일 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.CLP-2 · 2.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

중력에 대항하여 3그램 질량의 블록을 10 센티미터 높이만큼 들어 올리는 데 필요한 일(줄 단위)을 구하세요 ( $g=9.8$ m/sec $^2$ 이용).

영어 원문 보기

Find the work (in joules) required to lift a 3-gram block of matter a height of 10 centimetres against the force of gravity (with $g=9.8$ m/sec $^2$ ).

답 쓰고 채점

J

정답·풀이 보기

힘은 질량 $\times$ 가속도이고(이 문제에서 가속도는 $g$ 와 같다), 이 상황에서는 둘 다 상수이므로 블록에 작용하는 힘을 계산하는 데 적분은 필요 없고 곱셈만 하면 된다.

힘을 뉴턴 단위로 구하기 위해, 1뉴턴이 $\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}$ 임을 떠올리면 블록의 질량이 kg 단위로 필요하다. 블록의 질량은 $\frac{3}{1000}$ kg 이다. 따라서 작용하는 힘은 $F=\left(\frac{3}{1000}\text{ kg}\right)\times\left(9.8~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = 0.0294~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2} = 0.0294~\text{N}$

일을 줄 단위로 구하기 위해, 1줄은 1뉴턴미터, 즉 1뉴턴의 힘이 1미터에 걸쳐 작용한 일임을 떠올리자. 따라서 거리를 미터 단위로 나타내야 한다. $W = \big( 0.0294~\text{N}\big)\times\left(\frac{1}{10}~\text{m}\right) = 0.00294~\text{N}\cdot\text{m} = 0.00294~\text{J}$

원본 교재 풀이(영어)

Force is mass $\times$ acceleration (with acceleration equal to $g$ in this problem), and both in this scenario are constant, so we don't need an integral–only a product–to calculate the force acting on the block.

To find the force in newtons, recall one newton is one $\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}$ , so we need the mass of our block in kg. Specifically, our block has mass $\frac{3}{1000}$ kg. So, the force involved is $F=\left(\frac{3}{1000}\text{ kg}\right)\times\left(9.8~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right) = 0.0294~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2} = 0.0294~\text{N}$

To find the work in joules, recall one joule is one newton-metre: that is, one newton of force acting over one metre. So, we need our distance in metres. $W = \big( 0.0294~\text{N}\big)\times\left(\frac{1}{10}~\text{m}\right) = 0.00294~\text{N}\cdot\text{m} = 0.00294~\text{J}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.1절 · 2번

# 일계산기본자동 분류

2.CLP-2 · 2.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

바위가 중력 때문에 놓여 있는 땅에 1 N의 힘을 가한다. $g=9.8$ m/sec $^2$ 을 이용하세요.

바위의 질량은 얼마인지 구하세요.

그 바위를 공중으로 1미터 들어 올리는 데 드는 일(줄 단위)은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

A rock exerts a force of 1 N on the ground where it sits due to gravity. Use $g=9.8$ m/sec $^2$ .

What is the mass of the rock?

How much work (in joules) does it take to lift that rock one metre in the air?

정답·풀이 보기

바위의 힘은 1뉴턴, 즉 1 킬로그램미터 매 초 제곱이므로 $1~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2} = (x~\text{kg})\left(9.8~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right)$ 따라서 바위의 질량은 $\frac{1}{9.8}$ kg, 즉 약 102그램이다.

이제 1줄이 1뉴턴미터이므로, 1 N의 중력에 맞서 1미터 동안 해야 하는 일은 정확히 1줄이다.

참고: 1줄의 일이 어느 정도이고 1뉴턴의 힘이 어느 정도인지 감을 잡아 두면 계산 결과가 타당한지 확인하는 데 좋은 도구가 된다. 예를 들어 이 문제를 푼 뒤에 구슬 하나의 무게가 100 N 이라는 결과가 나왔다면, 계산에 오류가 있다고 거의 확신할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The force of the rock is one newton, or one kilogram-metre per second squared, so $1~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2} = (x~\text{kg})\left(9.8~\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\right)$ Therefore, the mass of the rock is $\frac{1}{9.8}$ kg, or about 102 grams.

Now, since one joule is one newton-metre, the amount of work required to counteract 1 N of gravitational force for one metre is precisely one joule.

Remark: having an idea of how much work a joule is, and how much force a newton is, is a good tool for checking the reasonableness of your work. For example, after this question, if you calculate that a marble weighs 100 N, you can be pretty sure there's an error in your calculation.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.1절 · 3번

# 일계산기본자동 분류

3.CLP-2 · 2.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 등식을 생각하세요. $W = \int_a^b F(x)\,\mathrm{d}x$ 여기서 $x$ 는 미터(m) 단위로 측정하고, $F(x)$ 는 킬로그램·미터 매 초 제곱(뉴턴) 단위로 측정합니다.

충분히 큰 어떤 $n$ 에 대해 다음과 같이 어림할 수 있습니다. $W \approx \sum_{i=1}^n F(x_i)\Delta x$ 여기서 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ 이고 $x_i$ 는 구간 $[a+(i-1)\Delta x, a+i\Delta x]$ 안의 어떤 수입니다. (이것은 리만 합의 일반적인 꼴일 뿐입니다.)

(a) $\Delta x$ 의 단위는 무엇인지 구하세요. (b) $F(x_i)$ 의 단위는 무엇인지 구하세요. (c) 위의 답을 이용하여 $W$ 의 단위는 무엇인지 구하세요.

참고: 본문에서 이미 $W$ 의 단위를 알고 있지만, 리만 합을 통해 이 특정한 적분에서 그 단위가 왜 타당한지 알 수 있습니다.

영어 원문 보기

Consider the equation $W = \int_a^b F(x)\,\mathrm{d}x$ where $x$ is measured in metres and $F(x)$ is measured in kilogram-metres per second squared (newtons).

For some large $n$ , we might approximate $W \approx \sum_{i=1}^n F(x_i)\Delta x$ where $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ and $x_i$ is some number in the interval $[a+(i-1)\Delta x, a+i\Delta x]$ . (This is just the general form of a Riemann sum).

(a) What are the units of $\Delta x$ ? (b) What are the units of $F(x_i)$ ? (c) Using your answers above, what are the units of $W$ ?

Remark: we already know the units of $W$ from the text, but the Riemann sum illustrates why they make sense arising from this particular integral.

정답·풀이 보기

(a) $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ 으로 정의하였다. 즉, $[a,b]$ 를 $n$ 개로 나눌 때 한 구간의 길이이다. $b$ 와 $a$ 를 미터로 측정하면 $\Delta x$ 도 미터로 측정된다. 따라서 $\Delta x$ 의 단위는 미터이다.

다르게 말하면, $a$ 와 $b$ 가 모두 미터 단위의 양을 나타내므로 $b-a$ 도 미터 단위의 양을 나타낸다. (단위가 같은 양끼리 더하거나 빼면 그 합이나 차도 같은 단위로 주어진다.) $n$ 은 단위가 없는 양(단순한 수이며 “ $n$ kg” 이나 “ $n$ m” 이 아님)이므로 $\frac{b-a}{n}$ 도 여전히 미터 단위의 양을 나타낸다. (6 미터의 천을 3 조각으로 자르면 각 조각은 $\frac{6}{3}=2$ 미터이다. 2 킬로그램이나 매 초 2 미터가 아니다.) (b) $F(x)$ 를 킬로그램·미터 매 초 제곱(뉴턴) 단위로 측정하므로 $F(x_i)$ 의 단위는 킬로그램·미터 매 초 제곱(뉴턴)이다. (c) $W$ 는 $F(x_i)\Delta x$ 꼴의 항들을 더하여 구한다. $F(x_i)\Delta x$ 의 단위는 $F(x_i)$ 의 단위와 $\Delta x$ 의 단위의 곱이다. 즉, $F(x_i)\Delta x$ 의 단위는 $\left(\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}\right)\left(\text{m}\right) = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{sec}^2} = J$ 이다. 줄 단위로 주어진 항들의 합은 그 자체로 줄 단위이므로 $W$ 의 단위는 줄이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We defined $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ : that is, the length of one interval, when we chop $[a,b]$ into $n$ of them. If $b$ and $a$ are measured in metres, then $\Delta x$ is measured in metres as well. So, the units of $\Delta x$ are metres.

Put another way, since $a$ and $b$ both describe a quantity in metres, $b-a$ describes a quantity in metres as well. (When we add or subtract quantities of the same units, their sum or difference is given in the same units.) Since $n$ is a unitless quantity (simply a number: not “ $n$ kg" or “ $n$ m"), $\frac{b-a}{n}$ still describes a quantity in metres. (If I have 6 metres of cloth, and I cut it into 3 pieces, each piece has $\frac{6}{3}=2$ metres–not 2 kilograms, or 2 metres per second.) (b) Since $F(x)$ is measured in kilogram-metres per second squared (newtons), the units of $F(x_i)$ are kilogram-metres per second squared (newtons). (c) $W$ is calculated by adding up summands of the form $F(x_i)\Delta x$ . The units of $F(x_i)\Delta x$ are the products of the units of $F(x_i)$ with the units of $\Delta x$ . That is, the units of $F(x_i)\Delta x$ are $\left(\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}\right)\left(\text{m}\right) = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}^2}{\text{sec}^2} = J$ . The sum of terms given in joules is itself given in joules, so the units of $W$ are joules.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 2.1절 · 28번

# 일활용기본자동 분류

4.CLP-2 · 2.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

비행 전에 짐의 무게를 재려고 합니다. 저울이나 천칭은 없지만, 동네 공학 용품점에서 산 튼튼한 용수철이 있습니다. 이 용수철을 벽에 못으로 박아 고정하고, 용수철의 아래쪽 끝이 걸리는 위치를 표시합니다. 용수철에 1리터짜리 물주머니(질량 1킬로그램)를 매달았더니 용수철이 1 cm 늘어났습니다. 질량 10kg을 매달았을 때에 해당하는 용수철의 아래쪽 끝은 벽의 어느 위치에 표시해야 하는지 구하세요.

용수철은 훅의 법칙을 따른다고 가정해도 됩니다.

영어 원문 보기

You want to weigh your luggage before a flight. You don't have a scale or balance, but you do have a heavy-duty spring from your local engineering-supply store. You nail it to your wall, marking where the bottom hangs. You hang a one-litre bag of water (with mass one kilogram) from the spring, and observe that the spring stretches 1 cm. Where on the wall should you mark the bottom of the spring corresponding to a hanging mass of 10kg?

You may assume that the spring obeys Hooke's law.

정답·풀이 보기

훅의 법칙에 따르면 용수철을 원래 길이에서 $x$ 단위만큼 늘이는 데 필요한 힘은 $x$ 에 비례한다. 즉, 각 용수철마다 정해지는 어떤 상수 $k$ 가 있어서, 용수철을 원래 길이에서 $x$ m 만큼 늘이는 데 필요한 힘은 $kx$ 이다.

풀이 1: 용수철을 늘이는 데 필요한 힘은 늘어난 길이에 비례하고, 용수철에 작용하는 힘은 매달린 질량에 비례하므로, 용수철이 늘어나는 길이는 매단 질량에 비례한다고 결론지을 수 있다. 따라서 1 kg이 용수철을 1 cm 늘인다면 10 kg은 10 cm 늘일 것이다. 하중이 걸리지 않은 상태에서 …아래쪽 끝보다 10 cm 아래인 벽 위치에 표시를 해야 한다.
풀이 2: 물주머니로 한 실험에서 $k$ 를 구할 수 있다. 물주머니가 가한 힘은 $(1\text{ kg})(9.8\text{ m/sec}^2) = 9.8$ N $=k(1 \text{ cm})$ 이다. 따라서 $k = \frac{9.8~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}}{0.01\text{ m}} = 980 \frac{\text{kg}}{\text{sec}^2}$

용수철에 10 kg을 매달면 중력이 $(10 \text{ kg})(9.8 \text{ m/sec}^2) = 98~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}$ 의 힘을 가한다. 이 힘은 용수철이 $kx$ 뉴턴의 힘으로 맞서 균형을 이룬다. 여기서 $k$ 는 용수철 상수이고 $x$ 는 늘어난 길이이다.

$\begin{aligned} kx&=98~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}\\ \left(980 \frac{\text{kg}}{\text{sec}^2}\right)\left(x\text{ m}\right)&=98~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}\\ x&=\frac{1}{10}\text{ m} = 10\text{ cm} \end{aligned}$

따라서 용수철의 원래 길이에서 10 cm 아래에 표시를 해야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Hooke's law says that the force required to stretch a spring $x$ units past its natural length is proportional to $x$ ; that is, there is some constant $k$ associated with the individual spring such that the force required to stretch it $x$ m past its natural length is $kx$ .

Solution 1: Since the force required to stretch the spring is proportional to the amount stretched, and the force acting on the spring is proportional to the mass hanging from it, we conclude the amount the spring stretches is proportional to the mass hung from it. So, if 1 kg stretches it 1 cm, then 10 kg will stretch it 10 cm. We should mark the wall 10 cm below the bottom of the spring as it hangs unloaded.
Solution 2: We can find $k$ from the test with the bag of water. The force exerted by the bag of water was $(1\text{ kg})(9.8\text{ m/sec}^2) = 9.8$ N $=k(1 \text{ cm})$ . So, $k = \frac{9.8~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}}{0.01\text{ m}} = 980 \frac{\text{kg}}{\text{sec}^2}$

If we hang 10 kg from the spring, gravity exerts a force of $(10 \text{ kg})(9.8 \text{ m/sec}^2) = 98~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}$ . This will be matched by the spring with a force of $kx$ newtons, where $k$ is the spring constant and $x$ is the amount stretched.

$\begin{aligned} kx&=98~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}\\ \left(980 \frac{\text{kg}}{\text{sec}^2}\right)\left(x\text{ m}\right)&=98~\frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{sec}^2}\\ x&=\frac{1}{10}\text{ m} = 10\text{ cm} \end{aligned}$

So, we should put the mark at 10 cm below the natural length of the spring.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.5절 · 21번

# 일그래프·표 해석기본자동 분류