미분법 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 3.4절 · 24번우리말 풀이

[계산기 사용] 홀링 3형 식은 $f(x)=\frac{ax^2}{n^2+x^2}$ 로 나타내요. 여기서 $x$ 는 먹이의 양이고, $a>0$ 는 포식자의 최대 섭취율이에요.

a. $a=0.5$ , $n=5$ 일 때 홀링 3형 식의 그래프를 그리세요. 홀링 2형 식과 3형 식은 어떤 점이 다른가? b. 홀링 3형 식을 미분하고, 도함수의 물리적 의미를 해석하세요. c. 이계도함수를 구하고 그 의미를 해석하시오(이계도함수의 그래프를 그려 보면 도움이 돼요). d. 홀링 2형 함수와 비교할 때, 홀링 3형 함수는 어떤 생태 현상을 더 설명하는가?

영어 원문 보기

[T] The Holling type III equation is described by $f(x)=\frac{a{x}^{2}}{{n}^{2}+{x}^{2}},$ where $x$ is the amount of prey available and $a>0$ is the maximum consumption rate of the predator.

a. Graph the Holling type III equation given $a=0.5$ and $n=5.$ What are the differences between the Holling type II and III equations? b. Take the first derivative of the Holling type III equation and interpret the physical meaning of the derivative. c. Find and interpret the meaning of the second derivative (it may help to graph the second derivative). d. What additional ecological phenomena does the Holling type III function describe compared with the Holling type II function?

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분수 꼴은 몫의 미분법으로 미분하고, 이계도함수의 부호가 바뀌는 곳이 증가 속도가 바뀌는 지점이에요.

1
(a) $a=0.5$ , $n=5$ 이면 $f(x)=\frac{0.5x^2}{25+x^2}$ 이에요. 원점에서 출발해 처음에는 천천히 오르다가 점점 빨라지고, 그 뒤 다시 완만해지며 $x=10$ 에서 $f(10)=\frac{50}{125}=0.4$ 근처에 이르는 S자 모양이에요. 그림도 같아요. 홀링 2형 식은 문제에 주어지지 않았지만, 보통 처음부터 가파르게 오르다 완만해지는 모양이라서 3형은 초반에 평평하게 시작한다는 점이 달라요.
2
(b) 몫의 미분법 $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ 을 써요. $u=ax^2$ , $v=n^2+x^2$ 이면 $f'(x)=\frac{2ax(n^2+x^2)-ax^2\cdot2x}{(n^2+x^2)^2}=\frac{2axn^2}{(n^2+x^2)^2}$ $x>0$ 에서 $f'(x)>0$ 이므로 먹이가 늘면 포식자의 섭취(성장)가 늘어난다는 뜻이에요.
3
(c) $f'(x)=2an^2\,x(n^2+x^2)^{-2}$ 를 한 번 더 미분해요. $f''(x)=2an^2\left[(n^2+x^2)^{-2}-4x^2(n^2+x^2)^{-3}\right]=\frac{2an^2(n^2-3x^2)}{(n^2+x^2)^3}$
4
$f''(x)$ 의 부호는 $n^2-3x^2$ 가 정해요. $0<x<\frac{n}{\sqrt3}$ 이면 양수여서 증가 속도가 점점 빨라지고, $x>\frac{n}{\sqrt3}$ 이면 음수여서 증가 속도가 느려져요. $n=5$ 이면 그 경계는 $x=\frac{5}{\sqrt3}\approx2.9$ 근처의 변곡점이에요.
5
(d) 먹이가 아주 적을 때 먹이가 포식자에게 잘 발견되지 않아 적게 잡아먹혀요. 그래서 포식자의 성장이 처음에 작아요. 3형 함수는 이런 초반의 낮은 섭취를 설명해요.

답

(a) 원점에서 시작하는 S자 모양 (b) $f'(x)=\frac{2axn^2}{(n^2+x^2)^2}$ , 먹이가 늘면 섭취 증가 (c) $f''(x)=\frac{2an^2(n^2-3x^2)}{(n^2+x^2)^3}$ , $x=\frac{n}{\sqrt3}$ 에서 증가 속도의 변화 방향이 바뀜 (d) 먹이가 적을 때 발견되기 어려워 섭취가 적은 현상

자주 하는 실수

몫의 미분법에서 분자를 $u'v+uv'$ 로 더해 버리는 실수가 많아요. 몫의 미분은 빼요.

원본 교재 풀이(영어)

a.

The graph increases from the origin quickly at first and then slowly to (10, 0.4).

b. ${f}^{'}(x)=\frac{2ax{n}^{2}}{{({n}^{2}+{x}^{2})}^{2}}.$ When the amount of prey increases, the predator growth increases. c. ${f}^{''}(x)=\frac{2a{n}^{2}({n}^{2}-3{x}^{2})}{{({n}^{2}+{x}^{2})}^{3}}.$ When the amount of prey is extremely small, the rate at which predator growth is increasing is increasing, but when the amount of prey reaches above a certain threshold, the rate at which predator growth is increasing begins to decrease. d. At lower levels of prey, the prey is more easily able to avoid detection by the predator, so fewer prey individuals are consumed, resulting in less predator growth.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 42번

# 이계도함수와 오목·볼록활용도전

2.OpenStax 1권 · 4.1절 · 21번우리말 풀이

구의 반지름이 초당 9 cm 의 비율로 늘어나고 있어요. 구의 부피와 반지름이 늘어나는 비율의 수치가 같아지는 순간의 구의 반지름을 구하세요.

영어 원문 보기

The radius of a sphere is increasing at a rate of 9 cm/sec. Find the radius of the sphere when the volume and the radius of the sphere are increasing at the same numerical rate.

답 쓰고 채점

cm

풀이 보기

부피 공식 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ 을 시간 $t$ 로 미분하면 두 변화율 사이의 관계가 나와요.

1
왜 이렇게 할까요? 반지름이 변하면 부피도 따라 변해요. 둘을 이어 주는 식은 구의 부피 공식이에요. $V=\frac{4}{3}\pi r^3$
2
양변을 시간 $t$ 로 미분해요. $r$ 은 $t$ 의 함수이므로 연쇄법칙을 써요. $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$
3
주어진 값을 넣어요. $\frac{dr}{dt}=9$ 이므로 $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\cdot 9=36\pi r^2$
4
두 변화율의 수치가 같다는 조건을 써요. $\frac{dV}{dt}=\frac{dr}{dt}=9$ 이므로 $36\pi r^2=9 \;\Longrightarrow\; r^2=\frac{1}{4\pi}$
5
반지름은 양수이므로 $r=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\ \text{cm}$

답

$\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}$ cm

자주 하는 실수

미분하기 전에 $r=9$ 를 넣어 버려요. 변하는 양은 미분한 뒤에 값을 넣어야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$ cm

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 41번

# 관련 변화율활용보통

3.OpenStax 1권 · 4.1절 · 41번우리말 풀이

버스 정류장이 있는 직각 모퉁이로 걸어가고 있어요. 당신은 초속 2 m 로 북쪽으로 움직이고 있고, 교차로에서 남쪽으로 20 m 떨어져 있어요. 버스는 교차로에서 멀어지며 초속 10 m 로 서쪽으로 가요. 버스를 놓쳤어요! 당신이 교차로에서 남쪽으로 20 m 에 있고 버스가 교차로에서 서쪽으로 10 m 에 있을 때, 당신과 버스 사이의 각이 변하는 비율은 얼마인가요?

영어 원문 보기

You are walking to a bus stop at a right-angle corner. You move north at a rate of 2 m/sec and are 20 m south of the intersection. The bus travels west at a rate of 10 m/sec away from the intersection – you have missed the bus! What is the rate at which the angle between you and the bus is changing when you are 20 m south of the intersection and the bus is 10 m west of the intersection?

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교차로·나·버스로 직각삼각형을 만들고, $\tan\theta=\frac{x}{y}$ 를 시간으로 미분해요.

1
왜 이렇게 할까요? 거리가 시간에 따라 변하니 각도 변해요. 상황을 직각삼각형으로 그리면 각과 길이의 관계식을 세울 수 있어요. 교차로에서 버스까지의 거리를 $x$ , 교차로에서 나까지의 거리를 $y$ 라 하고, 내 위치에서 교차로 쪽 방향과 버스 쪽 방향이 이루는 각을 $\theta$ 라 해요.
2
변하는 비율을 정리해요. 버스는 멀어지므로 $\frac{dx}{dt}=10$ , 나는 교차로에 다가가므로 $y$ 가 줄어서 $\frac{dy}{dt}=-2$ 예요.
3
관계식을 세워요. 직각삼각형에서 $\tan\theta=\frac{x}{y}$
4
양변을 $t$ 로 미분해요. 몫의 미분법을 쓰면 $\sec^2\theta\,\frac{d\theta}{dt}=\frac{x'y-xy'}{y^2}$ 이에요. $x=10,\ y=20,\ x'=10,\ y'=-2$ 를 넣으면 우변은 $\frac{10\cdot20-10\cdot(-2)}{400}=\frac{220}{400}=\frac{11}{20}$ 이에요.
5
$\sec^2\theta$ 의 값을 구해요. $\tan\theta=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$ 이므로 $\sec^2\theta=1+\tan^2\theta=1+\frac14=\frac54$
6
$\frac{d\theta}{dt}$ 를 구해요. $\frac{5}{4}\frac{d\theta}{dt}=\frac{11}{20}\;\Longrightarrow\;\frac{d\theta}{dt}=\frac{11}{20}\cdot\frac45=\frac{11}{25}$ 각은 초당 $\frac{11}{25}$ 라디안의 비율로 커져요.

답

$\dfrac{11}{25}$ rad/초

자주 하는 실수

$y$ 는 줄어드는 양인데 $\frac{dy}{dt}$ 의 부호를 $+2$ 로 써서 계산이 틀어져요.

원본 교재 풀이(영어)

The angle is changing at a rate of $\frac{11}{25}\,\text{rad/sec}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 17번

# 관련 변화율활용도전

4.OpenStax 1권 · 4.7절 · 17번우리말 풀이

물에 빠진 사람에게 닿을 때까지 걸리는 전체 시간을, 수영하는 각 $\theta$ 의 함수로 나타내는 식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find a function that measures the total amount of time it takes to reach the drowning person as a function of the swim angle, $\theta .$

풀이 보기

전체 시간은 (달리는 시간)+(헤엄치는 시간)이고, 각각 거리를 속력으로 나눈 값이에요.

1
왜 이렇게 할까요? 최적화 문제는 먼저 구하려는 양(여기서는 시간 $T$ )을 하나의 변수( $\theta$ )로 나타내는 데서 시작해요.
2
기본 관계를 떠올려요. 일정한 속력으로 움직이면 $\text{시간}=\frac{\text{거리}}{\text{속력}}$ 이에요.
3
두 구간으로 나눠요. 전체 시간은 $T(\theta)=\frac{(\text{달리는 거리})}{(\text{달리는 속력})}+\frac{(\text{헤엄치는 거리})}{(\text{헤엄치는 속력})}$ 이에요. 이 문제의 원본 답에서 첫 항 $\frac{40\theta}{3v}$ 는 달리는 시간, 둘째 항 $\frac{40\cos\theta}{v}$ 는 헤엄치는 시간에 해당해요.
4
각 $\theta$ 로 거리를 나타내요. (원문 앞 문제의 상황: 지름 $40\,\text{m}$ 인 원 모양 수영장 가장자리의 점 $A$ 에 있는 구조원이, 지름의 반대쪽 끝 $C$ 에 있는 사람에게 가요. 헤엄치는 속력은 $v$ , 수영장 가장자리를 달리는 속력은 $3v$ 예요.) 구조원이 지름 $AC$ 와 각 $\theta$ 를 이루는 방향으로 헤엄쳐 가장자리의 점 $B$ 에 닿은 뒤, 나머지는 가장자리를 따라 달린다고 해요.
- 헤엄치는 거리: 지름 위의 원주각 $\angle ABC=90^\circ$ 이므로 삼각형 $ABC$ 는 직각삼각형이고 $AB=AC\cos\theta=40\cos\theta$ 예요.
- 달리는 거리: 원주각 $\angle BAC=\theta$ 에 대한 중심각은 $2\theta$ 이므로, 반지름 $20$ 인 원에서 호 $BC$ 의 길이는 $20\cdot2\theta=40\theta$ 예요.
각 거리를 속력으로 나누면 헤엄치는 시간은 $\dfrac{40\cos\theta}{v}$ , 달리는 시간은 $\dfrac{40\theta}{3v}$ 예요.
5
식을 완성해요. $T(\theta)=\frac{40\theta}{3v}+\frac{40\cos\theta}{v}$ 이 식을 $\theta$ 로 미분해 $0$ 이 되는 곳을 찾으면 시간이 가장 짧은 각을 구할 수 있어요.

답

$T(\theta)=\dfrac{40\theta}{3v}+\dfrac{40\cos\theta}{v}$

자주 하는 실수

거리와 속력을 거꾸로 나누거나, 달리는 속력과 헤엄치는 속력을 바꿔 써요.

원본 교재 풀이(영어)

$T(\theta )=\frac{40\theta }{3v}+\frac{40\cos \theta }{v}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 25번

# 도함수의 활용(여러 가지 함수)활용보통

5.OpenStax 1권 · 3.5절 · 26번우리말 번역

[계산기 사용] 용수철에 매달린 추가 단순조화운동으로 위아래로 진동하며, 이 운동은 함수 $s(t)=-6\cos t$ 로 나타내어진다. 여기서 $s$ 는 인치 단위이고 $t$ 는 초 단위이다. $t=5$ s 일 때 용수철이 진동하는 속도(변화율)을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A mass on a spring bounces up and down in simple harmonic motion, modeled by the function $s(t)=-6\cos t$ where $s$ is measured in inches and $t$ is measured in seconds. Find the rate at which the spring is oscillating at $t=5$ s.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.8절 · 21번

# 삼각함수의 미분활용자동 분류

6.OpenStax 1권 · 3.5절 · 27번우리말 번역

단순조화운동을 하는 진자의 위치가 $s(t)=a\cos t+b\sin t$ 로 주어진다고 하자. 여기서 $a$ 와 $b$ 는 상수이고, $t$ 는 시간(초), $s$ 는 위치(cm)이다. $t=0$ 일 때 위치가 0 cm 이고 속도가 3 cm/s 이면, $a$ 와 $b$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let the position of a swinging pendulum in simple harmonic motion be given by $s(t)=a\cos t+b\sin t$ where $a$ and $b$ are constants, $t$ measures time in seconds, and $s$ measures position in centimeters. If the position is 0 cm and the velocity is 3 cm/s when $t=0$ , find the values of $a$ and $b$ .

정답·풀이 보기

$a=0,b=3$

원본 교재 풀이(영어)

$a=0,b=3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 23번

# 삼각함수의 미분활용자동 분류

7.OpenStax 1권 · 3.5절 · 29번우리말 번역

캘리포니아주 패서디나의 한 패스트푸드 식당에서 팔리는 햄버거의 수가 $y=10+5\sin x$ 로 주어진다. 여기서 $y$ 는 팔린 햄버거의 수이고, $x$ 는 오전 11시에 식당이 문을 연 뒤부터 오후 11시에 문을 닫을 때까지 지난 시간(시간 단위)을 나타낸다. $y'$ 을 구하고, 팔리는 햄버거의 수가 증가하는 구간을 구하세요.

영어 원문 보기

The number of hamburgers sold at a fast-food restaurant in Pasadena, California, is given by $y=10+5\sin x$ where $y$ is the number of hamburgers sold and $x$ represents the number of hours after the restaurant opened at 11 a.m. until 11 p.m., when the store closes. Find $y'$ and determine the intervals where the number of burgers being sold is increasing.

정답·풀이 보기

${y}^{'}=5\cos (x)$ 이고, 증가하는 구간은 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right),\left(\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}\right)$ , 그리고 $\left(\frac{7\pi }{2},12\right)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${y}^{'}=5\cos (x),$ increasing on $\left(0,\frac{\pi }{2}\right),\left(\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}\right),$ and $\left(\frac{7\pi }{2},12\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 11번

# 삼각함수의 미분활용자동 분류

8.OpenStax 1권 · 3.6절 · 40번우리말 번역

[계산기 사용] 화물열차의 위치 함수가 $s(t)=100{(t+1)}^{-2}$ 로 주어진다. 여기서 $s$ 의 단위는 미터, $t$ 의 단위는 초이다. 시각 $t=6$ 초일 때, 열차의

a. 속도와 b. 가속도를 구하세요. c. a와 b의 결과를 이용하여 열차가 판단하세요.

영어 원문 보기

[T] The position function of a freight train is given by $s(t)=100{(t+1)}^{-2},$ with $s$ in meters and $t$ in seconds. At time $t=6$ s, find the train’s

a. velocity and b. acceleration. c. Using a. and b. is the train speeding up or slowing down?

정답·풀이 보기

a. $-\frac{200}{343}$ m/s, b. $\frac{600}{2401}$ m/s², c. 속도와 가속도의 부호가 반대이므로 열차는 느려지고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $-\frac{200}{343}$ m/s, b. $\frac{600}{2401}$ m/s², c. The train is slowing down since velocity and acceleration have opposite signs.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 42번

# 합성함수의 미분법활용자동 분류

9.OpenStax 1권 · 3.6절 · 41번우리말 번역

[계산기 사용] 수직 스프링에 매달린 물체가 다음 위치 함수로 주어지는 단조화 운동을 하고 있습니다. 여기서 $t$ 는 초 단위이고 $s$ 는 인치 단위입니다.

$s(t)=-3\cos \left(\pi t+\frac{\pi }{4}\right).$

a. $t=1.5$ 초일 때 스프링의 위치를 구하세요. b. $t=1.5$ 초일 때 스프링의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A mass hanging from a vertical spring is in simple harmonic motion as given by the following position function, where $t$ is measured in seconds and $s$ is in inches:

$s(t)=-3\cos \left(\pi t+\frac{\pi }{4}\right).$

a. Determine the position of the spring at $t=1.5$ s. b. Find the velocity of the spring at $t=1.5$ s.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.9절 · 10번

# 합성함수의 미분법활용자동 분류

10.OpenStax 1권 · 3.6절 · 42번우리말 번역

[계산기 사용] 씬 민트 걸스카우트 쿠키 $x$ 상자를 생산하는 데 드는 총비용은 $C$ 달러이고, $C=0.0001{x}^{3}-0.02{x}^{2}+3x+300$ 입니다. $t$ 주 후의 생산량은 $x=1600+100t$ 상자로 추정됩니다.

a. 한계비용 ${C}^{'}(x)$ 을 구하세요. b. 연쇄 법칙의 라이프니츠 표기 $\frac{dC}{dt}=\frac{dC}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$ 를 이용하여 시간 $t$ 에 대한 비용의 변화율을 구하세요. c. b를 이용하여 $t=2$ 주일 때 비용이 얼마나 빠르게 증가하는지 구하세요. 답에 단위를 포함하세요.

영어 원문 보기

[T] The total cost to produce $x$ boxes of Thin Mint Girl Scout cookies is $C$ dollars, where $C=0.0001{x}^{3}-0.02{x}^{2}+3x+300.$ In $t$ weeks production is estimated to be $x=1600+100t$ boxes.

a. Find the marginal cost ${C}^{'}(x).$ b. Use Leibniz’s notation for the chain rule, $\frac{dC}{dt}=\frac{dC}{dx}\cdot \frac{dx}{dt},$ to find the rate with respect to time $t$ that the cost is changing. c. Use b. to determine how fast costs are increasing when $t=2$ weeks. Include units with the answer.

정답·풀이 보기

a. ${C}^{'}(x)=0.0003{x}^{2}-0.04x+3$ b. $\frac{dC}{dt}=100\cdot (0.0003{x}^{2}-0.04x+3)$ c. 주당 약 $90,300

원본 교재 풀이(영어)

a. ${C}^{'}(x)=0.0003{x}^{2}-0.04x+3$ b. $\frac{dC}{dt}=100\cdot (0.0003{x}^{2}-0.04x+3)$ c. Approximately $90,300 per week

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.5절 · 11번

# 합성함수의 미분법활용자동 분류

11.OpenStax 1권 · 3.6절 · 43번우리말 번역

[계산기 사용] 원의 넓이를 구하는 공식은 $A=\pi {r}^{2}$ 이며, 여기서 $r$ 은 원의 반지름입니다. 원이 팽창하고 있어서 넓이 $A$ 와 반지름 $r$ (인치)이 모두 커지고 있다고 합시다.

a. $r=2-\frac{100}{{(t+7)}^{2}}$ 이라 하고, 여기서 $t$ 는 초 단위의 시간입니다. 연쇄 법칙 $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}$ 를 이용하여 넓이가 팽창하는 비율을 구하세요. b. a를 이용하여 $t=4$ 초일 때 넓이가 팽창하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The formula for the area of a circle is $A=\pi {r}^{2},$ where $r$ is the radius of the circle. Suppose a circle is expanding, meaning that both the area $A$ and the radius $r$ (in inches) are expanding.

a. Suppose $r=2-\frac{100}{{(t+7)}^{2}}$ where $t$ is time in seconds. Use the chain rule $\frac{dA}{dt}=\frac{dA}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}$ to find the rate at which the area is expanding. b. Use a. to find the rate at which the area is expanding at $t=4$ s.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 2번

# 합성함수의 미분법활용자동 분류

12.OpenStax 1권 · 3.6절 · 44번우리말 번역

[계산기 사용] 구의 부피를 구하는 공식은 $S=\frac{4}{3}\pi {r}^{3}$ 이며, 여기서 $r$ (피트)은 구의 반지름입니다. 구 모양의 눈덩이가 햇볕에 녹고 있다고 합시다.

a. $r=\frac{1}{{(t+1)}^{2}}-\frac{1}{12}$ 이라 하고, 여기서 $t$ 는 분 단위의 시간입니다. 연쇄 법칙 $\frac{dS}{dt}=\frac{dS}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}$ 를 이용하여 눈덩이가 녹는 비율을 구하세요. b. a를 이용하여 $t=1$ 분일 때 부피가 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The formula for the volume of a sphere is $S=\frac{4}{3}\pi {r}^{3},$ where $r$ (in feet) is the radius of the sphere. Suppose a spherical snowball is melting in the sun.

a. Suppose $r=\frac{1}{{(t+1)}^{2}}-\frac{1}{12}$ where $t$ is time in minutes. Use the chain rule $\frac{dS}{dt}=\frac{dS}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}$ to find the rate at which the snowball is melting. b. Use a. to find the rate at which the volume is changing at $t=1$ min.

정답·풀이 보기

a. $\frac{dS}{dt}=-\frac{8\pi {r}^{2}}{{(t+1)}^{3}}$ b. 부피는 $-\frac{\pi }{36}$ ft³/min 의 비율로 감소하고 있다.

원본 교재 풀이(영어)

a. $\frac{dS}{dt}=-\frac{8\pi {r}^{2}}{{(t+1)}^{3}}$ b. The volume is decreasing at a rate of $-\frac{\pi }{36}$ ft³/min.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.5절 · 12번

# 합성함수의 미분법활용자동 분류

13.OpenStax 1권 · 3.6절 · 45번우리말 번역

[계산기 사용] 여름철 피닉스의 하루 기온(화씨)은 함수 $T(x)=94-10\cos \left[\frac{\pi }{12}(x-2)\right]$ 로 나타낼 수 있습니다. 여기서 $x$ 는 자정 이후 경과한 시간입니다. 오후 4시에 기온이 변하는 비율을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The daily temperature in degrees Fahrenheit of Phoenix in the summer can be modeled by the function $T(x)=94-10\cos \left[\frac{\pi }{12}(x-2)\right],$ where $x$ is hours after midnight. Find the rate at which the temperature is changing at 4 p.m.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 24번

# 합성함수의 미분법활용자동 분류

14.OpenStax 1권 · 3.6절 · 46번우리말 번역

[계산기 사용] 부두에서 물의 깊이(피트)는 조수의 밀물과 썰물에 따라 변한다. 깊이는 함수 $D(t)=5\sin \left(\frac{\pi }{6}t-\frac{7\pi }{6}\right)+8$ 로 모델링되며, 여기서 $t$ 는 자정 이후 경과한 시간 수이다. 오전 6시에 깊이의 변화율을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The depth (in feet) of water at a dock changes with the rise and fall of tides. The depth is modeled by the function $D(t)=5\sin \left(\frac{\pi }{6}t-\frac{7\pi }{6}\right)+8,$ where $t$ is the number of hours after midnight. Find the rate at which the depth is changing at 6 a.m.

정답·풀이 보기

$\sim 2.3$ ft/hr

원본 교재 풀이(영어)

$\sim 2.3$ ft/hr

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.6절 · 34번

# 합성함수의 미분법활용자동 분류

15.OpenStax 1권 · 3.7절 · 36번우리말 번역

[계산기 사용] 움직이는 하키 퍽의 $t$ 초 후의 위치는 $s(t)={\tan }^{-1}t$ 이다. 여기서 $s$ 의 단위는 미터이다.

a. 임의의 시각 $t$ 에서 하키 퍽의 속도를 구하세요. b. 임의의 시각 $t$ 에서 퍽의 가속도를 구하세요. c. $t=2,4$ , 그리고 $6$ 초일 때 a와 b의 값을 구하세요. d. c의 결과로부터 어떤 결론을 내릴 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] The position of a moving hockey puck after $t$ seconds is $s(t)={\tan }^{-1}t$ where $s$ is in meters.

a. Find the velocity of the hockey puck at any time $t.$ b. Find the acceleration of the puck at any time $t.$ c. Evaluate a. and b. for $t=2,4,$ and $6$ seconds. d. What conclusion can be drawn from the results in c.?

정답·풀이 보기

a. $v(t)=\frac{1}{1+{t}^{2}}$ b. $a(t)=\frac{-2t}{{(1+{t}^{2})}^{2}}$ c. $(a)0.2,0.06,0.03;(b)-0.16,-0.028,-0.0088$ d. 하키 퍽은 2초, 4초, 6초일 때 감속하고 있다(속력이 느려지고 있다).

원본 교재 풀이(영어)

a. $v(t)=\frac{1}{1+{t}^{2}}$ b. $a(t)=\frac{-2t}{{(1+{t}^{2})}^{2}}$ c. $(a)0.2,0.06,0.03;(b)-0.16,-0.028,-0.0088$ d. The hockey puck is decelerating/slowing down at 2, 4, and 6 seconds.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.7절 · 34번

# 역함수의 미분법활용자동 분류

16.OpenStax 1권 · 3.8절 · 26번우리말 번역

반지름이 $x$ 이고 높이가 $y$ 인 직원뿔의 부피는 $V=\frac{1}{3}\pi {x}^{2}y$ 로 주어집니다. 이 원뿔의 부피가 상수라고 합시다. $x=4$ 이고 $y=16$ 일 때 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

The volume of a right circular cone of radius $x$ and height $y$ is given by $V=\frac{1}{3}\pi {x}^{2}y.$ Suppose that the volume of the cone is a constant. Find $\frac{dy}{dx}$ when $x=4$ and $y=16.$

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$-8$

원본 교재 풀이(영어)

$-8$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.8절 · 20번

# 음함수의 미분법활용자동 분류

17.OpenStax 1권 · 3.8절 · 27번우리말 번역

직육면체의 겉넓이를 나타내는 식 $S(x,y)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find an equation for the surface area of the rectangular box, $S(x,y).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.11절 · 2번

# 음함수의 미분법활용자동 분류

18.OpenStax 1권 · 3.8절 · 28번우리말 번역

직육면체의 겉넓이가 78 제곱피트일 때, $x=3$ 피트이고 $y=5$ 피트일 때의 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

If the surface area of the rectangular box is 78 square feet, find $\frac{dy}{dx}$ when $x=3$ feet and $y=5$ feet.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-2.67$

원본 교재 풀이(영어)

$-2.67$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.11절 · 15번

# 음함수의 미분법활용자동 분류

19.OpenStax 1권 · 3.9절 · 29번우리말 번역

[계산기 사용] 2000년 미국 오하이오주 톨레도의 인구는 약 500,000명이었다. 인구가 매년 5%의 비율로 증가한다고 가정하자.

a. 전체 인구를 $t$ 에 대한 함수로 나타내는 지수함수를 쓰세요. b. a를 이용하여 $t$ 년 후 인구의 증가율을 구하세요. c. b를 이용하여 10년 후 인구의 증가율을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The population of Toledo, Ohio, in 2000 was approximately 500,000. Assume the population is increasing at a rate of 5% per year.

a. Write the exponential function that relates the total population as a function of $t.$ b. Use a. to determine the rate at which the population is increasing in $t$ years. c. Use b. to determine the rate at which the population is increasing in 10 years.

정답·풀이 보기

a. $P=500,000{(1.05)}^{t}$ 명 b. ${P}^{'}(t)=24395\cdot {(1.05)}^{t}$ 명/년 c. $39,737$ 명/년

원본 교재 풀이(영어)

a. $P=500,000{(1.05)}^{t}$ individuals b. ${P}^{'}(t)=24395\cdot {(1.05)}^{t}$ individuals per year c. $39,737$ individuals per year

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.9절 · 31번

# 지수함수와 로그함수의 미분활용자동 분류

20.OpenStax 1권 · 3.9절 · 30번우리말 번역

[계산기 사용] 원소 어븀의 한 동위원소는 반감기가 약 12시간이다. 처음에 이 동위원소가 9그램 있다.

a. 남아 있는 물질의 양을 시간 단위로 측정한 $t$ 에 대한 함수로 나타내는 지수함수를 쓰세요. b. a를 이용하여 $t$ 시간 후 물질이 붕괴하는 비율을 구하세요. c. b를 이용하여 $t=4$ 시간일 때의 붕괴율을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] An isotope of the element erbium has a half-life of approximately 12 hours. Initially there are 9 grams of the isotope present.

a. Write the exponential function that relates the amount of substance remaining as a function of $t,$ measured in hours. b. Use a. to determine the rate at which the substance is decaying in $t$ hours. c. Use b. to determine the rate of decay at $t=4$ hours.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.10절 · 5번

# 지수함수와 로그함수의 미분활용자동 분류

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