정적분과 급수(구분구적법) 연습문제

1.OpenStax 1권 · 5.1절 · 59번우리말 풀이

단위원이 그림의 안쪽 부채꼴과 같은 꼴 $n$ 개로 이루어져 있어요. 안쪽 삼각형의 밑변은 $1$ 이고 높이는 $\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 예요. 바깥쪽 삼각형의 밑변은 $B=\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$ 이고 높이는 $H=B\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ 예요. 이 정보를 이용해 단위원의 넓이가 $\pi$ 임을 논증하세요.

$중심각 \theta=\frac{2\pi}{n}인 부채꼴. 두 반지름의 끝을 잇는 선, 원에 접하는 평행선, 바깥쪽 삼각형 등이 그려져 있다.$

영어 원문 보기

A unit circle is made up of n wedges equivalent to the inner wedge in the figure. The base of the inner triangle is 1 unit and its height is $\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right).$ The base of the outer triangle is $B=\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)$ and the height is $H=B\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right).$ Use this information to argue that the area of a unit circle is equal to π.

풀이 보기

원 안쪽 삼각형 $n$ 개의 넓이와 바깥쪽 삼각형 $n$ 개의 넓이로 원의 넓이를 위아래에서 끼우고, $n\to\infty$ 로 보내요.

1
단위원의 넓이를 $A$ 라 해요. 원을 중심각 $\frac{2\pi}{n}$ 인 $n$ 개의 부채꼴로 나누면, 각 부채꼴 안에 들어가는 삼각형(밑변 $1$ , 높이 $\sin\frac{2\pi}{n}$ )이 있어요. 그 넓이는 $\frac12\sin\frac{2\pi}{n}$ 이고 $n$ 개를 모으면 원 안에 들어가므로 $\frac n2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\le A$
2
반대로 각 부채꼴을 완전히 덮는 바깥쪽 삼각형의 넓이는 $\frac12BH=\frac12B^2\sin\frac{2\pi}{n}$ 이에요. $n$ 개를 모으면 원을 덮으므로 $A\le\frac n2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)B^2$
3
왼쪽 값의 극한을 구해요. $\frac n2\sin\frac{2\pi}{n}=\pi\cdot\frac{\sin(2\pi/n)}{2\pi/n}$ 이고, $n\to\infty$ 이면 $\frac{2\pi}{n}\to0$ 이므로 $\frac{\sin x}{x}\to1$ 덕분에 $\pi$ 에 가까워져요. 그래서 $\pi\le A$ 예요.
4
오른쪽 값의 극한을 구해요. $n\to\infty$ 이면 $\frac{\pi}{n}\to0$ 이므로 $B=\cos\frac{\pi}{n}+\sin\frac{\pi}{n}\tan\frac{\pi}{n}\to1+0\cdot0=1$ 이에요. 따라서 $\frac n2\sin\frac{2\pi}{n}B^2\to\pi\cdot1=\pi$ 이고 $A\le\pi$ 예요.
5
$\pi\le A\le\pi$ 이므로 조임 정리에 의해 $A=\pi$ 예요. 즉 단위원의 넓이는 $\pi$ 예요.

답

단위원의 넓이 $A$ 에 대해 $\pi\le A\le\pi$ 이므로 $A=\pi$

자주 하는 실수

안쪽 삼각형만 쓰고 바깥쪽을 빼먹으면 $A\ge\pi$ 만 나와요. 위아래 두 부등식이 모두 필요해요.

원본 교재 풀이(영어)

Let A be the area of the unit circle. The circle encloses n congruent triangles each of area $\frac{\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)}{2},$ so $\frac{n}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)\le A.$ Similarly, the circle is contained inside n congruent triangles each of area $\frac{BH}{2}=\frac{1}{2}{\left( \cos \left( \frac{\pi }{n} \right)+\sin \left( \frac{\pi }{n} \right)\tan \left( \frac{\pi }{n} \right) \right)}^{2}\sin \left( \frac{2\pi }{n} \right),$ so $A\le \frac{n}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)(\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\tan {\left(\frac{\pi }{n}\right))}^{2}.$ As $n\to \infty ,\frac{n}{2}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)=\frac{\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)}{\left(\frac{2}{n}\right)}A\to \pi ,$ so we conclude $\pi \le A.$ Also, as $n\to \infty ,\cos \left(\frac{\pi }{n}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{n}\right)\tan \left(\frac{\pi }{n}\right)\to 1,$ so we also have $A\le \pi .$ By the squeeze theorem for limits, we conclude that $A=\pi .$

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