=\dfrac13$ 으로 맞아요.

분모를 봐요. $1,2,3,4,\ldots$ 이므로 $n$ 번째 항의 크기는 $\dfrac1n$ 이에요.

부호를 봐요. $+,-,+,-,\ldots$ 로 번갈아 바뀌어요. 첫 항이 $+$ 이므로 $n=1$ 에서 $+1$ 이 되도록 $(-1)^{n-1}$ 을 써요($n=2$ 면 $-1$).

합쳐서 써요. $$1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$$

각 항을 구해요. $\sin\frac{\pi}{2}=1$, $\sin\pi=0$, $\sin\frac{3\pi}{2}=-1$, $\sin2\pi=0$ 이므로 $a_1=1,\ a_2=0,\ a_3=-1,\ a_4=0$ 이에요.

차례로 더해요. $$S_1=1,\quad S_2=1+0=1,\quad S_3=1+0+(-1)=0,\quad S_4=0+0=0$$

인덱스를 바꿔요. $m=n+1000$ 으로 두면 $n=1$ 일 때 $m=1001$ 이에요. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n+1000}=\sum_{m=1001}^{\infty}\frac1m$$ 조화급수 $\sum_{m=1}^\infty\frac1m$ 에서 처음 $1000$ 개 항을 뺀 급수예요.

조화급수는 발산해요. 항들을 $\dfrac12$ 이상씩 묶을 수 있어요. 예를 들어 $$\frac13+\frac14>\frac14+\frac14=\frac12,\quad \frac15+\cdots+\frac18>\frac48=\frac12,\ \ldots$$ 이렇게 묶을 때마다 $\frac12$ 보다 큰 값이 계속 더해져서 합이 한없이 커져요.

결론을 내려요. 유한 개의 항을 더하거나 빼도 수렴·발산은 바뀌지 않으므로 이 급수도 발산해요. (각 항이 $0$ 으로 가는데도 발산한다는 점에 주의하세요.)

규칙을 찾아요. 항을 $1,\ \dfrac{\pi}{e^2},\ \left(\dfrac{\pi}{e^2}\right)^2,\ \left(\dfrac{\pi}{e^2}\right)^3,\ \ldots$ 로 쓸 수 있어요. 앞 항에 $\dfrac{\pi}{e^2}$ 를 곱하니 첫째항 $1$, 공비 $r=\dfrac{\pi}{e^2}$ 인 등비급수예요.

공비의 크기를 비교해요. $\pi\approx3.14$, $e^2\approx7.39$ 이므로 $r\approx0.43<1$ 이에요.

결론을 내려요. $|r|<1$ 인 등비급수는 수렴하고, 그 합은 $\dfrac{1}{1-r}=\dfrac{e^2}{e^2-\pi}\approx1.74$ 예요.

먼저 로그의 성질 $\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ 를 써서 일반항을 뺄셈 꼴로 바꿔요.

$$\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)=\ln n-\ln(n+1)$$

그래서 급수는 $\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big)$ 로 쓸 수 있어요.

부분합 $S_k$ 는 처음 $k$ 개의 항을 더한 값이에요. 왜 이렇게 쓰냐면, 항을 직접 늘어놓아야 무엇이 소거되는지 보이기 때문이에요.

$$S_k=(\ln 1-\ln 2)+(\ln 2-\ln 3)+(\ln 3-\ln 4)+\cdots+(\ln k-\ln(k+1))$$

이웃한 항끼리 $-\ln 2$ 와 $+\ln 2$, $-\ln 3$ 와 $+\ln 3$ 처럼 서로 지워져요. 남는 것은 맨 앞의 $\ln 1$ 과 맨 뒤의 $-\ln(k+1)$ 뿐이에요.

$\ln 1=0$ 이므로 부분합은 다음과 같아요.

$$S_k=\ln 1-\ln(k+1)=-\ln(k+1)$$

참고로 $k\to\infty$ 이면 $S_k\to-\infty$ 이므로 이 급수는 발산해요.

$a_n$ 을 두 개의 차로 나눠요. $-2f(n+1)=-f(n+1)-f(n+1)$ 이므로 $$a_n=\big[f(n)-f(n+1)\big]-\big[f(n+1)-f(n+2)\big]$$

부분합 $S_N$ 을 써요. 각 대괄호를 따로 더하면 이웃한 항이 지워져요. $$\sum_{n=1}^N\big[f(n)-f(n+1)\big]=f(1)-f(N+1),\qquad \sum_{n=1}^N\big[f(n+1)-f(n+2)\big]=f(2)-f(N+2)$$ $$S_N=f(1)-f(N+1)-f(2)+f(N+2)$$

$N\to\infty$ 로 보내요. $f(N+1)\to0$, $f(N+2)\to0$ 이므로 $$\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{N\to\infty}S_N=f(1)-f(2)$$

$n$ 번째 던지기에서 두 번째 앞면이 나오려면, 앞의 $n-1$ 번 중 앞면이 정확히 1번이고 $n$ 번째가 앞면이어야 해요. 앞면이 나올 자리를 고르는 방법이 $n-1$ 가지이므로 확률은 다음과 같아요.

$$P(n)=(n-1)\left(\frac12\right)^{n}$$

짝수 번째만 모으면 되니까 $n=2m$ ($m=1,2,3,\dots$) 으로 놓아요.

$$P(2m)=\frac{2m-1}{2^{2m}}=\frac{2m-1}{4^{m}}$$

구하는 확률은 $\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}$ 이에요.

식을 둘로 쪼개요. 각각 계산하기 쉬운 급수가 되기 때문이에요.

$$\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2m-1}{4^{m}}=2\sum_{m=1}^{\infty}m\left(\frac14\right)^{m}-\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac14\right)^{m}$$

$|x|<1$ 일 때 $\sum_{m=1}^{\infty}x^m=\frac{x}{1-x}$ 이고 $\sum_{m=1}^{\infty}m x^m=\frac{x}{(1-x)^2}$ 이에요. $x=\frac14$ 를 넣으면

$$\sum m\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{(3/4)^2}=\frac49,\qquad \sum\left(\tfrac14\right)^m=\frac{1/4}{3/4}=\frac13$$

따라서 확률은 다음과 같아요.

$$2\cdot\frac49-\frac13=\frac89-\frac39=\frac59$$

투여 시각을 정리해요. 투여는 시각 $0,\ N,\ 2N,\ \ldots$ 에 이뤄지고, $n=mN+k$ 이면 시각 $n$ 까지 $m+1$ 번(시각 $0,N,\ldots,mN$) 투여한 거예요.

한 번의 투여분이 남는 양을 구해요. 시각 $lN$ 에 투여한 약 $d$ 는 $n-lN$ 시간 동안 매시간 $r$ 배가 되니 $d\,r^{\,n-lN}$ 이 남아요.

모두 더해요. $$A(n)=\sum_{l=0}^{m}d\,r^{\,n-lN}$$ $q=m-l$ 로 바꾸면 $n-lN=k+mN-lN=k+qN$ 이므로 $$A(n)=\sum_{q=0}^{m}d\,r^{\,k+qN}=d\,r^{k}\sum_{q=0}^{m}\left(r^{N}\right)^{q}$$

등비수열의 합 공식을 써요. 첫째항 $1$, 공비 $r^N$, 항의 수 $m+1$ 이니 $$A(n)=d\,r^{k}\cdot\frac{1-r^{(m+1)N}}{1-r^{N}},\qquad n=mN+k$$