적분법 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 5.2절 · 6번우리말 풀이

다음 문제에서 $L_n$ 또는 $R_n$ 이 주어졌을 때, $n\to\infty$ 일 때의 극한을 정적분으로 나타내고 적분 구간을 정하세요.

$R_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, given L_n or R_n as indicated, express their limits as $n\to \infty$ as definite integrals, identifying the correct intervals.

${R}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}$

풀이 보기

$\frac1n$ 은 폭 $\Delta x$ , $\frac in$ 은 점 $x_i$ 로 읽어요.

1
오른쪽 끝점 합은 $R_n=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\,\Delta x$ 꼴이에요. 주어진 식과 비교해 각 부분이 무엇인지 읽어요.
2
$\Delta x=\frac1n$ 이고 $x_i=\frac in$ 이에요. 구간이 $[a,b]$ 이면 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ , $x_i=a+i\Delta x$ 이므로 $b-a=1$ , $a=0$ 으로 읽을 수 있어요. 즉 구간은 $[0,1]$ 이에요.
3
그러면 $x_i=\frac in$ 에서의 함숫값이 $\frac in$ 이므로 $f(x)=x$ 예요.
4
따라서 $\lim_{n\to\infty}R_n=\int_0^1 x\,dx$ 예요. (값은 $\frac12$ 이에요.)

답

$\int_0^1 x\,dx$ (구간 $[0,1]$ )

자주 하는 실수

$\frac1n$ 을 보고 구간의 끝을 $\frac1n$ 이라 착각하기 쉬워요. $\frac1n$ 은 한 칸의 폭이에요.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}xdx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 29번

# 정적분과 급수(구분구적법)개념 확인보통

2.OpenStax 2권 · 3.1절 · 5번우리말 풀이

부분적분법을 쓸 때는 어느 식을 $u$ 로 놓을지 신중히 골라야 해요. 다음 각 문제에서 이 절의 지침을 써서 $u$ 를 고르세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\int {e}^{3x}\sin (2x)dx$

영어 원문 보기

In using the technique of integration by parts, you must carefully choose which expression is u. For each of the following problems, use the guidelines in this section to choose u. Do not evaluate the integrals.

$\int {e}^{3x}\sin (2x)dx$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$u$ 는 미분했을 때 간단해지거나 같은 꼴로 돌아오는 쪽으로 고르고, 보통 삼각함수를 지수함수보다 먼저(=u 로) 놓아요.

1
왜 이렇게 할까요? 부분적분 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 에서 $u$ 를 고르는 기준이 필요해요. 흔히 로그·역삼각·다항·삼각·지수 순서(앞쪽일수록 $u$ 로 놓음)로 고르는 지침을 써요.
2
이 문제에 적용해요. 곱해진 두 함수는 $e^{3x}$ (지수함수)와 $\sin(2x)$ (삼각함수)예요. 지침에서 삼각함수가 지수함수보다 앞이므로 $u=\sin(2x)$ , $dv=e^{3x}dx$ 로 놓아요.
3
참고. 이 적분은 두 번 부분적분하면 처음 적분이 다시 나타나는 꼴이라, 어느 쪽을 $u$ 로 잡아도 두 번 모두 같은 방식으로 잡기만 하면 풀려요.

답

$u=\sin(2x)$ (그러면 $dv=e^{3x}dx$ )

자주 하는 실수

두 번째 부분적분에서 $u$ 와 $dv$ 의 역할을 바꿔서 처음 식으로 되돌아가 버려요.

원본 교재 풀이(영어)

$u=\sin (2x)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 41번

# 부분적분법개념 확인기본

3.OpenStax 1권 · 6장 복습 · 4번우리말 번역

단원 복습 문제

참 또는 거짓? 증명 또는 반례로 답을 뒷받침하세요.

$\text{seaborgium-}266$ 의 반감기가 $360$ ms이면 $k=(\ln (2))/360$ 이다.

영어 원문 보기

Chapter Review Exercises

True or False? Justify your answer with a proof or a counterexample.

If the half-life of $\text{seaborgium-}266$ is $360$ ms, then $k=(\ln (2))/360.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 35번

# 넓이(여러 가지 함수)개념 확인자동 분류

4.APEX · 5.3절 · 1번우리말 번역

미적분의 기본적인 기법은 근삿값을 정교하게 다듬어 정확한 답을 얻기 위해 _____ 을(를) 사용하는 것이다.

영어 원문 보기

A fundamental calculus technique is to use _____ to refine approximations to get an exact answer.

정답·풀이 보기

극한

원본 교재 풀이(영어)

limits

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.3절 · 2번

# 정적분과 급수(구분구적법)개념 확인자동 분류

5.APEX · 5.3절 · 2번우리말 번역

합 기호

$\displaystyle \sum_{i=7}^{14} (48i-201)$

에서 위끝은 무엇인가요?

영어 원문 보기

What is the upper bound in the summation

$\displaystyle \sum_{i=7}^{14} (48i-201)$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

14

원본 교재 풀이(영어)

14

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.3절 · 3번

# 정적분과 급수(구분구적법)개념 확인자동 분류

6.APEX · 5.3절 · 3번우리말 번역

이 절에서는 어떤 기하학적 도형을 사용하여 정적분을 근사하나요?

영어 원문 보기

This section approximates definite integrals using what geometric shape?

정답·풀이 보기

직사각형이다.

원본 교재 풀이(영어)

Rectangles.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 55번

# 정적분과 급수(구분구적법)개념 확인자동 분류

7.APEX · 5.3절 · 4번우리말 번역

참/거짓: 오른쪽 끝점 규칙을 사용한 합은 리만 합의 한 예이다.

영어 원문 보기

T/F: A sum using the Right Hand Rule is an example of a Riemann Sum.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.3절 · 1번

# 정적분과 급수(구분구적법)개념 확인자동 분류

8.APEX · 6.1절 · 1번우리말 번역

치환은 어떤 미분 법칙을 "되돌리는" 것인가요?

영어 원문 보기

Substitution “undoes” what derivative rule?

정답·풀이 보기

연쇄 법칙이다.

원본 교재 풀이(영어)

Chain Rule.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 8번

# 치환적분법개념 확인자동 분류

9.APEX · 6.1절 · 2번우리말 번역

참/거짓: 적분의 피적분함수를 대수적으로 고쳐 써서 더 쉽게 계산할 수 있다.

영어 원문 보기

T/F: One can use algebra to rewrite the integrand of an integral to make it easier to evaluate.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.1절 · 1번

# 치환적분법개념 확인자동 분류

10.APEX · 6.2절 · 1번우리말 번역

참/거짓: 부분적분은 함수의 곱을 포함하는 피적분함수를 계산할 때 유용하다.

영어 원문 보기

T/F: Integration by Parts is useful in evaluating integrands that contain products of functions.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 11번

# 부분적분법개념 확인자동 분류

11.APEX · 6.2절 · 2번우리말 번역

참/거짓: 부분적분은 "연쇄 법칙의 반대"로 생각할 수 있다.

영어 원문 보기

T/F: Integration by Parts can be thought of as the “opposite of the Chain Rule.”

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.2절 · 3번

# 부분적분법개념 확인자동 분류

12.APEX · 6.2절 · 3번우리말 번역

“라이에이트”는 무엇에 유용한가요?

영어 원문 보기

For what is “LIATE” useful?

정답·풀이 보기

피적분함수에서 어떤 함수를 “ $u$ ”로 놓고 어떤 함수를 “ $dv$ ”로 놓을지 정하는 데 유용하다.

원본 교재 풀이(영어)

Determining which functions in the integrand to set equal to “ $u$ ” and which to set equal to “ $dv$ ”.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 5.4절 · 15번

# 부분적분법개념 확인자동 분류

13.APEX · 6.2절 · 4번우리말 번역

참/거짓: 부분적분을 한 결과로 나온 적분에서 또다시 부분적분이 필요해 보인다면, 처음에 " $u$ "를 잘못 선택한 것이다.

영어 원문 보기

T/F: If the integral that results from Integration by Parts appears to also need Integration by Parts, then a mistake was made in the original choice of “ $u$ ”.

정답·풀이 보기

거짓; 적분을 완전히 계산하기 위해 부분적분을 여러 번 사용해야 하는 경우는 드물지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

F; it is not uncommon to need to use Integration by Parts several times to fully evaluate an integral.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 37번

# 부분적분법개념 확인자동 분류

14.APEX · 7.1절 · 1번우리말 번역

참/거짓: 곡선 사이의 넓이는 항상 양수이다.

영어 원문 보기

T/F: The area between curves is always positive.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.1절 · 2번

# 넓이(여러 가지 함수)개념 확인자동 분류

15.APEX · 7.1절 · 2번우리말 번역

참/거짓: 미적분을 이용하여 기본 도형의 넓이를 구할 수 있다.

영어 원문 보기

T/F: Calculus can be used to find the area of basic geometric shapes.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.1절 · 3번

# 넓이(여러 가지 함수)개념 확인자동 분류

16.APEX · 7.1절 · 3번우리말 번역

$y=f(x)$ 와 $y=g(x)$ 로 둘러싸인 전체 넓이를 구하는 방법을 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

In your own words, describe how to find the total area enclosed by $y=f(x)$ and $y=g(x)$ .

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 37번

# 넓이(여러 가지 함수)개념 확인자동 분류

17.APEX · 7.1절 · 4번우리말 번역

$y$ 에 대해 적분하여 곡선으로 둘러싸인 넓이를 구하는 것이 $x$ 에 대해 적분하는 것보다 유리한 상황을 설명하세요.

영어 원문 보기

Describe a situation where it is advantageous to find an area enclosed by curves through integration with respect to $y$ instead of $x$ .

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다. 흔한 답 하나는, 영역을 $x$ 에 대해 볼 때는 "위쪽" 함수나 "아래쪽" 함수가 두 개 이상이지만, $y$ 에 대해 볼 때는 "위쪽" 함수가 1개, "아래쪽" 함수가 1개뿐인 경우이다. 앞의 경우 넓이를 구하려면 적분을 여러 번 해야 하지만, 뒤의 경우에는 한 번이면 된다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary; one common answer is when the region has two or more “top” or “bottom” functions when viewing the region with respect to $x$ , but has only 1 “top” function and 1 “bottom” function when viewed with respect to $y$ . The former area requires multiple integrals to compute, whereas the latter area requires one.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 51번

# 넓이(여러 가지 함수)개념 확인자동 분류

18.APEX · 7.2절 · 1번우리말 번역

참/거짓: 회전체는 어떤 도형을 축을 중심으로 회전시켜 만들어진다.

영어 원문 보기

T/F: A solid of revolution is formed by revolving a shape around an axis.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 56번

# 입체도형의 부피개념 확인자동 분류

19.APEX · 7.2절 · 2번우리말 번역

디스크 방법과 와셔 방법이 어떻게 관련되어 있는지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

In your own words, explain how the Disk and Washer Methods are related.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.2절 · 1번

# 입체도형의 부피개념 확인자동 분류

20.APEX · 7.2절 · 4번우리말 번역

이 절의 기본 원리는 “_____는 넓이 함수를 적분하여 구할 수 있다.”이다.

영어 원문 보기

A fundamental principle of this section is “_____ can be found by integrating an area function.”

정답·풀이 보기

부피

원본 교재 풀이(영어)

volume

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 16번

# 입체도형의 부피개념 확인자동 분류

적분법 전체 문제