문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 미분법

지수함수와 로그함수의 미분

eˣ, aˣ, ln x, logₐx의 도함수를 구한다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 3.9절 · 9번우리말 풀이

다음 함수에 대하여 $f'(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=x^{\pi }\cdot \pi^{x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find ${f}^{'}(x)$ for each function.

$f(x)={x}^{\pi }\cdot {\pi }^{x}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$x^{\pi}$ 는 밑이 변수(거듭제곱함수), $\pi^x$ 는 지수가 변수(지수함수)예요. 둘의 미분 공식이 다르다는 걸 구별해요.

1
두 함수의 곱이므로 곱의 미분법을 써요. $u=x^{\pi}$ , $v=\pi^{x}$ 로 놓아요.
2
$u=x^{\pi}$ 는 $x$ 의 거듭제곱이에요. $\pi$ 는 그냥 상수이므로 $(x^n)'=nx^{n-1}$ 을 그대로 써요.

$u'=\pi x^{\pi-1}$
3
$v=\pi^{x}$ 는 지수에 $x$ 가 있는 지수함수예요. $(a^x)'=a^x\ln a$ 이므로

$v'=\pi^{x}\ln\pi$
4
곱의 미분법 $u'v+uv'$ 에 넣어요.

$f'(x)=\pi x^{\pi-1}\cdot\pi^{x}+x^{\pi}\cdot\pi^{x}\ln\pi$

답

$f'(x)=\pi x^{\pi-1}\cdot\pi^{x}+x^{\pi}\cdot\pi^{x}\ln\pi$

자주 하는 실수

$\pi^x$ 를 거듭제곱처럼 $x\pi^{x-1}$ 로 미분하거나, $x^{\pi}$ 를 지수함수처럼 $x^{\pi}\ln x$ 로 미분해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\pi {x}^{\pi -1}\cdot {\pi }^{x}+{x}^{\pi }\cdot {\pi }^{x}\ln \pi$

2.OpenStax 1권 · 3.9절 · 17번우리말 풀이

로그미분법을 이용하여 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$y={(\sin 2x)}^{4x}$

영어 원문 보기

For the following exercises, use logarithmic differentiation to find $\frac{dy}{dx}.$

$y={(\sin 2x)}^{4x}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

밑과 지수에 모두 $x$ 가 있으면 양변에 자연로그를 취해 지수를 앞으로 내린 뒤 미분해요.

1
밑과 지수에 모두 $x$ 가 있어서 바로 미분 공식을 쓸 수 없어요. 양변에 자연로그를 취하면 지수가 앞으로 내려와요.

$\ln y=4x\ln(\sin 2x)$
2
양변을 $x$ 에 대해 미분해요. 왼쪽은 합성함수 미분으로 $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$ 가 돼요. 오른쪽은 $4x$ 와 $\ln(\sin 2x)$ 의 곱이므로 곱의 미분법을 써요.

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=4\ln(\sin 2x)+4x\cdot\frac{(\sin 2x)'}{\sin 2x}$
3
$(\sin 2x)'=2\cos 2x$ 이므로 $\dfrac{2\cos 2x}{\sin 2x}=2\cot 2x$ 예요. 따라서

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=4\ln(\sin 2x)+8x\cot 2x$
4
양변에 $y$ 를 곱하고 $y$ 를 원래 식으로 되돌려요.

$\frac{dy}{dx}={(\sin 2x)}^{4x}\Big[4\ln(\sin 2x)+8x\cot 2x\Big]$

답

$\dfrac{dy}{dx}={(\sin 2x)}^{4x}\left[4\ln(\sin 2x)+8x\cot 2x\right]$

자주 하는 실수

마지막에 $y$ 를 곱하는 것을 잊거나, $\sin 2x$ 의 속미분 $2$ 를 빠뜨려요.

원본 교재 풀이(영어)

${(\sin 2x)}^{4x}[4\cdot \ln (\sin 2x)+8x\cdot \cot 2x]$