입체도형의 부피 연습문제

1.CLP-2 · 1.6절 · 2번우리말 번역

두 도예가가 높이가 $h$ 단위인 점토 덩어리와 똑같은 정사각형 쿠키 커터를 가지고 시작한다. 이들은 정사각형 쿠키 커터를 점토 위에서 곧바로 눌러 내려, 단면이 쿠키 커터와 같은 정사각형인 기둥을 만든다. 도예가 A는 점토 덩어리가 탁자 위에 가만히 놓여 있는 상태에서 쿠키 커터를 눌러 내리고, 도예가 B는 점토 덩어리가 물레 위에서 회전하는 상태에서 쿠키 커터를 눌러 내리므로 기둥이 비틀려 보인다. 어느 기둥의 부피가 더 큰가?

영어 원문 보기

Two potters start with a block of clay $h$ units tall, and identical square cookie cutters. They form columns by pushing the square cookie cutter straight down over the clay, so that its cross-section is the same square as the cookie cutter. Potter A pushes their cookie cutter down while their clay block is sitting motionless on a table; Potter B pushes their cookie cutter down while their clay block is rotating on a potter's wheel, so their column looks twisted. Which column has greater volume?

정답·풀이 보기

두 기둥의 부피는 같다. 기둥을 수평 단면으로 잘게 나누어 보면 알 수 있다. 각 단면의 넓이는 쿠키 커터의 넓이 $A$ 와 같고 높이는 $\mathrm{d}y$ 이다. 그러면 두 경우 모두 기둥의 부피는 $\int_{0}^h A~\mathrm{d}y = hA \text{ 세제곱단위}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The columns have the same volume. We can see this by chopping up the columns into horizontal cross-sections. Each cross-section has the same area as the cookie cutter, $A$ , and height $\mathrm{d}y$ . Then in both cases, the volume of the column is $\int_{0}^h A~\mathrm{d}y = hA \text{ cubic units}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 3번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석기본자동 분류

2.CLP-2 · 1.6절 · 3번우리말 번역

$R$ 를 아래 그림에 나타낸 $y=f(x)$ 의 그래프로 위쪽이 막히고 $x$ 축으로 아래쪽이 막힌, $x=0$ 에서 $x=6$ 까지의 영역이라고 하자. $R$ 를 $y$ 축을 중심으로 회전시켜 만들어지는 와셔(워셔 모양의 속이 빈 원판)들을 그리세요. 스케치에 모든 반지름을 $y$ 에 대한 식으로 표시하고, 두께도 표시하세요.

영어 원문 보기

Let $R$ be the region bounded above by the graph of $y=f(x)$ shown below and bounded below by the $x$ -axis, from $x=0$ to $x=6$ . Sketch the washers that are formed by rotating $R$ about the $y$ -axis. In your sketch, label all the radii in terms of $y$ , and label the thickness.

정답·풀이 보기

$f(x)$ 는 구간별로 정의된 일차함수이므로 그래프에서 각 구간의 식을 구할 수 있다. 반지름은 $x$ 의 값으로 정해지므로, 아래에서는 $x$ 의 값을 $y$ 에 대한 함수로 나타낸다.

그림의 영역을 $y$ 축을 중심으로 회전시킨다고 생각하면 두 종류의 와셔가 만들어진다. $y<1$ 일 때는 중심이 같은 두 개의 고리, 즉 "이중 와셔"가 생기고, $y>1$ 일 때는 고리가 하나 생긴다.

$\mathbf{1<y \le 6}$ 일 때의 와셔: $y>1$ 이면 와셔의 안쪽 반지름은 $2+\frac{2}{3}y$ , 바깥쪽 반지름은 $6-\frac{2}{3}y$ , 높이는 $\mathrm{d}y$ 이다.

$\mathbf{0\le y <1}$ 일 때의 와셔: $0 \le y < 1$ 이면 함수의 두 "봉우리"에 대응하는, 중심이 같은 두 개의 고리, 즉 "이중 와셔"가 생긴다. 안쪽 와셔의 안쪽 반지름은 $r_1=y$ , 바깥쪽 반지름은 $R_1=2-y$ 이다. 바깥쪽 와셔의 안쪽 반지름은 $r_2=2+\frac{2}{3}y$ , 바깥쪽 반지름은 $R_2=6-\frac{2}{3}y$ 이다. 와셔의 두께는 $\mathrm{d}y$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Notice $f(x)$ is a piecewise linear function, so we can find explicit equations for each of its pieces from the graph. The radii will be determined by the $x$ -values, so below we give the $x$ -values as functions of $y$ .

If we imagine rotating the region from the picture about the $y$ -axis, there will be two kinds of washers formed: when $y<1$ , we have a “double washer," two concentric rings. When $y>1$ , we have a single ring.

Washers when $\mathbf{1<y \le 6}$ : If $y>1$ , then our washer has inner radius $2+\frac{2}{3}y$ , outer radius $6-\frac{2}{3}y$ , and height $\mathrm{d}y$ .

Washers when $\mathbf{0\le y <1}$ : When $0 \le y < 1$ , we have a “double washer," two concentric rings corresponding to the two “humps" in the function. The inner washer has inner radius $r_1=y$ and outer radius $R_1=2-y$ . The outer washer has inner radius $r_2=2+\frac{2}{3}y$ and outer radius $R_2=6-\frac{2}{3}y$ . The thickness of the washers is $\mathrm{d}y$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 13번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석기본자동 분류