도함수의 활용(여러 가지 함수)

대칭부터 확인해요. $f(-x)=(-x)\tan(-x)=x\tan x=f(x)$ 이므로 $y$축에 대하여 대칭이에요. $0\le x\le\pi$ 만 살피고 나머지는 대칭으로 그리면 돼요.

점근선을 찾아요. $\tan x$ 가 정의되지 않는 곳은 $x=\pm\dfrac{\pi}{2}$ 이고, 거기서 $x\ne0$ 이라 $|f(x)|\to\infty$ 가 되어 수직점근선이에요. 부호는 $\dfrac{\pi}{2}$ 왼쪽에서 $x\tan x\to+\infty$, 오른쪽에서 $\to-\infty$ 예요.

중요한 점의 값을 구해요. $f(0)=0$, $f(\pm\pi)=\pi\cdot 0=0$ 이에요. $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ 에서는 $x>0$, $\tan x>0$ 이라 $f>0$, $\dfrac{\pi}{2}<x<\pi$ 에서는 $\tan x<0$ 이라 $f<0$ 이에요.

증가·감소를 살펴요. $f'(x)=\tan x+x\sec^2x=\dfrac{\sin x\cos x+x}{\cos^2x}$ 이에요. 분자 $g(x)=x+\dfrac{\sin 2x}{2}$ 는 $g'(x)=1+\cos 2x\ge0$ 이라 늘어나기만 하고 $g(0)=0$ 이므로 $x>0$ 에서 $g>0$ 이에요. 따라서 $0<x<\pi$ 에서 $f'>0$ 으로 증가해요. 극값은 $x=0$ 에서의 극솟값 $0$ 뿐이에요.

오목·볼록을 살펴요. $f''(x)=2\sec^2x\,(1+x\tan x)$ 이므로 부호는 $1+x\tan x$ 가 정해요. $0\le x<\dfrac{\pi}{2}$ 에서는 $x\tan x\ge0$ 이라 아래로 볼록해요. $\dfrac{\pi}{2}<x<\pi$ 에서는 $x\tan x=-1$ 이 되는 $x\approx2.8$ 에서 부호가 바뀌어 위로 볼록했다가 아래로 볼록해지는 변곡점이 생겨요.

그래프를 정리해요. $0$ 에서 시작해 $\dfrac{\pi}{2}$ 쪽으로 $+\infty$ 로 올라가고, 점근선 오른쪽에서는 $-\infty$ 에서 올라와 $x=\pi$ 에서 $0$ 이 돼요. 왼쪽 절반은 $y$축 대칭으로 그려요.