테일러 다항식과 오차 연습문제

21.CLP-1 · 3.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

선형 근사를 이용하여 $(2.001)^3$ 의 값을 어림하세요. 답을 $n/1000$ 꼴로 나타내세요. 단, $n$ 은 정수입니다.

영어 원문 보기

Use a linear approximation to estimate $(2.001)^3$ . Write your answer in the form $n/1000$ where $n$ is an integer.

정답·풀이 보기

$f(x)=(2+x)^3$ 이라 하면 $f(0.001)$ 을 어림하는 것이다.

$a$ 로 가장 자연스러운 선택은 $a=0$ 이다.

그러면 $f'(x)=3(2+x)^2$ 이므로 $(2.001)^3=f(0.001)\approx f(0)+f'(0)(0.001-0) =8+\frac{12}{1000}=\frac{8012}{1000}$

참고: $f(x)=x^3$ 과 $a=2$ 를 선택했더라도 결과는 완전히 같다.

원본 교재 풀이(영어)

Set $f(x)=(2+x)^3$ , so we are approximating $f(0.001)$ .

The obvious choice of $a$ is $a=0$ .

Then $f'(x)=3(2+x)^2$ , so $(2.001)^3=f(0.001)\approx f(0)+f'(0)(0.001-0) =8+\frac{12}{1000}=\frac{8012}{1000}$

Remark: if we had chosen $f(x)=x^3$ and $a=2$ , the result would have been exactly the same.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 12번

# 테일러 다항식과 오차계산보통자동 분류

22.CLP-1 · 3.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

적절한 선형 근사를 이용하여 $(8.06)^{2/3}$ 의 값을 어림하세요. 답은 분자와 분모가 모두 정수인 분수로 나타내세요.

영어 원문 보기

Using a suitable linear approximation, estimate $(8.06)^{2/3}$ . Give your answer as a fraction in which both the numerator and denominator are integers.

정답·풀이 보기

$f(x)=(8+x)^{2/3}$ 이라 하고, 중심을 $a=0$ 으로 택한다.

그러면 $f'(x)=\dfrac{2}{3}(8+x)^{-1/3}$ 이므로

$\begin{aligned} (8.06)^{2/3}=f(0.06)&\approx f(0)+f'(0)\cdot 0.06\\ &=8^{2/3}+\frac{2}{3}8^{-1/3}\cdot 0.06\\ &=\sqrt[3]{8}^2+\frac{2}{3\sqrt[3]{8}}\cdot 0.06\\ &=2^2+\frac{2}{3\cdot 2}\cdot 0.06\\ &=4+\frac{1}{3}\cdot 0.06\\&=4.02=\frac{402}{100}\end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We set $f(x)=(8+x)^{2/3}$ , and choose $a=0$ as our centre.

Then $f'(x)=\dfrac{2}{3}(8+x)^{-1/3}$ , so that

$\begin{aligned} (8.06)^{2/3}=f(0.06)&\approx f(0)+f'(0)\cdot 0.06\\ &=8^{2/3}+\frac{2}{3}8^{-1/3}\cdot 0.06\\ &=\sqrt[3]{8}^2+\frac{2}{3\sqrt[3]{8}}\cdot 0.06\\ &=2^2+\frac{2}{3\cdot 2}\cdot 0.06\\ &=4+\frac{1}{3}\cdot 0.06\\&=4.02=\frac{402}{100}\end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 13번

# 테일러 다항식과 오차계산보통자동 분류

23.CLP-1 · 3.4절 · 13번대학 수준우리말 번역

$x = 0$ 에서 $f(x)=(1 - 3x)^{-1/3}$ 의 3차 테일러 다항식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the third–order Taylor polynomial for $f(x)=(1 - 3x)^{-1/3}$ around $x = 0$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 $x=0$ 에서 $f$ 의 미분계수를 구한다.

$\begin{aligned} f(x)&=(1 - 3x)^{-1/3} & f(0) & = 1 \\ f'(x)&=(-3)\frac{-1}{3}(1 - 3x)^{-4/3}=(1-3x)^{-4/3} & f'(0) & = 1 \\ f''(x)&=(-3)\frac{-4}{3}(1-3x)^{-7/3}={4}(1 - 3x)^{-7/3} & f''(0) & = 4 \\ f^{(3)}(x)&=(-3)(4)\frac{-7}{3}(1-3x)^{-10/3}=28(1 - 3x)^{-10/3} & f^{(3)}(0) & = 28 \\ \end{aligned}$

이 값들을 테일러 다항식의 정의에 대입하면, $x = 0$ 에서 $f$ 의 3차 테일러 다항식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} T_3(x)&=1+x+\frac{4}{2!}x^2+\frac{28}{3!}x^3\\ &=1 + x +2x^2+\frac{14}{3}x^3 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We begin by finding the derivatives of $f$ at $x=0$ .

$\begin{aligned} f(x)&=(1 - 3x)^{-1/3} & f(0) & = 1 \\ f'(x)&=(-3)\frac{-1}{3}(1 - 3x)^{-4/3}=(1-3x)^{-4/3} & f'(0) & = 1 \\ f''(x)&=(-3)\frac{-4}{3}(1-3x)^{-7/3}={4}(1 - 3x)^{-7/3} & f''(0) & = 4 \\ f^{(3)}(x)&=(-3)(4)\frac{-7}{3}(1-3x)^{-10/3}=28(1 - 3x)^{-10/3} & f^{(3)}(0) & = 28 \\ \end{aligned}$

Plugging these into the definition of a Taylor Polynomial, we find that the third–order Taylor polynomial for $f$ around $x = 0$ is

$\begin{aligned} T_3(x)&=1+x+\frac{4}{2!}x^2+\frac{28}{3!}x^3\\ &=1 + x +2x^2+\frac{14}{3}x^3 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 테일러 다항식과 오차계산보통자동 분류