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지수함수

지수함수의 그래프와 성질, 지수방정식·지수부등식을 푼다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

7문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.1절 · 56번우리말 번역

투자 계좌의 연 수익률(APY)은 복리 계좌에서 실제로 얻는 이자율을 나타낸 것이다. 이는 복리 기간이 1년인 것을 기준으로 한다. 매월 복리로 계산되는 계좌의 APY는 공식 $\text{APY}={\left(1+\frac{r}{12}\right)}^{12}-1$ 로 구할 수 있음을 보이세요.

영어 원문 보기

The annual percentage yield (APY) of an investment account is a representation of the actual interest rate earned on a compounding account. It is based on a compounding period of one year. Show that the APY of an account that compounds monthly can be found with the formula $\text{APY}={\left(1+\frac{r}{12}\right)}^{12}-1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.2절 · 5번

# 지수함수증명·논술자동 분류

2.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.1절 · 59번우리말 번역

지수 감소 함수에서 지수의 밑은 0과 1 사이의 값이다. 따라서 어떤 수 $b>1$ 에 대해 지수 감소 함수는 $f(x)=a\cdot {\left(\frac{1}{b}\right)}^{x}$ 로 쓸 수 있다. 이 식과 $b={e}^{n}$ 이라는 사실을 이용하여, 지수 감소 함수가 어떤 양수 $n$ 에 대해 $f(x)=a{(e)}^{-nx}$ 의 꼴임을 보이세요.

영어 원문 보기

In an exponential decay function, the base of the exponent is a value between 0 and 1. Thus, for some number $b>1,$ the exponential decay function can be written as $f(x)=a\cdot {\left(\frac{1}{b}\right)}^{x}.$ Use this formula, along with the fact that $b={e}^{n},$ to show that an exponential decay function takes the form $f(x)=a{(e)}^{-nx}$ for some positive number $n$ .

정답·풀이 보기

$f$ 를 $b>1$ 인 지수 감소 함수 $f(x)=a\cdot {\left(\frac{1}{b}\right)}^{x}$ 라 하자. 그러면 어떤 수 $n>0$ 에 대해 $f(x)=a\cdot {\left(\frac{1}{b}\right)}^{x}=a{({b}^{-1})}^{x}=a{({({e}^{n})}^{-1})}^{x}=a{({e}^{-n})}^{x}=a{(e)}^{-nx}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $f$ be the exponential decay function $f(x)=a\cdot {\left(\frac{1}{b}\right)}^{x}$ such that $b>1.$ Then for some number $n>0,$ $f(x)=a\cdot {\left(\frac{1}{b}\right)}^{x}=a{({b}^{-1})}^{x}=a{({({e}^{n})}^{-1})}^{x}=a{({e}^{-n})}^{x}=a{(e)}^{-nx}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.1절 · 45번

# 지수함수증명·논술자동 분류

3.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.1절 · 60번우리말 번역

명목 이자율이 $r$ 인 투자 계좌에서 임의의 시간 $t$ 에서의 금액 $A$ 는 $A(t)=a{(e)}^{rt}$ 로 주어진다. 여기서 $a$ 는 연속 복리로 계산되는 계좌에 처음 예금한 원금이다. 임의의 시간 $t$ 에서 원금에 대한 이자의 비율이 공식 $I(t)={e}^{rt}-1$ 로 계산될 수 있음을 증명하세요.

영어 원문 보기

The formula for the amount $A$ in an investment account with a nominal interest rate $r$ at any time $t$ is given by $A(t)=a{(e)}^{rt},$ where $a$ is the amount of principal initially deposited into an account that compounds continuously. Prove that the percentage of interest earned to principal at any time $t$ can be calculated with the formula $I(t)={e}^{rt}-1.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.7절 · 7번

# 지수함수증명·논술자동 분류

4.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.2절 · 52번우리말 번역

앞의 문제에서 세운 추측을 증명하세요.

영어 원문 보기

Prove the conjecture made in the previous exercise.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.8절 · 57번

# 지수함수증명·논술자동 분류

5.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.2절 · 54번우리말 번역

앞의 문제에서 세운 추측을 증명하세요.

영어 원문 보기

Prove the conjecture made in the previous exercise.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.2절 · 6번

# 지수함수증명·논술자동 분류

6.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.7절 · 22번우리말 번역

다음 문제에서, 그래프 계산기와 다음 상황을 이용하세요. 어떤 양어장의 물고기 개체 수는 $t$ 년 후 방정식 $P(t)=\frac{1000}{1+9{e}^{-0.6t}}$ 으로 모델링됩니다.

물고기 개체 수의 환경수용력은 얼마인가요? $P$ 의 그래프를 이용하여 답이 타당함을 설명하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, use a graphing calculator and this scenario: the population of a fish farm in $t$ years is modeled by the equation $P(t)=\frac{1000}{1+9{e}^{-0.6t}}.$

What is the carrying capacity for the fish population? Justify your answer using the graph of $P.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.2절 · 27번

# 지수함수증명·논술자동 분류

7.OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.7절 · 27번우리말 번역

$b\ne 1$ 인 양수 $b$ 에 대해 ${b}^{x}={e}^{x\ln (b)}$ 임을 증명하세요.

영어 원문 보기

Prove that ${b}^{x}={e}^{x\ln (b)}$ for positive $b\ne 1.$

정답·풀이 보기

$b\ne 1$ 인 어떤 음이 아닌 실수 $b$ 에 대해 $y={b}^{x}$ 라 하자. 그러면,

$\begin{array}{c}\ln (y)=\ln ({b}^{x}) \\ \ln (y)=x\ln (b) \\ {e}^{\ln (y)}={e}^{x\ln (b)} \\ y={e}^{x\ln (b)}\end{array}$

원본 교재 풀이(영어)

Let $y={b}^{x}$ for some non-negative real number $b$ such that $b\ne 1.$ Then,

$\begin{array}{c}\ln (y)=\ln ({b}^{x}) \\ \ln (y)=x\ln (b) \\ {e}^{\ln (y)}={e}^{x\ln (b)} \\ y={e}^{x\ln (b)}\end{array}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Algebra and Trigonometry · 6.2절 · 21번

# 지수함수증명·논술자동 분류