넓이(여러 가지 함수) 연습문제

1.CLP-2 · 1.5절 · 3번우리말 번역

$x\ge 0$ 에서 곡선 $y=x^3-x$ 와 $y=x$ 로 둘러싸인 유한한 넓이를 나타내는 정적분을 쓰세요. 정적분의 값을 직접 구하지는 마세요.

영어 원문 보기

Write down a definite integral that represents the finite area bounded by the curves $y=x^3-x$ and $y=x$ for $x\ge 0$ . Do not evaluate the integral explicitly.

정답·풀이 보기

두 곡선은 $y=x$ 이고 $y=x^3-x$ 인 점에서 만난다. 이 점들을 구하기 위해 다음과 같이 놓는다.

$\begin{aligned} x&=x^3-x\\ 0&=x^3-2x\\ 0&=x(x^2-2)\\ 0&= x \quad\text{또는}\quad 0=x^2-2 \end{aligned}$

$x\ge 0$ 에서 두 곡선은 $(0,0)$ 과 $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ 에서 만난다.

유용한 관찰로, 두 곡선이 모두 연속이고 $x=0$ 과 $x=\sqrt{2}$ 사이에서 서로 만나지 않으므로, 넓이를 두 영역으로 나누는 것을 걱정할 필요가 없다. 한 함수가 항상 위에 있고, 다른 함수가 항상 아래에 있기 때문이다.

수직 띠를 사용하면:

주어진 영역의 위쪽 경계와 아래쪽 경계는 각각 $y=T(x)=x$ 와 $y=B(x)=x^3-x$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} {\rm Area} = \int_0^{\sqrt{2}}\big[T(x)-B(x)\big]\ \mathrm{d}x = \int_0^{\sqrt{2}}\big[x-(x^3-x)\big]\ \mathrm{d}x = \int_0^{\sqrt{2}} 2x-x^3 \ \mathrm{d}x \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The curves intersect when $y=x$ and $y=x^3-x$ . To find these points, we set:

$\begin{aligned} x&=x^3-x\\ 0&=x^3-2x\\ 0&=x(x^2-2)\\ 0&= x \quad\text{or}\quad 0=x^2-2 \end{aligned}$

For $x\ge 0$ , the curves intersect at $(0,0)$ and $(\sqrt{2},\sqrt{2})$ .

A handy observation is that, since both curves are continuous and they do not meet each other between $x=0$ and $x=\sqrt{2}$ , we don't have to worry about dividing our area into two regions: one of the functions is always on the top, and the other is always on the bottom.

Using vertical strips:

The top and bottom boundaries of the specified region are $y=T(x)=x$ and $y=B(x)=x^3-x$ , respectively. So,

$\begin{aligned} {\rm Area} = \int_0^{\sqrt{2}}\big[T(x)-B(x)\big]\ \mathrm{d}x = \int_0^{\sqrt{2}}\big[x-(x^3-x)\big]\ \mathrm{d}x = \int_0^{\sqrt{2}} 2x-x^3 \ \mathrm{d}x \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 3번

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