문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

급수의 수렴과 발산

부분합의 극한으로 급수의 합을 구하고, aₙ→0 조건으로 발산을 판단한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.2절 · 3번우리말 풀이

시그마 기호를 써서 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

$1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots$

영어 원문 보기

Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...$

풀이 보기

분모의 규칙과 부호의 규칙을 따로 찾아 곱해요.

1
분모를 봐요. $1,2,3,4,\ldots$ 이므로 $n$ 번째 항의 크기는 $\dfrac1n$ 이에요.
2
부호를 봐요. $+,-,+,-,\ldots$ 로 번갈아 바뀌어요. 첫 항이 $+$ 이므로 $n=1$ 에서 $+1$ 이 되도록 $(-1)^{n-1}$ 을 써요( $n=2$ 면 $-1$ ).
3
합쳐서 써요. $1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$

답

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$

자주 하는 실수

부호를 $(-1)^n$ 으로 써서 첫 항이 $-1$ 이 되는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 47번

# 급수의 수렴과 발산계산기본

2.OpenStax 2권 · 5.2절 · 7번우리말 풀이

다음과 같이 $n=1$ 부터 시작하는 급수의 $n$ 번째 항이 $a_n$ 일 때, 처음 네 개의 부분합 $S_1,\ldots,S_4$ 를 구하세요.

$a_n=\sin(n\pi/2)$

영어 원문 보기

Compute the first four partial sums ${S}_{1},\ldots ,{S}_{4}$ for the series having $n\text{th}$ term ${a}_{n}$ starting with $n=1$ as follows.

${a}_{n}=\sin (n\pi /2)$

답 쓰고 채점

풀이 보기

부분합 $S_k$ 는 처음 $k$ 개의 항을 더한 값이에요.

1
각 항을 구해요. $\sin\frac{\pi}{2}=1$ , $\sin\pi=0$ , $\sin\frac{3\pi}{2}=-1$ , $\sin2\pi=0$ 이므로 $a_1=1,\ a_2=0,\ a_3=-1,\ a_4=0$ 이에요.
2
차례로 더해요. $S_1=1,\quad S_2=1+0=1,\quad S_3=1+0+(-1)=0,\quad S_4=0+0=0$

답

$S_1=1,\ S_2=1,\ S_3=0,\ S_4=0$

자주 하는 실수

부분합을 항 자체와 혼동해 $S_3=-1$ 처럼 쓰는 실수가 있어요(부분합은 누적한 합이에요).

원본 교재 풀이(영어)

$1,1,0,0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 3번

# 급수의 수렴과 발산계산기본

3.OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번우리말 풀이

다음 급수를 서로 소거되는 합(망원합) 꼴로 나타내고, 제 $n$ 항까지의 부분합을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)$

영어 원문 보기

Express the following series as a telescoping sum and evaluate its nth partial sum.

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)$

풀이 보기

로그의 나눗셈은 뺄셈으로 바꿀 수 있어서, 항을 늘어놓으면 가운데 항들이 줄줄이 사라져요.

1
먼저 로그의 성질 $\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ 를 써서 일반항을 뺄셈 꼴로 바꿔요.

$\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)=\ln n-\ln(n+1)$

그래서 급수는 $\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big)$ 로 쓸 수 있어요.
2
부분합 $S_k$ 는 처음 $k$ 개의 항을 더한 값이에요. 왜 이렇게 쓰냐면, 항을 직접 늘어놓아야 무엇이 소거되는지 보이기 때문이에요.

$S_k=(\ln 1-\ln 2)+(\ln 2-\ln 3)+(\ln 3-\ln 4)+\cdots+(\ln k-\ln(k+1))$
3
이웃한 항끼리 $-\ln 2$ 와 $+\ln 2$ , $-\ln 3$ 와 $+\ln 3$ 처럼 서로 지워져요. 남는 것은 맨 앞의 $\ln 1$ 과 맨 뒤의 $-\ln(k+1)$ 뿐이에요.
4
$\ln 1=0$ 이므로 부분합은 다음과 같아요.

$S_k=\ln 1-\ln(k+1)=-\ln(k+1)$

참고로 $k\to\infty$ 이면 $S_k\to-\infty$ 이므로 이 급수는 발산해요.

답

$\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big)$ , $\;S_k=-\ln(k+1)$

자주 하는 실수

$\ln 1$ 을 $1$ 로 착각하면 안 돼요. $\ln 1=0$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln n-\ln (n+1),{S}_{k}=-\ln (k+1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 7번

# 급수의 수렴과 발산계산보통

4.OpenStax 2권 · 5.2절 · 43번우리말 풀이

일반적인 망원급수란, 연속한 항들을 어느 정도 더하고 나면 처음 몇 항을 빼고는 모두 지워지는 급수입니다.

$a_n=f(n)-2f(n+1)+f(n+2)$ 이고 $n\to\infty$ 일 때 $f(n)\to0$ 이라고 합시다. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

A general telescoping series is one in which all but the first few terms cancel out after summing a given number of successive terms.

Let ${a}_{n}=f(n)-2f(n+1)+f(n+2),$ in which $f(n)\to 0$ as $n\to \infty .$ Find $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}.$

풀이 보기

$a_n$ 을 "앞뒤가 지워지는 차"의 꼴로 바꾸면 부분합이 몇 개 항만 남아요.

1
$a_n$ 을 두 개의 차로 나눠요. $-2f(n+1)=-f(n+1)-f(n+1)$ 이므로 $a_n=\big[f(n)-f(n+1)\big]-\big[f(n+1)-f(n+2)\big]$
2
부분합 $S_N$ 을 써요. 각 대괄호를 따로 더하면 이웃한 항이 지워져요. $\sum_{n=1}^N\big[f(n)-f(n+1)\big]=f(1)-f(N+1),\qquad \sum_{n=1}^N\big[f(n+1)-f(n+2)\big]=f(2)-f(N+2)$ $S_N=f(1)-f(N+1)-f(2)+f(N+2)$
3
$N\to\infty$ 로 보내요. $f(N+1)\to0$ , $f(N+2)\to0$ 이므로 $\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{N\to\infty}S_N=f(1)-f(2)$

답

$f(1)-f(2)$

자주 하는 실수

두 번째 대괄호의 부호를 놓쳐 $f(1)+f(2)$ 로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=f(1)-f(2)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 57번

# 급수의 수렴과 발산계산도전