문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

넓이(여러 가지 함수)

지수·로그·삼각함수 등이 만드는 곡선 사이의 넓이를 구한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 6.1절 · 27번우리말 풀이

다음 문제에서 방정식의 그래프를 그리고 두 곡선 사이 영역에 색칠하세요. $x$ 축 또는 $y$ 축 중 편한 쪽으로 적분하여 그 넓이를 구하세요.

$y=xe^x$ , $y=e^x$ , $x=0$ , $x=1$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the equations and shade the area of the region between the curves. Determine its area by integrating over the x-axis or y-axis, whichever seems more convenient.

$y=x{e}^{x},y={e}^{x},x=0,\,\text{and}\,x=1$

풀이 보기

구간 $[0,1]$ 에서 어느 곡선이 위인지 확인하고, $xe^x$ 는 부분적분으로 적분해요.

1
$e^x>0$ 이므로 $xe^x\le e^x$ 인지는 $x\le1$ 인지로 정해져요. $0\le x\le1$ 에서 $x\le1$ 이므로 $y=e^x$ 가 위, $y=xe^x$ 가 아래예요. 그림에서도 $x=1$ 에서 두 곡선이 만나요.
2
넓이는 $\int_0^1(e^x-xe^x)\,dx$ 예요. 먼저 $\int_0^1e^xdx=e-1$ 이에요.
3
$\int_0^1xe^x\,dx$ 는 부분적분으로 구해요. $u=x$ , $v'=e^x$ 로 놓으면 $\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x$ 이므로 $\left[xe^x-e^x\right]_0^1=(e-e)-(0-1)=1$ 이에요.
4
따라서 넓이는 $(e-1)-1=e-2$ 예요.

답

$e-2$

자주 하는 실수

$x=1$ 에서 두 곡선이 만난다는 것을 놓치고 위아래를 바꿔서 음수 넓이가 나오는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is has two graphs. They are the equations y=xe^x and y=e^x. The graphs intersect, forming a region in between them in the first quadrant.

$e-2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.1절 · 41번

# 넓이(여러 가지 함수)계산보통

2.CLP-2 · 1.5절 · 12번우리말 번역

$y$ 축의 왼쪽이고 곡선 $x=y^2+y$ 의 오른쪽에 있는 영역의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area to the left of the $y$ –axis and to the right of the curve $x=y^2+y$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 곡선 $x=y^2+y=y(y+1)$ 의 모양을 알아보자.

곡선은 $y=0$ 일 때와 $y=-1$ 일 때 $y$ 축과 만난다.
곡선의 $x$ 값은 $-1<y<0$ 일 때 음수이고, 그 밖에서는 양수이다.

이로부터 아래 그림을 얻는다. 우리는 $y=-1$ 에서 $y=0$ 까지의 넓이를 구한다. 이 구간에서 $y^2+y$ 가 음수이므로 (가로) 띠의 길이는 $0-(y^2+y)$ 이다.

$\begin{aligned} \text{Area}=\int_{-1}^0\big(0-(y^2+y)\big)\,\mathrm{d}y = -\bigg[\frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2}\bigg]_{-1}^0 =-\frac13+\frac12 =\frac{1}{6}\quad \smash{ ![그림](clp/clp2-quiz2M1prob2.png) } \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

First, let's figure out what our curve $x=y^2+y=y(y+1)$ looks like.

The curve intercepts the $y$ -axis when $y=0$ and $y=-1$ .
The $x$ -values of the curve are negative when $-1<y<0$ , and positive elsewhere.

This leads to the figure below. We're evaluating the area from $y=-1$ to $y=0$ . Since $y^2+y$ is negative there, the length of our (horizontal) slices are $0-(y^2+y)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.5절 · 4번

# 넓이(여러 가지 함수)계산보통자동 분류