문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 수렴과 발산

수열이 한 값에 수렴하는지, 발산(∞·진동)하는지 판단한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

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5문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.1절 · 7번우리말 풀이

첫째항이 $a_1=-3$ 이고 $n\ge1$ 에서 $a_{n+1}-a_n=4$ 를 만족하는 등차수열의 $n$ 번째 항 $a_n$ 의 식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find a formula ${a}_{n}$ for the $n\text{th}$ term of the arithmetic sequence whose first term is ${a}_{1}=-3$ such that ${a}_{n+1}-{a}_{n}=4$ for $n\ge 1.$

풀이 보기

이웃한 항의 차가 일정하면 등차수열이고, 일반항은 $a_n=a_1+(n-1)d$ 예요.

1
수열의 종류를 알아봐요. $a_{n+1}-a_n=4$ 로 차가 일정하니 공차 $d=4$ 인 등차수열이에요.
2
일반항 공식에 넣어요. $a_n=a_1+(n-1)d=-3+4(n-1)=4n-7$
3
확인해요. $a_1=4-7=-3$ , $a_2=1$ , $a_3=5$ 로 차가 $4$ 씩이에요.

답

$a_n=4n-7$

자주 하는 실수

$(n-1)$ 대신 $n$ 을 곱해 $a_n=4n-3$ 으로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=4n-7$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 63번

# 수열의 수렴과 발산계산기본

2.OpenStax 2권 · 5.1절 · 15번우리말 풀이

다음과 같이 점화식으로 정의된 수열에 대하여, $n$ 번째 항 $a_n$ 을 $a_n=f(n)$ 으로 나타내는 함수 $f(n)$ 을 구하세요.

$a_1=2$ 이고 $n\ge1$ 에서 $a_{n+1}=2a_n$

영어 원문 보기

Find a function $f(n)$ that identifies the $n\text{th}$ term ${a}_{n}$ of the following recursively defined sequences, as ${a}_{n}=f(n).$

${a}_{1}=2$ and ${a}_{n+1}=2{a}_{n}$ for $n\ge 1$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$a_{n+1}=2a_n$ 은 "앞 항에 2를 곱한다"는 뜻이니 공비가 2인 등비수열이에요.

1
몇 개 항을 직접 써 봐요. $a_1=2$ , $a_2=2\cdot2=4$ , $a_3=2\cdot4=8$ , $a_4=16$ 이에요. 모두 2의 거듭제곱이에요.
2
등비수열의 일반항 공식을 써요. 첫째항 $a_1=2$ , 공비 $r=2$ 이므로 $a_n=a_1\,r^{\,n-1}=2\cdot2^{\,n-1}=2^{\,n}$
3
확인해요. $a_{n+1}=2^{n+1}=2\cdot2^n=2a_n$ 이고 $a_1=2^1=2$ 이므로 조건을 모두 만족해요.

답

$f(n)=2^{n}$

자주 하는 실수

공비를 곱하는 횟수가 $n-1$ 번인데 $n$ 번으로 세어 $2^{n+1}$ 이라고 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$f(n)={2}^{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 39번

# 수열의 수렴과 발산계산기본

3.CLP-2 · 3.1절 · 4번우리말 번역

다음 성질을 만족하는 수열 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 의 예를 하나 드세요.

$n \leq 1000$ 인 모든 $n$ 에 대해 $a_n>1000$ ,
모든 $n$ 에 대해 $a_{n+1}<a_n$ , 그리고
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = -2$

영어 원문 보기

Give an example of a sequence $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ with the following properties:

$a_n>1000$ for all $n \leq 1000$ ,
$a_{n+1}<a_n$ for all $n$ , and
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n = -2$

정답·풀이 보기

가능한 답은 많다. 그중 하나는 다음과 같다. $a_n = \begin{cases} 3000-n & \text{ 만일 }n \leq 1000\\ -2+\frac{1}{n} & \text{ 만일 }n > 1000 \end{cases}$ 여기서는 1000번째 항을 기준으로 앞뒤의 모양이 다른 급수를 잡았다. 모든 항이 바로 앞의 항보다 작음에 주목한다.

원하는 성질을 갖는 또 다른 수열은 다음과 같다. $a_n=\frac{1,002,001}{n}-2$ $n \leq 1000$ 일 때, $a_n \geq \frac{1,002,001}{1000}-2>\frac{1,002,000}{1,000}-2=1000$ 이다. 즉, $n \le 1000$ 일 때 $a_n>1000$ 이다. $n$ 이 커질수록 $a_n$ 은 작아지므로 모든 $n$ 에 대해 $a_{n+1}<a_n$ 이다. 마지막으로 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0-2=-2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

There are many possible answers. One is: $a_n = \begin{cases} 3000-n & \text{ if }n \leq 1000\\ -2+\frac{1}{n} & \text{ if }n > 1000 \end{cases}$ where we have a series that looks different before and after its thousandth term. Note every term is smaller than the term preceding it.

Another sequence with the desired properties is: $a_n=\frac{1,002,001}{n}-2$ When $n \leq 1000$ , $a_n \geq \frac{1,002,001}{1000}-2>\frac{1,002,000}{1,000}-2=1000$ . That is, $a_n>1000$ when $n \le 1000$ . As $n$ gets larger, $a_n$ gets smaller, so $a_{n+1}<a_n$ for all $n$ . Finally, $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0-2=-2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 7번

# 수열의 수렴과 발산계산기본자동 분류

4.CLP-2 · 3.1절 · 5번우리말 번역

다음 성질을 만족하는 수열 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 의 예를 하나 드세요.

모든 짝수 $n$ 에 대해 $a_n>0$ ,
모든 홀수 $n$ 에 대해 $a_n<0$ ,
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ 은 존재하지 않는다.

영어 원문 보기

Give an example of a sequence $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ with the following properties:

$a_n>0$ for all even $n$ ,
$a_n<0$ for all odd $n$ ,
$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ does not exist.

정답·풀이 보기

가능한 답 중 하나는 $a_n=(-1)^{n} = \{-1, 1,-1,1,-1,1,-1,\ldots\}$ 이다. 또 다른 예는 $a_n=n(-1)^{n} = \{-1, 2,-3,4,-5,6,-7,\ldots\}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

One possible answer is $a_n=(-1)^{n} = \{-1, 1,-1,1,-1,1,-1,\ldots\}$ . Another is $a_n=n(-1)^{n} = \{-1, 2,-3,4,-5,6,-7,\ldots\}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 4번

# 수열의 수렴과 발산계산기본자동 분류

5.CLP-2 · 3.1절 · 7번우리말 번역

아래 수열들의 극한은 조임 정리를 이용하여 구할 수 있다. 각 수열에 대해, 조임 정리에 쓸 수 있는 위에서 누르는(위쪽 경계) 수열과 아래에서 받치는(아래쪽 경계) 수열을 선택하세요.

(a) $a_n = \dfrac{\sin n}{n}$ (b) $b_n = \dfrac{n^2}{e^n(7+\sin n - 5\cos n)}$ (c) $c_n = (-n)^{-n}$

영어 원문 보기

The limits of the sequences below can be evaluated using the squeeze theorem. For each sequence, choose an upper bounding sequence and lower bounding sequence that will work with the squeeze theorem.

(a) $a_n = \dfrac{\sin n}{n}$ (b) $b_n = \dfrac{n^2}{e^n(7+\sin n - 5\cos n)}$ (c) $c_n = (-n)^{-n}$

정답·풀이 보기

(a) 모든 $n$ 에 대해 $-1 \leq \sin n \leq 1$ 이므로, 가능한 위쪽 경계와 아래쪽 경계의 한 가지는 $\dfrac{-1}{n}\le \dfrac{\sin n}{n}\le \dfrac{1}{n}$ 이다. $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{-1}{n} = \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}$ 이므로, 이 수열들은 조임 정리에 쓸 수 있는 올바른 비교 수열이다. (b) 모든 $n$ 에 대해 $-1\leq \sin n \leq 1$ 이고 $-5 \leq -5\cos n \leq 5$ 이므로

$\begin{aligned} 7 -1 -5&\leq 7+ \sin n - 5 \cos n \leq 7+{red}1+{blue}5\\ 1&\leq 7+ \sin n - 5 \cos n \leq13 \end{aligned}$

이를 통해 다음 경계를 시도해 볼 수 있다. $\dfrac{n^2}{13e^n} \le \dfrac{n^2}{e^n(7+\sin n - 5\cos n)} \le \dfrac{n^2}{e^n}$ $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n^2}{13e^n} = \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n^2}{e^n}$ 임을 확인한다(둘 다 0이며, 로피탈 법칙을 이용하여 확인할 수 있다). 따라서 이 경계들은 조임 정리에 쓰기에 적절하다. 또한 $0\le \frac{n^2}{13e^n}$ 이므로 다음을 쓸 수도 있다. $0 \le \dfrac{n^2}{e^n(7+\sin n - 5\cos n)} \le \dfrac{n^2}{e^n}$ (c) $(-n)^{-n} = \dfrac{1}{(-n)^n} = \dfrac{(-1)^n}{n^n}$ 이므로 $\dfrac{-1}{n^n} \le (-n)^{-n} \le \dfrac{1}{n^n}$ 이다. $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{-1}{n^n}$ 과 $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n^n}$ 이 모두 0이므로, 이 경계들은 조임 정리에 쓰기에 적절하다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $-1 \leq \sin n \leq 1$ for all $n$ , one potential set of upper and lower bound is $\dfrac{-1}{n}\le \dfrac{\sin n}{n}\le \dfrac{1}{n}$ Note $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{-1}{n} = \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}$ , so these are valid comparison sequences for the squeeze theorem. (b) Since $-1\leq \sin n \leq 1$ and $-5 \leq -5\cos n \leq 5$ for all $n$ , we see

$\begin{aligned} 7 -1 -5&\leq 7+ \sin n - 5 \cos n \leq 7+{red}1+{blue}5\\ 1&\leq 7+ \sin n - 5 \cos n \leq13 \end{aligned}$

This gives us the idea to try the bounds $\dfrac{n^2}{13e^n} \le \dfrac{n^2}{e^n(7+\sin n - 5\cos n)} \le \dfrac{n^2}{e^n}$ We check that $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n^2}{13e^n} = \lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n^2}{e^n}$ (they're both 0–you can verify using l'Hopital's rule), so these are indeed reasonable bounds to choose to use with the squeeze theorem. Alternatively, since $0\le \frac{n^2}{13e^n}$ , we can also use $0 \le \dfrac{n^2}{e^n(7+\sin n - 5\cos n)} \le \dfrac{n^2}{e^n}$ (c) Since $(-n)^{-n} = \dfrac{1}{(-n)^n} = \dfrac{(-1)^n}{n^n}$ , we see $\dfrac{-1}{n^n} \le (-n)^{-n} \le \dfrac{1}{n^n}$ Since both $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{-1}{n^n}$ and $\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{n^n}$ are 0, these are reasonable bounds to use with the squeeze theorem.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 1번

# 수열의 수렴과 발산계산기본자동 분류