문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

적분법 전체 문제

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유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 5.2절 · 6번우리말 풀이

다음 문제에서 $L_n$ 또는 $R_n$ 이 주어졌을 때, $n\to\infty$ 일 때의 극한을 정적분으로 나타내고 적분 구간을 정하세요.

$R_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, given L_n or R_n as indicated, express their limits as $n\to \infty$ as definite integrals, identifying the correct intervals.

${R}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}$

풀이 보기

$\frac1n$ 은 폭 $\Delta x$ , $\frac in$ 은 점 $x_i$ 로 읽어요.

1
오른쪽 끝점 합은 $R_n=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x$ 꼴이에요. 주어진 식과 비교해 각 부분이 무엇인지 읽어요.
2
$\Delta x=\frac1n$ 이고 $x_i=\frac in$ 이에요. 구간이 $[a,b]$ 이면 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ , $x_i=a+i\Delta x$ 이므로 $b-a=1$ , $a=0$ 으로 읽을 수 있어요. 즉 구간은 $[0,1]$ 이에요.
3
그러면 $x_i=\frac in$ 에서의 함숫값이 $\frac in$ 이므로 $f(x)=x$ 예요.
4
따라서 $\lim_{n\to\infty}R_n=\int_0^1 x\,dx$ 예요. (값은 $\frac12$ 이에요.)

답

$\int_0^1 x\,dx$ (구간 $[0,1]$ )

자주 하는 실수

$\frac1n$ 을 보고 구간의 끝을 $\frac1n$ 이라 착각하기 쉬워요. $\frac1n$ 은 한 칸의 폭이에요.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}xdx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 29번

# 정적분과 급수(구분구적법)개념 확인보통

2.OpenStax 2권 · 3.1절 · 5번우리말 풀이

부분적분법을 쓸 때는 어느 식을 $u$ 로 놓을지 신중히 골라야 해요. 다음 각 문제에서 이 절의 지침을 써서 $u$ 를 고르세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\int {e}^{3x}\sin (2x)dx$

영어 원문 보기

In using the technique of integration by parts, you must carefully choose which expression is u. For each of the following problems, use the guidelines in this section to choose u. Do not evaluate the integrals.

$\int {e}^{3x}\sin (2x)dx$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$u$ 는 미분했을 때 간단해지거나 같은 꼴로 돌아오는 쪽으로 고르고, 보통 삼각함수를 지수함수보다 먼저(=u 로) 놓아요.

1
왜 이렇게 할까요? 부분적분 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 에서 $u$ 를 고르는 기준이 필요해요. 흔히 로그·역삼각·다항·삼각·지수 순서(앞쪽일수록 $u$ 로 놓음)로 고르는 지침을 써요.
2
이 문제에 적용해요. 곱해진 두 함수는 $e^{3x}$ (지수함수)와 $\sin(2x)$ (삼각함수)예요. 지침에서 삼각함수가 지수함수보다 앞이므로 $u=\sin(2x)$ , $dv=e^{3x}dx$ 로 놓아요.
3
참고. 이 적분은 두 번 부분적분하면 처음 적분이 다시 나타나는 꼴이라, 어느 쪽을 $u$ 로 잡아도 두 번 모두 같은 방식으로 잡기만 하면 풀려요.

답

$u=\sin(2x)$ (그러면 $dv=e^{3x}dx$ )

자주 하는 실수

두 번째 부분적분에서 $u$ 와 $dv$ 의 역할을 바꿔서 처음 식으로 되돌아가 버려요.

원본 교재 풀이(영어)

$u=\sin (2x)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 41번

# 부분적분법개념 확인기본