빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

그린 정리

평면 폐곡선의 선적분을 둘러싼 영역의 이중적분으로 바꾼다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-4 · 4.3절 · 23번대학 수준우리말 번역

RR 을 xyxy평면의 제1사분면에서 좌표축과 곡선 y=1−x2y=1-x^2 으로 둘러싸인 유계인 영역이라고 하자. C\mathcal{C} 를 RR 의 경계라 하고, 반시계 방향으로 향을 정한다.

(a) ∫Cx ds\int_\mathcal{C} x\,\mathrm{d}s 의 값을 구하세요. (b) ∫CF⋅dr\int_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} 의 값을 구하세요. 단, F(x,y)=(sin⁡(x2)−xy) ı^+(x2+cos⁡(y2)) ȷ^\mathbf{F}(x,y) =\big(\sin(x^2)-xy\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\big(x^2+\cos(y^2)\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이다.

영어 원문 보기

Let RR be the region in the first quadrant of the xyxy-plane bounded by the coordinate axes and the curve y=1−x2y=1-x^2. Let C\mathcal{C} be the boundary of RR, oriented counterclockwise.

(a) Evaluate ∫Cx ds\int_\mathcal{C} x\,\mathrm{d}s. (b) Evaluate ∫CF⋅dr\int_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}, where F(x,y)=(sin⁡(x2)−xy) ı^+(x2+cos⁡(y2)) ȷ^\mathbf{F}(x,y) =\big(\sin(x^2)-xy\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\big(x^2+\cos(y^2)\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}.

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) C1\mathcal{C}_1 을 (0,1)(0,1) 에서 (0,0)(0,0) 까지의 선분, C2\mathcal{C}_2 를 (0,0)(0,0) 에서 (1,0)(1,0) 까지의 선분, C3\mathcal{C}_3 을 (1,0)(1,0) 에서 (0,1)(0,1) 까지의 곡선 y=1−x2y=1-x^2 이라고 하자.

그림

그러면

∫C1x ds=∫C10 ds=0∫C2x ds=∫01x dx=12\begin{aligned} \int_{\mathcal{C}_1} x\,\mathrm{d}s&=\int_{\mathcal{C}_1} 0\,\mathrm{d}s=0\\ \int_{\mathcal{C}_2} x\,\mathrm{d}s&=\int_0^1 x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \end{aligned}

C3\mathcal{C}_3 을 따른 적분을 계산하기 위해 다음 매개변수 표현을 사용한다.

(x(t),y(t))=(1−t , 1−(1−t)2)0≤t≤1(x′(t),y′(t))=(−1 , 2(1−t))dsdt(t)=x′(t)2+y′(t)2=1+4(1−t)2\begin{aligned} \big(x(t),y(t)\big) &= \big(1-t\,,\, 1-(1-t)^2\big) \qquad 0\le t\le 1 \\ \big(x'(t),y'(t)\big) &= \big(-1\,,\, 2(1-t)\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) &= \sqrt{x'(t)^2 +y'(t)^2} =\sqrt{1 + 4 (1-t)^2} \end{aligned}

따라서

∫C3x ds=∫01x(t)dsdt(t) dt=∫01(1−t)1+4(1−t)2 dt=[−112(1+4(1−t)2)3/2]01=112[−1+53/2]\begin{aligned} \int_{\mathcal{C}_3} x\,\mathrm{d}s &=\int_0^1 x(t) \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1 (1-t)\sqrt{1+4(1-t)^2}\,\mathrm{d}t\\ &=\Big[-\frac{1}{12}{(1+4(1-t)^2)}^{3/2}\Big]_0^1 =\frac{1}{12}\big[-1+5^{3/2}\big] \end{aligned}

모두 합하면 ∫Cx ds=12+112[53/2−1]≈1.3484\int_{\mathcal{C}} x\,\mathrm{d}s=\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\big[5^{3/2}-1\big] \approx 1.3484

(b) 스토크스 정리 또는 그린 정리에 의해

∫CF⋅dr=∬R[∂∂x(x2+cos⁡(y2))−∂∂y(sin⁡(x2)−xy)] dxdy=∬R3x dxdy=3∫01dx∫01−x2dy x=3∫01dx (1−x2)x=3[12−14]=34\begin{aligned} \int_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _R\Big[\frac{\partial }{\partial x}\big(x^2+\cos(y^2)\big) -\frac{\partial }{\partial y}\big(\sin(x^2)-xy\big) \Big]\ \mathrm{d}x \mathrm{d}y =\iint _R3x\ \mathrm{d}x \mathrm{d}y\\ &=3\int_0^1 \mathrm{d}x\int_0^{1-x^2}\mathrm{d}y\ x =3\int_0^1 \mathrm{d}x\ (1-x^2) x =3\Big[\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\Big]=\frac{3}{4} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a) Let C1\mathcal{C}_1 be the line segment from (0,1)(0,1) to (0,0)(0,0), C2\mathcal{C}_2 be the line segment from (0,0)(0,0) to (1,0)(1,0) and C3\mathcal{C}_3 be the curve y=1−x2y=1-x^2 from (1,0)(1,0) to (0,1)(0,1).

figure

Then

∫C1x ds=∫C10 ds=0∫C2x ds=∫01x dx=12\begin{aligned} \int_{\mathcal{C}_1} x\,\mathrm{d}s&=\int_{\mathcal{C}_1} 0\,\mathrm{d}s=0\\ \int_{\mathcal{C}_2} x\,\mathrm{d}s&=\int_0^1 x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \end{aligned}

To evaluate the integral along C3\mathcal{C}_3, we use the parametrization

(x(t),y(t))=(1−t , 1−(1−t)2)0≤t≤1(x′(t),y′(t))=(−1 , 2(1−t))dsdt(t)=x′(t)2+y′(t)2=1+4(1−t)2\begin{aligned} \big(x(t),y(t)\big) &= \big(1-t\,,\, 1-(1-t)^2\big) \qquad 0\le t\le 1 \\ \big(x'(t),y'(t)\big) &= \big(-1\,,\, 2(1-t)\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) &= \sqrt{x'(t)^2 +y'(t)^2} =\sqrt{1 + 4 (1-t)^2} \end{aligned}

So

∫C3x ds=∫01x(t)dsdt(t) dt=∫01(1−t)1+4(1−t)2 dt=[−112(1+4(1−t)2)3/2]01=112[−1+53/2]\begin{aligned} \int_{\mathcal{C}_3} x\,\mathrm{d}s &=\int_0^1 x(t) \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1 (1-t)\sqrt{1+4(1-t)^2}\,\mathrm{d}t\\ &=\Big[-\frac{1}{12}{(1+4(1-t)^2)}^{3/2}\Big]_0^1 =\frac{1}{12}\big[-1+5^{3/2}\big] \end{aligned}

All together ∫Cx ds=12+112[53/2−1]≈1.3484\int_{\mathcal{C}} x\,\mathrm{d}s=\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\big[5^{3/2}-1\big] \approx 1.3484

(b) By either Stokes' theorem or Green's theorem

∫CF⋅dr=∬R[∂∂x(x2+cos⁡(y2))−∂∂y(sin⁡(x2)−xy)] dxdy=∬R3x dxdy=3∫01dx∫01−x2dy x=3∫01dx (1−x2)x=3[12−14]=34\begin{aligned} \int_\mathcal{C} \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r} &=\iint _R\Big[\frac{\partial }{\partial x}\big(x^2+\cos(y^2)\big) -\frac{\partial }{\partial y}\big(\sin(x^2)-xy\big) \Big]\ \mathrm{d}x \mathrm{d}y =\iint _R3x\ \mathrm{d}x \mathrm{d}y\\ &=3\int_0^1 \mathrm{d}x\int_0^{1-x^2}\mathrm{d}y\ x =3\int_0^1 \mathrm{d}x\ (1-x^2) x =3\Big[\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\Big]=\frac{3}{4} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.3절 · 25번
# 그린 정리계산도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.CLP-4 · 4.3절 · 25번대학 수준우리말 번역

xyxy평면에서 매끄럽고 단순하며 닫힌, 반시계 방향으로 향하는 곡선 CC 를 하나 구하세요. 이 곡선은 선적분 ∮C(y3−y) dx−2x3 dy\oint_C(y^3-y)\,\mathrm{d}x-2x^3\,dy 의 값이 매끄럽고 단순하며 닫힌, 반시계 방향으로 향하는 모든 곡선 중에서 최대가 되도록 하는 곡선입니다.

영어 원문 보기

Find a smooth, simple, closed, counterclockwise oriented curve, CC, in the xyxy-plane for the which the value of the line integral ∮C(y3−y) dx−2x3 dy\oint_C(y^3-y)\,\mathrm{d}x-2x^3\,dy is a maximum among all smooth, simple, closed, counterclockwise oriented curves.

정답·풀이 보기

그린 정리에 의해

∮C(y3−y) dx−2x3 dy=∬R[∂∂x(−2x3)−∂∂y(y3−y)] dx dy=∬R[1−6x2−3y2] dx dy\oint_C(y^3-y)\,\mathrm{d}x-2x^3\,\mathrm{d}y =\iint _R\Big[\frac{\partial }{\partial x}(-2x^3) -\frac{\partial }{\partial y}(y^3-y)\Big]\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\iint _R\Big[1-6x^2-3y^2\Big]\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

이다. 여기서 RR 은 xyxy평면에서 경계가 CC 인 영역이다. 피적분함수 1−6x2−3y21-6x^2-3y^2 은 타원 모양의 영역 6x2+3y2≤16x^2+3y^2\le 1 안에서는 양수이고 그 바깥에서는 음수임을 알 수 있다. 적분 ∬R[1−6x2−3y2] dx dy\iint _R\big[1-6x^2-3y^2\big]\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y 를 최대로 하려면, 피적분함수가 1−6x2−3y2≥01-6x^2-3y^2\ge 0 인 모든 점 (x,y)(x,y) 는 RR 에 포함하고, 피적분함수가 1−6x2−3y2<01-6x^2-3y^2< 0 인 모든 점 (x,y)(x,y) 는 제외하도록 RR 을 잡아야 한다. 따라서

R={ (x,y) ∣ 6x2+3y2≤1 }R=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 6x^2+3y^2\le 1\ \big\}

로 잡는다.

이에 대응하는 CC 는 6x2+3y2=16x^2+3y^2= 1 이다.

원본 교재 풀이(영어)

By Green's Theorem

∮C(y3−y) dx−2x3 dy=∬R[∂∂x(−2x3)−∂∂y(y3−y)] dx dy=∬R[1−6x2−3y2] dx dy\oint_C(y^3-y)\,\mathrm{d}x-2x^3\,\mathrm{d}y =\iint _R\Big[\frac{\partial }{\partial x}(-2x^3) -\frac{\partial }{\partial y}(y^3-y)\Big]\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\iint _R\Big[1-6x^2-3y^2\Big]\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

where RR is the region in the xyxy-plane whose boundary is CC. Observe that the integrand 1−6x2−3y21-6x^2-3y^2 is positive in the elliptical region 6x2+3y2≤16x^2+3y^2\le 1 and negative outside of it. To maximize the integral ∬R[1−6x2−3y2] dx dy\iint _R\big[1-6x^2-3y^2\big]\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y we should choose RR to contain all points (x,y)(x,y) with the integrand 1−6x2−3y2≥01-6x^2-3y^2\ge 0 and to exclude all points (x,y)(x,y) with the integrand 1−6x2−3y2<01-6x^2-3y^2< 0. So we choose

R={ (x,y) ∣ 6x2+3y2≤1 }R=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 6x^2+3y^2\le 1\ \big\}

The corresponding CC is 6x2+3y2=16x^2+3y^2= 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 38번
# 그린 정리계산도전자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)