넓이(여러 가지 함수)

$e^x>0$이므로 $xe^x\le e^x$인지는 $x\le1$인지로 정해져요. $0\le x\le1$에서 $x\le1$이므로 $y=e^x$가 위, $y=xe^x$가 아래예요. 그림에서도 $x=1$에서 두 곡선이 만나요.

넓이는 $\int_0^1(e^x-xe^x)\,dx$예요. 먼저 $\int_0^1e^xdx=e-1$이에요.

$\int_0^1xe^x\,dx$는 부분적분으로 구해요. $u=x$, $v'=e^x$로 놓으면 $\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x$이므로 $\left[xe^x-e^x\right]_0^1=(e-e)-(0-1)=1$이에요.

따라서 넓이는 $(e-1)-1=e-2$예요.

먼저 교점부터 구해요. 적분 구간은 두 곡선이 만나는 곳에서 정해지기 때문이에요. $x=\sqrt{4-y^2}$ 는 $x^2+y^2=4$ (반지름 2인 원)의 오른쪽 반이에요. 여기서 $x^2=4-y^2$ 를 $y^2=1+x^2$ 에 대입하면 $$y^2=1+(4-y^2)\;\Rightarrow\;2y^2=5\;\Rightarrow\;y^2=\tfrac52,\quad x^2=\tfrac32$$ 교점은 $\left(\sqrt{\tfrac32},\,\pm\sqrt{\tfrac52}\right)\approx(1.225,\ \pm1.581)$ 이에요.

영역의 모양을 생각해요. $y^2=1+x^2$ 은 위쪽 가지 $y=\sqrt{1+x^2}$ 와 아래쪽 가지 $y=-\sqrt{1+x^2}$ 로 이루어져요. $x=0$ 에서 위쪽 가지는 $y=1$, 원은 $y=2$ 이므로 $0\le x\le\sqrt{3/2}$ 에서 원이 위, 쌍곡선이 아래예요. 원과 쌍곡선이 모두 $x$축에 대칭이라서 위쪽 조각과 아래쪽 조각의 넓이가 같아요.

적분식을 세워요. 위쪽 조각의 넓이는 (위 − 아래)의 정적분이고, 아래쪽 조각도 같으니 2배 해요. $$A=2\int_0^{\sqrt{3/2}}\left(\sqrt{4-x^2}-\sqrt{1+x^2}\right)dx$$

원시함수로 계산해요. 다음 공식을 써요(계산기나 적분표를 써도 돼요). $$\int\sqrt{4-x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2\sin^{-1}\frac{x}{2},\qquad \int\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{1+x^2}+\frac12\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$$ $x=\sqrt{3/2}$ 를 넣으면 앞의 항 $\frac{x}{2}\sqrt{\cdot}$ 는 둘 다 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ 로 같아서 서로 지워지고, 위쪽 조각은 약 $0.802$ 가 나와요. 2배 하면 $A\approx1.605$ 예요.