문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

벡터장과 흐름선

벡터장을 그리고 기울기 벡터장, 흐름선(유선)을 알아본다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-4 · 2.1절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{F} = P\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + Q\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 를 아래에 그려진 이차원 벡터장이라 하자.

점 $A$ 에서 $P$ , $Q$ , $\frac{\partial Q}{\partial x}$ , $\frac{\partial Q}{\partial y}$ 의 부호를 판단하세요.

영어 원문 보기

Let $\mathbf{F} = P\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + Q\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ be the two-dimensional vector field sketched below.

Determine the signs of $P$ , $Q$ , $\frac{\partial Q}{\partial x}$ and $\frac{\partial Q}{\partial y}$ at the point $A$ .

정답·풀이 보기

점 $A$ 근처의 화살표는 오른쪽을 향하므로 $P>0$ 이고, 위쪽을 향하므로 $Q>0$ 이다. $A$ 근처에서 왼쪽에서 오른쪽으로 움직이면 화살표의 수직 성분이 감소하므로 $\frac{\partial Q}{\partial x}<0$ 이다. $A$ 근처에서 수직으로 위쪽으로 움직이면 화살표의 수직 성분이 증가하므로 $\frac{\partial Q}{\partial y}>0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The arrows near the point $A$ are pointing to the right, indicating that $P>0$ , and upward, indicating that $Q>0$ . Moving from left to right near $A$ , the vertical component of the arrows is decreasing, indicating that $\frac{\partial Q}{\partial x}<0$ . Moving vertically upwards near $A$ , the vertical component of the arrows is increasing, indicating that $\frac{\partial Q}{\partial y}>0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.1절 · 5번

# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석기본자동 분류

2.CLP-4 · 2.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

벡터장 $\mathbf{v}(x,y) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$

가 움직이는 유체의 속도장이라고 하자.

(a) 시각 $0$ 에 점 $(1,1)$ 에서 유체에 나뭇가지를 떨어뜨린다. 시각 $t=0.01$ 에서 나뭇가지의 대략적인 위치는 어디인지 구하세요. (b) 시각 $0$ 에 점 $(0,0)$ 에서 유체에 나뭇가지를 떨어뜨린다. 시각 $t=0.01$ 에서 나뭇가지의 위치를 구하세요. (c) 시각 $0$ 에 점 $(0,0)$ 에서 유체에 나뭇가지를 떨어뜨린다. 시각 $t=10$ 에서 나뭇가지의 위치를 구하세요.

영어 원문 보기

Imagine that the vector field $\mathbf{v}(x,y) = x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$

is the velocity field of a moving fluid.

(a) At time $0$ you drop a twig into the fluid at the point $(1,1)$ . What is the approximate position of the twig at time $t=0.01$ ? (b) At time $0$ you drop a twig into the fluid at the point $(0,0)$ . What is the position of the twig at time $t=0.01$ ? (c) At time $0$ you drop a twig into the fluid at the point $(0,0)$ . What is the position of the twig at time $t=10$ ?

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

정답·풀이 보기

(a) 시각 $0$ 에서 나뭇가지의 속도는 $\mathbf{v}(1,1) =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이다. 따라서 시각 $t=0.01$ 에서 나뭇가지의 위치는 대략

$(1,1) + 0.01(1,1) = (1.01\,,\,1.01)$

이다.

(b) 시각 $0$ 에서 나뭇가지의 속도는 $\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0}$ 이다. 따라서 시각 $t=0.01$ 에서 나뭇가지의 위치는

$(0,0) + 0.01(0,0) = (0\,,\,0)$

이다.

(c) 시각 $0$ 에서 나뭇가지의 속도는 $\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0}$ 이다. 따라서 나뭇가지는 정지해 있고 속도는 모든 시각에서 0으로 유지된다. 시각 $10$ 에서, 그리고 사실 모든 시각에서 나뭇가지의 위치는 $(0\,,\,0)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) At time $0$ the velocity of the twig is $\mathbf{v}(1,1) =\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ . So at time $t=0.01$ , the position of the twig is approximately

$(1,1) + 0.01(1,1) = (1.01\,,\,1.01)$

(b) At time $0$ the velocity of the twig is $\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0}$ . So at time $t=0.01$ , the position of the twig is

$(0,0) + 0.01(0,0) = (0\,,\,0)$

(c) At time $0$ the velocity of the twig is $\mathbf{v}(0,0) =\mathbf{0}$ . So it is stationary and its velocity remains zero for all time. The position of the twig at time $10$ , and in fact at all times, is $(0\,,\,0)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.1절 · 11번

# 벡터장과 흐름선활용기본자동 분류

3.CLP-4 · 2.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

벡터장 $\mathbf{v}(x,y) = 2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -\hat{\boldsymbol{\jmath}}$

가 움직이는 유체의 속도장이라고 하자. 시각 $0$ 에 점 $(0,0)$ 에서 유체에 나뭇가지를 떨어뜨린다. 시각 $t=10$ 에서 나뭇가지의 위치를 구하세요.

영어 원문 보기

Imagine that the vector field $\mathbf{v}(x,y) = 2x\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -\hat{\boldsymbol{\jmath}}$

is the velocity field of a moving fluid. At time $0$ you drop a twig into the fluid at the point $(0,0)$ . What is the position of the twig at time $t=10$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y$ 축 위의 모든 점에서 유체의 속도는 $-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 이다. 따라서 나뭇가지는 $y$ 축 위에 머물며 결과적으로 모든 시각에서 속도 $-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 를 갖는다. 시각 $10$ 에서 나뭇가지의 위치는

$(0,0)+10(0,-1) = (0\,,\,-10)$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The velocity of the fluid at all points of the $y$ -axis is $-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ . So the twig will remain on the $y$ -axis and will consequently have velocity $-\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ for all time. The position of the twig at time $10$ will be

$(0,0)+10(0,-1) = (0\,,\,-10)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.1절 · 14번

# 벡터장과 흐름선활용기본자동 분류