빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

급수의 수렴과 발산

부분합의 극한으로 급수의 합을 구하고, aₙ→0 조건으로 발산을 판단한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

85문제 · 1 / 5쪽

1.OpenStax 2권 · 5.2절 · 3번우리말 풀이

시그마 기호를 써서 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

1−12+13−14+⋯1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots

영어 원문 보기

Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.

1−12+13−14+...1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...

풀이 보기

분모의 규칙과 부호의 규칙을 따로 찾아 곱해요.

  1. 1

    분모를 봐요. 1,2,3,4,…1,2,3,4,\ldots 이므로 nn 번째 항의 크기는 1n\dfrac1n 이에요.

  2. 2

    부호를 봐요. +,−,+,−,…+,-,+,-,\ldots 로 번갈아 바뀌어요. 첫 항이 ++ 이므로 n=1n=1 에서 +1+1 이 되도록 (−1)n−1(-1)^{n-1} 을 써요(n=2n=2 면 −1-1).

  3. 3

    합쳐서 써요. 1−12+13−14+⋯=∑n=1∞(−1)n−1n1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}

답

∑n=1∞(−1)n−1n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}

자주 하는 실수

부호를 (−1)n(-1)^n 으로 써서 첫 항이 −1-1 이 되는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

∑n=1∞(−1)n−1n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 47번
# 급수의 수렴과 발산계산기본
2.OpenStax 2권 · 5.2절 · 7번우리말 풀이

다음과 같이 n=1n=1 부터 시작하는 급수의 nn 번째 항이 ana_n 일 때, 처음 네 개의 부분합 S1,…,S4S_1,\ldots,S_4 를 구하세요.

an=sin⁡(nπ/2)a_n=\sin(n\pi/2)

영어 원문 보기

Compute the first four partial sums S1,…,S4{S}_{1},\ldots ,{S}_{4} for the series having nthn\text{th} term an{a}_{n} starting with n=1n=1 as follows.

an=sin⁡(nπ/2){a}_{n}=\sin (n\pi /2)

답 쓰고 채점
풀이 보기

부분합 SkS_k 는 처음 kk 개의 항을 더한 값이에요.

  1. 1

    각 항을 구해요. sin⁡π2=1\sin\frac{\pi}{2}=1, sin⁡π=0\sin\pi=0, sin⁡3π2=−1\sin\frac{3\pi}{2}=-1, sin⁡2π=0\sin2\pi=0 이므로 a1=1, a2=0, a3=−1, a4=0a_1=1,\ a_2=0,\ a_3=-1,\ a_4=0 이에요.

  2. 2

    차례로 더해요. S1=1,S2=1+0=1,S3=1+0+(−1)=0,S4=0+0=0S_1=1,\quad S_2=1+0=1,\quad S_3=1+0+(-1)=0,\quad S_4=0+0=0

답

S1=1, S2=1, S3=0, S4=0S_1=1,\ S_2=1,\ S_3=0,\ S_4=0

자주 하는 실수

부분합을 항 자체와 혼동해 S3=−1S_3=-1 처럼 쓰는 실수가 있어요(부분합은 누적한 합이에요).

원본 교재 풀이(영어)

1,1,0,01,1,0,0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 3번
# 급수의 수렴과 발산계산기본
3.OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번우리말 풀이

다음 급수를 서로 소거되는 합(망원합) 꼴로 나타내고, 제 nn항까지의 부분합을 구하세요.

∑n=1∞ln⁡(nn+1)\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)

영어 원문 보기

Express the following series as a telescoping sum and evaluate its nth partial sum.

∑n=1∞ln⁡(nn+1)\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)

풀이 보기

로그의 나눗셈은 뺄셈으로 바꿀 수 있어서, 항을 늘어놓으면 가운데 항들이 줄줄이 사라져요.

  1. 1

    먼저 로그의 성질 ln⁡ab=ln⁡a−ln⁡b\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b 를 써서 일반항을 뺄셈 꼴로 바꿔요.

    ln⁡(nn+1)=ln⁡n−ln⁡(n+1)\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)=\ln n-\ln(n+1)

    그래서 급수는 ∑n=1∞(ln⁡n−ln⁡(n+1))\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big) 로 쓸 수 있어요.

  2. 2

    부분합 SkS_k 는 처음 kk 개의 항을 더한 값이에요. 왜 이렇게 쓰냐면, 항을 직접 늘어놓아야 무엇이 소거되는지 보이기 때문이에요.

    Sk=(ln⁡1−ln⁡2)+(ln⁡2−ln⁡3)+(ln⁡3−ln⁡4)+⋯+(ln⁡k−ln⁡(k+1))S_k=(\ln 1-\ln 2)+(\ln 2-\ln 3)+(\ln 3-\ln 4)+\cdots+(\ln k-\ln(k+1))

  3. 3

    이웃한 항끼리 −ln⁡2-\ln 2 와 +ln⁡2+\ln 2, −ln⁡3-\ln 3 와 +ln⁡3+\ln 3 처럼 서로 지워져요. 남는 것은 맨 앞의 ln⁡1\ln 1 과 맨 뒤의 −ln⁡(k+1)-\ln(k+1) 뿐이에요.

  4. 4

    ln⁡1=0\ln 1=0 이므로 부분합은 다음과 같아요.

    Sk=ln⁡1−ln⁡(k+1)=−ln⁡(k+1)S_k=\ln 1-\ln(k+1)=-\ln(k+1)

    참고로 k→∞k\to\infty 이면 Sk→−∞S_k\to-\infty 이므로 이 급수는 발산해요.

답

∑n=1∞(ln⁡n−ln⁡(n+1))\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big),   Sk=−ln⁡(k+1)\;S_k=-\ln(k+1)

자주 하는 실수

ln⁡1\ln 1 을 11 로 착각하면 안 돼요. ln⁡1=0\ln 1=0 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

∑n=1∞ln⁡n−ln⁡(n+1),Sk=−ln⁡(k+1)\sum_{n=1}^{\infty }\ln n-\ln (n+1),{S}_{k}=-\ln (k+1)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 7번
# 급수의 수렴과 발산계산보통
4.OpenStax 2권 · 5.2절 · 43번우리말 풀이

일반적인 망원급수란, 연속한 항들을 어느 정도 더하고 나면 처음 몇 항을 빼고는 모두 지워지는 급수입니다.

an=f(n)−2f(n+1)+f(n+2)a_n=f(n)-2f(n+1)+f(n+2) 이고 n→∞n\to\infty 일 때 f(n)→0f(n)\to0 이라고 합시다. ∑n=1∞an\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n 을 구하세요.

영어 원문 보기

A general telescoping series is one in which all but the first few terms cancel out after summing a given number of successive terms.

Let an=f(n)−2f(n+1)+f(n+2),{a}_{n}=f(n)-2f(n+1)+f(n+2), in which f(n)→0f(n)\to 0 as n→∞.n\to \infty . Find ∑n=1∞an.\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}.

풀이 보기

ana_n 을 "앞뒤가 지워지는 차"의 꼴로 바꾸면 부분합이 몇 개 항만 남아요.

  1. 1

    ana_n 을 두 개의 차로 나눠요. −2f(n+1)=−f(n+1)−f(n+1)-2f(n+1)=-f(n+1)-f(n+1) 이므로 an=[f(n)−f(n+1)]−[f(n+1)−f(n+2)]a_n=\big[f(n)-f(n+1)\big]-\big[f(n+1)-f(n+2)\big]

  2. 2

    부분합 SNS_N 을 써요. 각 대괄호를 따로 더하면 이웃한 항이 지워져요. ∑n=1N[f(n)−f(n+1)]=f(1)−f(N+1),∑n=1N[f(n+1)−f(n+2)]=f(2)−f(N+2)\sum_{n=1}^N\big[f(n)-f(n+1)\big]=f(1)-f(N+1),\qquad \sum_{n=1}^N\big[f(n+1)-f(n+2)\big]=f(2)-f(N+2) SN=f(1)−f(N+1)−f(2)+f(N+2)S_N=f(1)-f(N+1)-f(2)+f(N+2)

  3. 3

    N→∞N\to\infty 로 보내요. f(N+1)→0f(N+1)\to0, f(N+2)→0f(N+2)\to0 이므로 ∑n=1∞an=lim⁡N→∞SN=f(1)−f(2)\sum_{n=1}^\infty a_n=\lim_{N\to\infty}S_N=f(1)-f(2)

답

f(1)−f(2)f(1)-f(2)

자주 하는 실수

두 번째 대괄호의 부호를 놓쳐 f(1)+f(2)f(1)+f(2) 로 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

∑n=1∞an=f(1)−f(2)\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=f(1)-f(2)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 57번
# 급수의 수렴과 발산계산도전
5.OpenStax 2권 · 5.2절 · 1번우리말 번역

시그마 기호를 사용하여 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

1+12+13+14+⋯1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots

영어 원문 보기

Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.

1+12+13+14+⋯1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots

정답·풀이 보기

∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}

원본 교재 풀이(영어)

∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 9번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
6.OpenStax 2권 · 5.2절 · 2번우리말 번역

시그마 기호를 사용하여 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

1−1+1−1+⋯1-1+1-1+\cdots

영어 원문 보기

Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.

1−1+1−1+⋯1-1+1-1+\cdots

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 28번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
7.OpenStax 2권 · 5.2절 · 4번우리말 번역

시그마 기호를 사용하여 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

sin⁡1+sin⁡12+sin⁡13+sin⁡14+⋯\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\sin \frac{1}{3}+\sin \frac{1}{4}+\cdots

영어 원문 보기

Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.

sin⁡1+sin⁡12+sin⁡13+sin⁡14+⋯\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\sin \frac{1}{3}+\sin \frac{1}{4}+\cdots

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 37번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
8.OpenStax 2권 · 5.2절 · 5번우리말 번역

n=1n=1 부터 시작하는 급수의 제 nn 항이 an{a}_{n} 일 때, 다음에 대해 처음 네 개의 부분합 S1,…,S4{S}_{1},\ldots ,{S}_{4} 를 구하세요.

an=n{a}_{n}=n

영어 원문 보기

Compute the first four partial sums S1,…,S4{S}_{1},\ldots ,{S}_{4} for the series having nthn\text{th} term an{a}_{n} starting with n=1n=1 as follows.

an=n{a}_{n}=n

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

1,3,6,101,3,6,10

원본 교재 풀이(영어)

1,3,6,101,3,6,10

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 1번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
9.OpenStax 2권 · 5.2절 · 6번우리말 번역

n=1n=1 부터 시작하는 급수의 제 nn 항이 an{a}_{n} 일 때, 다음에 대해 처음 네 개의 부분합 S1,…,S4{S}_{1},\ldots ,{S}_{4} 를 구하세요.

an=1/n{a}_{n}=1/n

영어 원문 보기

Compute the first four partial sums S1,…,S4{S}_{1},\ldots ,{S}_{4} for the series having nthn\text{th} term an{a}_{n} starting with n=1n=1 as follows.

an=1/n{a}_{n}=1/n

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 63번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.OpenStax 2권 · 5.2절 · 8번우리말 번역

다음과 같이 n=1n=1 부터 시작하는 nthn\text{th} 항이 an{a}_{n} 인 급수에 대해 처음 네 부분합 S1,…,S4{S}_{1},\ldots ,{S}_{4} 를 구하세요.

an=(−1)n{a}_{n}={(-1)}^{n}

영어 원문 보기

Compute the first four partial sums S1,…,S4{S}_{1},\ldots ,{S}_{4} for the series having nthn\text{th} term an{a}_{n} starting with n=1n=1 as follows.

an=(−1)n{a}_{n}={(-1)}^{n}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 3번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.OpenStax 2권 · 5.2절 · 9번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 부분합 Sn{S}_{n} 을 갖는 급수의 일반항 an{a}_{n} 을 구하세요. 부분합의 수열이 수렴하면 그 극한 SS 를 구하세요.

Sn=1−1n,{S}_{n}=1-\frac{1}{n}, n≥2n\ge 2

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the general term an{a}_{n} of the series with the given partial sum Sn.{S}_{n}. If the sequence of partial sums converges, find its limit S.S.

Sn=1−1n,{S}_{n}=1-\frac{1}{n}, n≥2n\ge 2

정답·풀이 보기

an=Sn−Sn−1=1n−1−1n{a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}. 급수는 S=1S=1 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

an=Sn−Sn−1=1n−1−1n.{a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}. Series converges to S=1.S=1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 5번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
12.OpenStax 2권 · 5.2절 · 10번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 부분합 Sn{S}_{n} 을 갖는 급수의 일반항 an{a}_{n} 을 구하세요. 부분합의 수열이 수렴하면 그 극한 SS 를 구하세요.

Sn=n(n+1)2,{S}_{n}=\frac{n(n+1)}{2}, n≥1n\ge 1

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the general term an{a}_{n} of the series with the given partial sum Sn.{S}_{n}. If the sequence of partial sums converges, find its limit S.S.

Sn=n(n+1)2,{S}_{n}=\frac{n(n+1)}{2}, n≥1n\ge 1

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 27번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
13.OpenStax 2권 · 5.2절 · 11번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 부분합 Sn{S}_{n} 을 갖는 급수의 일반항 an{a}_{n} 을 구하세요. 부분합의 수열이 수렴하면 그 극한 SS 를 구하세요.

Sn=n,n≥2{S}_{n}=\sqrt{n},n\ge 2

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the general term an{a}_{n} of the series with the given partial sum Sn.{S}_{n}. If the sequence of partial sums converges, find its limit S.S.

Sn=n,n≥2{S}_{n}=\sqrt{n},n\ge 2

정답·풀이 보기

an=Sn−Sn−1=n−n−1=1n−1+n{a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}. 부분합이 유계가 아니므로 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

an=Sn−Sn−1=n−n−1=1n−1+n.{a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}. Series diverges because partial sums are unbounded.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 13번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
14.OpenStax 2권 · 5.2절 · 12번우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 부분합 Sn{S}_{n} 을 갖는 급수의 일반항 an{a}_{n} 을 구하세요. 부분합의 수열이 수렴하면 그 극한 SS 를 구하세요.

Sn=2−(n+2)/2n,n≥1{S}_{n}=2-(n+2)/{2}^{n},n\ge 1

영어 원문 보기

In the following exercises, compute the general term an{a}_{n} of the series with the given partial sum Sn.{S}_{n}. If the sequence of partial sums converges, find its limit S.S.

Sn=2−(n+2)/2n,n≥1{S}_{n}=2-(n+2)/{2}^{n},n\ge 1

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 2번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
15.OpenStax 2권 · 5.2절 · 13번우리말 번역

다음 각 급수에 대해 부분합의 수열을 이용하여 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

∑n=1∞nn+2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{n+2}

영어 원문 보기

For each of the following series, use the sequence of partial sums to determine whether the series converges or diverges.

∑n=1∞nn+2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{n+2}

정답·풀이 보기

S1=1/3,{S}_{1}=1/3, S2=1/3+2/4>1/3+1/3=2/3,{S}_{2}=1/3+2/4>1/3+1/3=2/3, S3=1/3+2/4+3/5>3⋅(1/3)=1{S}_{3}=1/3+2/4+3/5>3\cdot (1/3)=1 이다. 일반적으로 Sk>k/3{S}_{k}>k/3 이다. 급수는 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

S1=1/3,{S}_{1}=1/3, S2=1/3+2/4>1/3+1/3=2/3,{S}_{2}=1/3+2/4>1/3+1/3=2/3, S3=1/3+2/4+3/5>3⋅(1/3)=1.{S}_{3}=1/3+2/4+3/5>3\cdot (1/3)=1. In general Sk>k/3.{S}_{k}>k/3. Series diverges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 43번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
16.OpenStax 2권 · 5.2절 · 14번우리말 번역

다음 각 급수에 대해 부분합의 수열을 이용하여 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

∑n=1∞(1−(−1)n))\sum_{n=1}^{\infty }(1-{(-1)}^{n}))

영어 원문 보기

For each of the following series, use the sequence of partial sums to determine whether the series converges or diverges.

∑n=1∞(1−(−1)n))\sum_{n=1}^{\infty }(1-{(-1)}^{n}))

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 19번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
17.OpenStax 2권 · 5.2절 · 15번우리말 번역

∑n=1∞1(n+1)(n+2)\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(n+1)(n+2)} (힌트: ∑n=1∞1n(n+1).)\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}.) 에서와 같은 부분분수분해를 이용하세요.)

영어 원문 보기

∑n=1∞1(n+1)(n+2)\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(n+1)(n+2)} (Hint: Use a partial fraction decomposition like that for ∑n=1∞1n(n+1).)\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}.)

정답·풀이 보기

S1=1/(2.3)=1/6=2/3−1/2,S2=1/(2.3)+1/(3.4)=2/12+1/12=1/4=3/4−1/2,S3=1/(2.3)+1/(3.4)+1/(4.5)=10/60+5/60+3/60=3/10=4/5−1/2,S4=1/(2.3)+1/(3.4)+1/(4.5)+1/(5.6)=10/60+5/60+3/60+2/60=1/3=5/6−1/2.\begin{array}{c}{S}_{1}=1/(2.3)=1/6=2/3-1/2, \\ {S}_{2}=1/(2.3)+1/(3.4)=2/12+1/12=1/4=3/4-1/2, \\ {S}_{3}=1/(2.3)+1/(3.4)+1/(4.5)=10/60+5/60+3/60=3/10=4/5-1/2, \\ {S}_{4}=1/(2.3)+1/(3.4)+1/(4.5)+1/(5.6)=10/60+5/60+3/60+2/60=1/3=5/6-1/2.\end{array}

규칙은 Sk=(k+1)/(k+2)−1/2{S}_{k}=(k+1)/(k+2)-1/2 이고, 이 급수는 1/21/2 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

S1=1/(2.3)=1/6=2/3−1/2,S2=1/(2.3)+1/(3.4)=2/12+1/12=1/4=3/4−1/2,S3=1/(2.3)+1/(3.4)+1/(4.5)=10/60+5/60+3/60=3/10=4/5−1/2,S4=1/(2.3)+1/(3.4)+1/(4.5)+1/(5.6)=10/60+5/60+3/60+2/60=1/3=5/6−1/2.\begin{array}{c}{S}_{1}=1/(2.3)=1/6=2/3-1/2, \\ {S}_{2}=1/(2.3)+1/(3.4)=2/12+1/12=1/4=3/4-1/2, \\ {S}_{3}=1/(2.3)+1/(3.4)+1/(4.5)=10/60+5/60+3/60=3/10=4/5-1/2, \\ {S}_{4}=1/(2.3)+1/(3.4)+1/(4.5)+1/(5.6)=10/60+5/60+3/60+2/60=1/3=5/6-1/2.\end{array}

The pattern is Sk=(k+1)/(k+2)−1/2{S}_{k}=(k+1)/(k+2)-1/2 and the series converges to 1/2.1/2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 67번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
18.OpenStax 2권 · 5.2절 · 16번우리말 번역

다음 각 급수에 대하여 부분합의 수열을 이용하여 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요.

∑n=1∞12n+1\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n+1} (힌트: ∑n=1∞1n.)\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}.) 의 풀이 과정을 따라 해 보세요.)

영어 원문 보기

For each of the following series, use the sequence of partial sums to determine whether the series converges or diverges.

∑n=1∞12n+1\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n+1} (Hint: Follow the reasoning for ∑n=1∞1n.)\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}.)

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 33번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
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19.OpenStax 2권 · 5.2절 · 17번우리말 번역

∑n=1∞an=1,\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=1, ∑n=1∞bn=−1,\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}=-1, a1=2,{a}_{1}=2, b1=−3{b}_{1}=-3 이라 하자. 다음 급수의 합을 구하세요.

∑n=1∞(an+bn)\sum_{n=1}^{\infty }({a}_{n}+{b}_{n})

영어 원문 보기

Suppose that ∑n=1∞an=1,\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=1, that ∑n=1∞bn=−1,\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}=-1, that a1=2,{a}_{1}=2, and b1=−3.{b}_{1}=-3. Find the sum of the indicated series.

∑n=1∞(an+bn)\sum_{n=1}^{\infty }({a}_{n}+{b}_{n})

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 11번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
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20.OpenStax 2권 · 5.2절 · 18번우리말 번역

∑n=1∞an=1,\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=1, ∑n=1∞bn=−1,\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}=-1, a1=2{a}_{1}=2, 그리고 b1=−3{b}_{1}=-3 이라 하자. 주어진 급수의 합을 구하세요.

∑n=1∞(an−2bn)\sum_{n=1}^{\infty }({a}_{n}-2{b}_{n})

영어 원문 보기

Suppose that ∑n=1∞an=1,\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}=1, that ∑n=1∞bn=−1,\sum_{n=1}^{\infty }{b}_{n}=-1, that a1=2,{a}_{1}=2, and b1=−3.{b}_{1}=-3. Find the sum of the indicated series.

∑n=1∞(an−2bn)\sum_{n=1}^{\infty }({a}_{n}-2{b}_{n})

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 67번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
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