문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

미분법 전체 문제

이 단원의 모든 연습문제입니다. 소단원으로 좁혀 보려면 아래 꼬리표를 누르세요.

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

362문제 · 19 / 19쪽

361.Active Calculus · 2.7절 · 13번우리말 번역

방정식 $\sin(x+y) + \cos(x-y) = 1$ 로 주어진 곡선에 대하여, 점 $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 에서 곡선에 그은 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

For the curve given by the equation $\sin(x+y) + \cos(x-y) = 1$ , find the equation of the tangent line to the curve at the point $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ .

정답·풀이 보기

먼저 곡선에 접하는 직선의 기울기, 즉 $\frac{dy}{dx}$ 를 구해야 한다. 이를 위해 $y$ 를 $x$ 의 함수로 보고 방정식의 양변을 $x$ 에 대해 미분하면 다음을 얻는다.

$\begin{aligned}\frac{d}{dx} \left( \sin(x+y) + \cos(x-y) \right) &= \frac{d}{dx}(1) \\ \cos(x+y) \left(1+\frac{dy}{dx}\right) - \sin(x-y)\left(1-\frac{dy}{dx}\right) &= 0\end{aligned}\,.$ 좌변을 전개하면

$\cos(x+y) + \cos(x+y)\frac{dy}{dx} - \sin(x-y) + \sin(x-y)\frac{dy}{dx} = 0\,.$ 오른쪽 두 항에서 $\frac{dy}{dx}$ 를 공통인수로 묶어 내고 나머지 두 항을 우변으로 이항하면

$\frac{dy}{dx} \left(\cos(x+y) + \sin(x-y) \right) = \sin(x-y) - \cos(x+y)\,.$ 따라서

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(x-y) - \cos(x+y)}{\cos(x+y) + \sin(x-y)}\,.$ 점 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 에서

$\frac{dy}{dx}\biggm|_{\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)} = \frac{\sin(0)-\cos(\pi)}{\cos(\pi) + \sin(0)} = -1\,$ 이다. 따라서 점 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 에서 곡선에 그은 접선의 방정식은 $y = \frac{\pi}{2} - \left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ 이다. $\sin(x+y) + \cos(x-y) = 1$ 로 정의된 곡선의 일부와 점 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 에서의 접선이 다음 그림에 나타나 있다.

이 그림에 대체 텍스트를 추가하세요.

원본 교재 풀이(영어)

First we need to find the slope of the line tangent to the curve, or $\frac{dy}{dx}$ . To do so, we differentiate both sides of the equation with respect to $x$ , treating $y$ as a function of $x$ to obtain

$\cos(x+y) + \cos(x+y)\frac{dy}{dx} - \sin(x-y) + \sin(x-y)\frac{dy}{dx} = 0\,.$ Removing a factor of $\frac{dy}{dx}$ from two terms on the right and moving the other two terms to the righthand side,

$\frac{dy}{dx} \left(\cos(x+y) + \sin(x-y) \right) = \sin(x-y) - \cos(x+y)\,.$ Therefore,

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(x-y) - \cos(x+y)}{\cos(x+y) + \sin(x-y)}\,.$ At the point $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ we have that

$\frac{dy}{dx}\biggm|_{\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)} = \frac{\sin(0)-\cos(\pi)}{\cos(\pi) + \sin(0)} = -1\,.$ Therefore, the equation of the line tangent to the curve at the point $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ is $y = \frac{\pi}{2} - \left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ . A portion of the graph of the curve defined by $\sin(x+y) + \cos(x-y) = 1$ and the tangent line to the curve at the point $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ are shown in the following figure.

ADD ALT TEXT TO THIS IMAGE

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 22번

# 음함수의 미분법계산자동 분류

362.Active Calculus · 2.7절 · 14번우리말 번역

음함수 미분을 이용하면 $\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}$ 이라고 가정할 때 공식 $\frac{d}{dx} [a^x] = a^x \ln(a)$ 이 성립하는 이유를 다른 관점에서 볼 수 있습니다. 이 문제는 그 핵심 단계를 차례로 안내합니다.

(a) $y = a^x$ 라고 하세요. 이 등식을 자연로그 함수를 사용하여 $x$ 를 $y$ (와 상수 $a$ )로 나타내는 식으로 다시 쓰세요. (b) (a)에서 구한 등식의 양변을 $x$ 에 대해 미분하세요. 이때 $y$ 는 음함수적으로 $x$ 의 함수임에 유의하세요. (c) (b)에서 구한 등식을 $\frac{dy}{dx}$ 에 대해 푼 다음, $y$ 의 정의를 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 오직 $x$ 로만 나타내세요. 무엇을 알게 되었나요?

영어 원문 보기

Implicit differentiation enables us a different perspective from which to see why the rule $\frac{d}{dx} [a^x] = a^x \ln(a)$ holds, if we assume that $\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}$ . This exercise leads you through the key steps to do so.

(a) Let $y = a^x$ . Rewrite this equation using the natural logarithm function to write $x$ in terms of $y$ (and the constant $a$ ). (b) Differentiate both sides of the equation you found in (a) with respect to $x$ , keeping in mind that $y$ is implicitly a function of $x$ . (c) Solve the equation you found in (b) for $\frac{dy}{dx}$ , and then use the definition of $y$ to write $\frac{dy}{dx}$ solely in terms of $x$ . What have you found?

정답·풀이 보기

(a) 양변에 자연로그를 취하면 $\ln(y) = \ln(a^x) = x \ln(a)$ 이다. 따라서 $x = \frac{\ln(y)}{\ln(a)}\,.$ (b) $\ln(a)$ 는 $x$ 에 대해 상수이므로 $x = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \ln(y)$ 로도 쓸 수 있다. $y$ 를 $x$ 의 함수로 보고 (그리고 $\ln(a)$ 가 상수임을 다시 한번 유의하여) 양변을 $x$ 에 대해 미분하면 $1 = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}\,.$ (c) $\frac{dy}{dx}$ 에 대해 풀면 $\frac{dy}{dx} = y \ln(a)$ 이다. 그런데 처음에 $y = a^x$ 이었으므로 $\frac{dy}{dx} = a^x \ln(a)$ 이고, 이는 $\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln(a)$ 임을 보여 준다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Taking the natural log of both sides, $\ln(y) = \ln(a^x) = x \ln(a)$ . Thus, it follows that $x = \frac{\ln(y)}{\ln(a)}\,.$ (b) Remembering that $\ln(a)$ is constant with respect to $x$ , we can also write $x = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \ln(y)$ . Differentiating both sides with respect to $x$ while treating $y$ as a function of $x$ (and again remembering that $\ln(a)$ is constant), we have $1 = \frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}\,.$ (c) Solving for $\frac{dy}{dx}$ , we see that $\frac{dy}{dx} = y \ln(a)$ . But recall from the outset that $y = a^x$ , and thus $\frac{dy}{dx} = a^x \ln(a)$ which shows that $\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln(a)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.7절 · 13번

# 음함수의 미분법계산자동 분류