지수함수와 로그함수의 미분

$x^2$ 과 $e^x$ 의 곱이므로 곱의 미분법을 써요. $u=x^2,\ v=e^x$ 로 놓으면 $u'=2x,\ v'=e^x$ 예요.

공식에 넣어요.

$$f'(x)=u'v+uv'=2x\,e^{x}+x^{2}e^{x}$$

원하면 $e^x$ 로 묶어 $f'(x)=e^{x}(x^{2}+2x)$ 로 써도 같은 식이에요.

두 함수의 곱이므로 곱의 미분법을 써요. $u=x^{\pi}$, $v=\pi^{x}$ 로 놓아요.

$u=x^{\pi}$ 는 $x$ 의 거듭제곱이에요. $\pi$ 는 그냥 상수이므로 $(x^n)'=nx^{n-1}$ 을 그대로 써요.

$$u'=\pi x^{\pi-1}$$

$v=\pi^{x}$ 는 지수에 $x$ 가 있는 지수함수예요. $(a^x)'=a^x\ln a$ 이므로

$$v'=\pi^{x}\ln\pi$$

곱의 미분법 $u'v+uv'$ 에 넣어요.

$$f'(x)=\pi x^{\pi-1}\cdot\pi^{x}+x^{\pi}\cdot\pi^{x}\ln\pi$$

밑과 지수에 모두 $x$ 가 있어서 바로 미분 공식을 쓸 수 없어요. 양변에 자연로그를 취하면 지수가 앞으로 내려와요.

$$\ln y=4x\ln(\sin 2x)$$

양변을 $x$ 에 대해 미분해요. 왼쪽은 합성함수 미분으로 $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$ 가 돼요. 오른쪽은 $4x$ 와 $\ln(\sin 2x)$ 의 곱이므로 곱의 미분법을 써요.

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=4\ln(\sin 2x)+4x\cdot\frac{(\sin 2x)'}{\sin 2x}$$

$(\sin 2x)'=2\cos 2x$ 이므로 $\dfrac{2\cos 2x}{\sin 2x}=2\cot 2x$ 예요. 따라서

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=4\ln(\sin 2x)+8x\cot 2x$$

양변에 $y$ 를 곱하고 $y$ 를 원래 식으로 되돌려요.

$$\frac{dy}{dx}={(\sin 2x)}^{4x}\Big[4\ln(\sin 2x)+8x\cot 2x\Big]$$