넓이(여러 가지 함수) 연습문제

1.OpenStax 1권 · 6.1절 · 27번우리말 풀이

다음 문제에서 방정식의 그래프를 그리고 두 곡선 사이 영역에 색칠하세요. $x$ 축 또는 $y$ 축 중 편한 쪽으로 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y=xe^x$ , $y=e^x$ , $x=0$ , $x=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the x-axis or y-axis, whichever seems more convenient.

$y=x{e}^{x},y={e}^{x},x=0,\,\text{and}\,x=1$

풀이 보기

구간 $[0,1]$ 에서 어느 곡선이 위인지 확인하고, $xe^x$ 는 부분적분으로 적분해요.

1
$e^x>0$ 이므로 $xe^x\le e^x$ 인지는 $x\le1$ 인지로 정해져요. $0\le x\le1$ 에서 $x\le1$ 이므로 $y=e^x$ 가 위, $y=xe^x$ 가 아래예요. 그림에서도 $x=1$ 에서 두 곡선이 만나요.
2
넓이는 $\int_0^1(e^x-xe^x)\,dx$ 예요. 먼저 $\int_0^1e^xdx=e-1$ 이에요.
3
$\int_0^1xe^x\,dx$ 는 부분적분으로 구해요. $u=x$ , $v'=e^x$ 로 놓으면 $\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x$ 이므로 $\left[xe^x-e^x\right]_0^1=(e-e)-(0-1)=1$ 이에요.
4
따라서 넓이는 $(e-1)-1=e-2$ 예요.

답

$e-2$

자주 하는 실수

$x=1$ 에서 두 곡선이 만난다는 것을 놓치고 위아래를 바꿔서 음수 넓이가 나오는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is has two graphs. They are the equations y=xe^x and y=e^x. The graphs intersect, forming a region in between them in the first quadrant.

$e-2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 41번

# 넓이(여러 가지 함수)계산보통

2.OpenStax 1권 · 6.1절 · 41번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 식으로 둘러싸인 영역의 넓이를 정확히 구하세요. 교점을 직접 구할 수 없으면 계산기로 교점을 소수 셋째 자리까지 어림하여 근사한 넓이를 구하세요.

[계산기 사용] $x=\sqrt{4-y^{2}}$ 그리고 $y^{2}=1+x^{2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the exact area of the region bounded by the given equations if possible. If you are unable to determine the intersection points analytically, use a calculator to approximate the intersection points with three decimal places and determine the approximate area of the region.

[T] $x=\sqrt{4-{y}^{2}}\,\text{and}\,{y}^{2}=1+{x}^{2}$

답 쓰고 채점

풀이 보기

두 곡선의 교점으로 적분 구간을 정하고, 구간마다 (위쪽 곡선 − 아래쪽 곡선)을 적분해요.

1
먼저 교점부터 구해요. 적분 구간은 두 곡선이 만나는 곳에서 정해지기 때문이에요. $x=\sqrt{4-y^2}$ 는 $x^2+y^2=4$ (반지름 2인 원)의 오른쪽 반이에요. 여기서 $x^2=4-y^2$ 를 $y^2=1+x^2$ 에 대입하면 $y^2=1+(4-y^2)\;\Rightarrow\;2y^2=5\;\Rightarrow\;y^2=\tfrac52,\quad x^2=\tfrac32$ 교점은 $\left(\sqrt{\tfrac32},\,\pm\sqrt{\tfrac52}\right)\approx(1.225,\ \pm1.581)$ 이에요.
2
영역의 모양을 생각해요. $y^2=1+x^2$ 은 위쪽 가지 $y=\sqrt{1+x^2}$ 와 아래쪽 가지 $y=-\sqrt{1+x^2}$ 로 이루어져요. $x=0$ 에서 위쪽 가지는 $y=1$ , 원은 $y=2$ 이므로 $0\le x\le\sqrt{3/2}$ 에서 원이 위, 쌍곡선이 아래예요. 원과 쌍곡선이 모두 $x$ 축에 대칭이라서 위쪽 조각과 아래쪽 조각의 넓이가 같아요.
3
적분식을 세워요. 위쪽 조각의 넓이는 (위 − 아래)의 정적분이고, 아래쪽 조각도 같으니 2배 해요. $A=2\int_0^{\sqrt{3/2}}\left(\sqrt{4-x^2}-\sqrt{1+x^2}\right)dx$
4
원시함수로 계산해요. 다음 공식을 써요(계산기나 적분표를 써도 돼요). $\int\sqrt{4-x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+2\sin^{-1}\frac{x}{2},\qquad \int\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{1+x^2}+\frac12\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ $x=\sqrt{3/2}$ 를 넣으면 앞의 항 $\frac{x}{2}\sqrt{\cdot}$ 는 둘 다 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ 로 같아서 서로 지워지고, 위쪽 조각은 약 $0.802$ 가 나와요. 2배 하면 $A\approx1.605$ 예요.

답

$A\approx 1.605$

자주 하는 실수

위쪽 조각만 구하고 대칭인 아래쪽 조각을 빠뜨려 절반만 답하는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

$1.605$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6장 복습 · 21번

# 넓이(여러 가지 함수)계산도전

3.OpenStax 1권 · 6.1절 · 53번우리말 번역

다음 연습문제에서, $x$ 에 대해 적분한 다음 $y$ 에 대해 적분하여 두 곡선 사이의 넓이를 구하세요. 한 방법이 다른 방법보다 더 쉬운가요? 같은 답을 얻나요?

$y={x}^{2}+2x+1\,\text{그리고}\,y=-{x}^{2}-3x+4$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the area between the curves by integrating with respect to $x$ and then with respect to $y.$ Is one method easier than the other? Do you obtain the same answer?

$y={x}^{2}+2x+1\,\text{and}\,y=-{x}^{2}-3x+4$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{343}{24}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{343}{24}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 25번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류

4.OpenStax 1권 · 6.1절 · 54번우리말 번역

다음 연습문제에서, $x$ 에 대해 적분한 다음 $y$ 에 대해 적분하여 두 곡선 사이의 넓이를 구하세요. 한 방법이 다른 방법보다 더 쉬운가요? 같은 답을 얻나요?

$y={x}^{4}\text{그리고}\,x={y}^{5}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the area between the curves by integrating with respect to $x$ and then with respect to $y.$ Is one method easier than the other? Do you obtain the same answer?

$y={x}^{4}\text{and}\,x={y}^{5}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 25번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류

5.OpenStax 1권 · 6장 복습 · 2번우리말 번역

힘이 상수이면, 물체를 $x=a$ 에서 $x=b$ 까지 옮기는 데 필요한 일의 양은 $F(b-a)$ 이다.

영어 원문 보기

If the force is constant, the amount of work to move an object from $x=a$ to $x=b$ is $F(b-a).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6장 복습 · 1번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류

6.OpenStax 1권 · 6장 복습 · 5번우리말 번역

밑면이 타원 ${x}^{2}/4+{y}^{2}/9=1$ 이고 $y\text{축}$ 에 수직인 단면이 정삼각형인 입체의 부피. 얇게 썰기(슬라이싱) 방법을 이용하세요.

영어 원문 보기

The volume that has a base of the ellipse ${x}^{2}/4+{y}^{2}/9=1$ and cross-sections of an equilateral triangle perpendicular to the $y\text{-axis}.$ Use the method of slicing.

정답·풀이 보기

$16\sqrt{3} {\mathrm{units}}^{3}$

원본 교재 풀이(영어)

$16\sqrt{3} {\mathrm{units}}^{3}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6장 복습 · 7번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류

7.OpenStax 1권 · 6장 복습 · 6번우리말 번역

곡선 $y = {x}^{2} - x$ 와 x축으로 유계인 영역을 $x=1\,\text{에서}\,x=4$ 까지 와셔법을 사용하여 y축을 중심으로 회전시킨 회전체

영어 원문 보기

The region bounded by the curve $y = {x}^{2} - x$ and the x-axis from $x=1\,\text{to}\,x=4,$ rotated around the y-axis using the washer method

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6장 복습 · 5번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류

8.OpenStax 1권 · 6장 복습 · 7번우리말 번역

$x={y}^{2}$ 과 $x=3y$ 를 와셔법을 사용하여 y축을 중심으로 회전시킨 회전체

영어 원문 보기

$x={y}^{2}$ and $x=3y$ rotated around the y-axis using the washer method

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\frac{162\pi }{5}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{162\pi }{5}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6장 복습 · 9번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류

9.OpenStax 1권 · 6장 복습 · 15번우리말 번역

원점을 중심으로 하고 반지름이 $4$ 인 원판 위에서 $\rho =\frac{1}{{x}^{2}+1}$ 일 때의 질량을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the mass of $\rho =\frac{1}{{x}^{2}+1}$ on a disk centered at the origin with radius $4.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\pi \ln 17$

원본 교재 풀이(영어)

$\pi \ln 17$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6장 복습 · 17번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류

10.OpenStax 1권 · 6장 복습 · 17번우리말 번역

$y={x}^{5}$ 와 $y=\sqrt{x}$ 로 둘러싸인 영역에서 $\rho =1$ 일 때의 질량과 질량중심을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the mass and the center of mass of $\rho =1$ on the region bounded by $y={x}^{5}$ and $y=\sqrt{x}.$

정답·풀이 보기

질량: $\frac{1}{2}$ , 질량중심: $\left(\frac{18}{35},\frac{9}{22}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

Mass: $\frac{1}{2},$ center of mass: $\left(\frac{18}{35},\frac{9}{22}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6장 복습 · 19번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류

11.OpenStax 1권 · 6장 복습 · 18번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 곡선의 길이를 구하세요.

$y=\cosh (x)$ 에서 $x=0\,\text{부터}\,x=2$ 까지 $x$ 의 길이.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the requested arc lengths.

The length of $x$ for $y=\cosh (x)$ from $x=0\,\text{to}\,x=2.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.1절 · 4번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류

12.OpenStax 1권 · 6장 복습 · 19번우리말 번역

다음 문제에서 요구하는 곡선의 길이를 구하세요.

$y=0$ 에서 $y=4$ 까지 $x=3-\sqrt{y}$ 에 대한 $y$ 의 길이

영어 원문 보기

For the following exercises, find the requested arc lengths.

The length of $y$ for $x=3-\sqrt{y}$ from $y=0$ to $y=4$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\sqrt{17}+\frac{1}{8}\ln \left(33+8\sqrt{17}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\sqrt{17}+\frac{1}{8}\ln \left(33+8\sqrt{17}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.1절 · 32번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류

13.OpenStax 1권 · 6장 복습 · 20번우리말 번역

$y=4+x,$ $y=3-x,$ $x=0$ , 그리고 $x=2$ 사이의 영역을 y축을 중심으로 회전시켜 만든 도형.

영어 원문 보기

The shape created by revolving the region between $y=4+x,$ $y=3-x,$ $x=0,$ and $x=2$ rotated around the y-axis.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 25번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류

14.OpenStax 1권 · 6장 복습 · 21번우리말 번역

$x=1$ 에서 $x=4$ 까지 $y=1/x$ 을 x축을 중심으로 회전시켜 만든 확성기.

영어 원문 보기

The loudspeaker created by revolving $y=1/x$ from $x=1$ to $x=4$ around the x-axis.

정답·풀이 보기

부피: $\frac{3\pi }{4}$ , 겉넓이: $\pi \left(\sqrt{2}-{\sinh }^{-1}(1)+{\sinh }^{-1}(16)-\frac{\sqrt{257}}{16}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

Volume: $\frac{3\pi }{4},$ surface area: $\pi \left(\sqrt{2}-{\sinh }^{-1}(1)+{\sinh }^{-1}(16)-\frac{\sqrt{257}}{16}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6장 복습 · 23번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류

15.APEX · 7.1절 · 13번우리말 번역

연습문제 13–20에서, 함수 $f$ 와 $g$ 로 둘러싸인 전체 넓이를 구하세요.

$f(x) = 2x^2+5x-3$ , $g(x) = x^2+4x-1$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the total area enclosed by the functions $f$ and $g$ .

$f(x) = 2x^2+5x-3$ , $g(x) = x^2+4x-1$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$4.5$

원본 교재 풀이(영어)

$4.5$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.5절 · 4번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류

16.APEX · 7.1절 · 14번우리말 번역

연습문제 13–20에서, 함수 $f$ 와 $g$ 로 둘러싸인 전체 넓이를 구하세요.

$f(x) = x^2-3x+2$ , $g(x) = -3x+3$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the total area enclosed by the functions $f$ and $g$ .

$f(x) = x^2-3x+2$ , $g(x) = -3x+3$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$4/3$

원본 교재 풀이(영어)

$4/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6장 복습 · 17번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류

17.APEX · 7.1절 · 15번우리말 번역

연습문제 13–20에서, 함수 $f$ 와 $g$ 로 둘러싸인 전체 넓이를 구하세요.

$f(x) = \sin x$ , $g(x) = 2x/\pi$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the total area enclosed by the functions $f$ and $g$ .

$f(x) = \sin x$ , $g(x) = 2x/\pi$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$2-\pi/2$

원본 교재 풀이(영어)

$2-\pi/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 41번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류

18.APEX · 7.1절 · 16번우리말 번역

연습문제 13–20에서, 함수 $f$ 와 $g$ 로 둘러싸인 전체 넓이를 구하세요.

$f(x) = x^3-4x^2+x-1$ , $g(x) = -x^2+2x-4$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the total area enclosed by the functions $f$ and $g$ .

$f(x) = x^3-4x^2+x-1$ , $g(x) = -x^2+2x-4$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$8$

원본 교재 풀이(영어)

$8$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 19번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류

19.APEX · 7.1절 · 17번우리말 번역

연습문제 13–20에서, 함수 $f$ 와 $g$ 로 둘러싸인 전체 넓이를 구하세요.

$f(x) = x$ , $g(x) = \sqrt{x}$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the total area enclosed by the functions $f$ and $g$ .

$f(x) = x$ , $g(x) = \sqrt{x}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$1/6$

원본 교재 풀이(영어)

$1/6$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 11번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류

20.APEX · 7.1절 · 18번우리말 번역

연습문제 13–20에서, 함수 $f$ 와 $g$ 로 둘러싸인 전체 넓이를 구하세요.

$f(x) = -x^3+5x^2+2x+1$ , $g(x) = 3x^2+x+3$

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, find the total area enclosed by the functions $f$ and $g$ .

$f(x) = -x^3+5x^2+2x+1$ , $g(x) = 3x^2+x+3$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$37/12$

원본 교재 풀이(영어)

$37/12$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6장 복습 · 13번

# 넓이(여러 가지 함수)계산자동 분류