문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

입체도형의 부피

단면의 넓이를 적분해 부피를 구한다(원판·와셔로 회전체의 부피 포함)

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

25문제 · 1 / 2쪽

1.OpenStax 1권 · 6.2절 · 6번우리말 번역

높이가 6 단위이고 밑면이 한 변의 길이가 2 단위인 정사각형인 사각뿔이다(그림 참조).

이 그림은 밑면의 너비가 2 단위이고 높이가 6 단위인 사각뿔이다.

영어 원문 보기

A pyramid with height 6 units and square base of side 2 units, as pictured here.

This figure is a pyramid with base width of 2 and height of 6 units.

정답·풀이 보기

8 단위³

원본 교재 풀이(영어)

8 units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 9번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

2.OpenStax 1권 · 6.2절 · 7번우리말 번역

높이가 4 단위이고 밑면이 가로 2 단위, 세로 3 단위인 직사각형인 사각뿔이다(그림 참조).

이 그림은 밑면의 너비가 2, 길이가 3이고 높이가 4 단위인 사각뿔이다.

영어 원문 보기

A pyramid with height 4 units and a rectangular base with length 2 units and width 3 units, as pictured here.

This figure is a pyramid with base width of 2, length of 3, and height of 4 units.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 14번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

3.OpenStax 1권 · 6.2절 · 8번우리말 번역

아래 그림과 같이 밑면의 한 변의 길이가 4 단위인 사면체가 있다.

이 그림은 한 변의 길이가 4 단위인 정삼각형이다.

영어 원문 보기

A tetrahedron with a base side of 4 units, as seen here.

This figure is an equilateral triangle with side length of 4 units.

정답·풀이 보기

$\frac{32}{3\sqrt{2}}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{32}{3\sqrt{2}}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 6.2절 · 7번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

4.OpenStax 1권 · 6.2절 · 9번우리말 번역

높이가 5 단위이고 밑면이 길이가 6 단위, 8 단위인 이등변삼각형인 삼각뿔이다(그림 참조).

이 그림은 밑면이 삼각형인 삼각뿔이다. 밑면을 위에서 본 모습이다. 삼각형의 세 변의 길이는 6 단위, 8 단위, 8 단위이다. 삼각뿔의 높이는 5 단위이다.

영어 원문 보기

A pyramid with height 5 units, and an isosceles triangular base with lengths of 6 units and 8 units, as seen here.

This figure is a pyramid with a triangular base. The view is of the base. The sides of the triangle measure 6 units, 8 units, and 8 units. The height of the pyramid is 5 units.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 18번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

5.OpenStax 1권 · 6.2절 · 10번우리말 번역

반지름이 $r$ 이고 높이가 $h$ 인 원뿔에서 그림과 같이 꼭대기 부분의 반지름이 $r/2$ 이고 높이가 $h/2$ 인 작은 원뿔을 잘라 냈습니다. 이렇게 만들어진 입체를 원뿔대라고 합니다.

이 그림은 거꾸로 세워진 원뿔을 3차원으로 나타낸 그래프이다. 원뿔은 3차원 좌표공간을 나타내는 직육면체 안에 들어 있다. 원뿔 아래쪽 면의 반지름은 “r”로, 원뿔 위쪽 면의 반지름은 “r/2”로 표시되어 있다.

영어 원문 보기

A cone of radius $r$ and height $h$ has a smaller cone of radius $r/2$ and height $h/2$ removed from the top, as seen here. The resulting solid is called a frustum.

This figure is a 3-dimensional graph of an upside down cone. The cone is inside of a rectangular prism that represents the xyz coordinate system. the radius of the bottom of the cone is “r” and the radius of the top of the cone is labeled “r/2”.

정답·풀이 보기

$\frac{7}{24}\pi {r}^{2}h$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{7}{24}\pi {r}^{2}h$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 12번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

6.OpenStax 1권 · 6.2절 · 46번우리말 번역

요거트 용기는 원뿔대 모양일 수 있습니다. 직선 $y=\frac{1}{m}x$ 를 y축을 중심으로 회전시켜 $y=a\,\text{와}\,y=b$ 사이의 부피를 구하세요.

이 그림은 두 부분으로 이루어져 있다. 첫 번째 부분은 속이 찬 원뿔이다. 원뿔의 밑면이 윗면보다 넓다. 원뿔은 3차원 상자 안에 그려져 있다. 원뿔 아래에는 이 그림과 같은 모양의 요거트 용기 사진이 있다.

영어 원문 보기

Yogurt containers can be shaped like frustums. Rotate the line $y=\frac{1}{m}x$ around the y-axis to find the volume between $y=a\,\text{and}\,y=b.$

This figure has two parts. The first part is a solid cone. The base of the cone is wider than the top. It is shown in a 3-dimensional box. Underneath the cone is an image of a yogurt container with the same shape as the figure.

정답·풀이 보기

$\frac{{m}^{2}\pi }{3}({b}^{3}-{a}^{3})$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{{m}^{2}\pi }{3}({b}^{3}-{a}^{3})$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 26번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

7.OpenStax 1권 · 6.2절 · 47번우리말 번역

타원 $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1$ 을 x축을 중심으로 회전시켜, 그림과 같은 미식축구공의 부피를 어림하세요.

이 그림에는 미식축구공 사진과 거의 같은 모양의 타원이 있다.

영어 원문 보기

Rotate the ellipse $({x}^{2}/{a}^{2})+({y}^{2}/{b}^{2})=1$ around the x-axis to approximate the volume of a football, as seen here.

This figure has an oval that is approximately equal to the image of a football.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 46번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

8.OpenStax 1권 · 6.2절 · 49번우리말 번역

$x=0$ 에서 $x=\pi$ 까지 $y=\sin \,x$ 를 x축을 중심으로 회전시켜 얻은 입체는 미식축구공의 부피에 대한 더 나은 근삿값을 줍니다. 그림과 같은 이 미식축구공 근사의 부피는 얼마인가요?

이 그림은 3차원 타원체 모양이다. 이 입체는 상자 안에 있으며, 상자 아래쪽 앞 모서리인 *x*축과 평행하게 놓여 있다. *y*축은 입체에 수직이다.

영어 원문 보기

A better approximation of the volume of a football is given by the solid that comes from rotating $y=\sin \,x$ around the x-axis from $x=0$ to $x=\pi .$ What is the volume of this football approximation, as seen here?

This figure has a 3-dimensional oval shape. It is inside of a box parallel to the x axis on the bottom front edge of the box. The y-axis is vertical to the solid.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 6.2절 · 8번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

9.OpenStax 1권 · 6.2절 · 50번우리말 번역

$x=0$ 에서 $x=\pi$ 까지 $y=\sin \,x$ 를 y축을 중심으로 회전시켜 얻은 번트 케이크의 부피는 얼마인가요?

이 그림은 3차원 입체의 그래프이다. 입체는 둥글고 아래쪽으로 갈수록 더 크다. 가운데에 구멍이 있으며, 이 구멍은 아래쪽으로 갈수록 점점 작아진다. 그래프 옆에는 이 입체와 닮은 번트 케이크 사진이 있다.

영어 원문 보기

What is the volume of the Bundt cake that comes from rotating $y=\sin \,x$ around the y-axis from $x=0$ to $x=\pi ?$

This figure is a graph of a 3-dimensional solid. It is round, bigger towards the bottom. It has a hole in the center that progressively gets smaller towards the bottom. Next to the graph is an image of a bundt cake, resembling the solid.

정답·풀이 보기

$2{\pi }^{2}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$2{\pi }^{2}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 52번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

10.OpenStax 1권 · 6.2절 · 53번우리말 번역

다음 그림과 같이 높이가 $b$ 이고 반지름이 $b$ 인 직원뿔의 밑면을 통과하여, 원뿔의 축을 따라 반지름이 $a$ 인 구멍을 뚫으세요.

이 그림은 거꾸로 세워진 원뿔이다. 윗면의 반지름은 “b”, 중심은 “a”, 높이는 “b”이다.

영어 원문 보기

Bore a hole of radius $a$ down the axis of a right cone of height $b$ and radius $b$ through the base of the cone as seen here.

This figure is an upside down cone. It has a radius of the top as “b”, center at “a”, and height as “b”.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 48번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

11.OpenStax 1권 · 6.2절 · 54번우리말 번역

다음 그림과 같이 반지름이 $r$ 이고 중심 사이의 거리가 $2h$ 인 두 구의 공통 부분의 부피를 구하세요.

이 그림에는 서로 겹치는 두 원이 있다. 두 원의 반지름은 모두 “r”이다. 한 원의 중심에서 다른 원의 중심까지 선분이 그어져 있다. 두 원이 겹치는 부분의 가운데에 점 “h”가 있고, 이 점은 그 선분 위에 있다.

영어 원문 보기

Find the volume common to two spheres of radius $r$ with centers that are $2h$ apart, as shown here.

This figure has two circles that intersect. Both circles have radius “r”. There is a line segment from one center to the other. In the middle of the intersection of the circles is point “h”. It is on the line segment.

정답·풀이 보기

$V=\frac{2\pi }{3}(2r+h){(r-h)}^{2}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$V=\frac{2\pi }{3}(2r+h){(r-h)}^{2}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 42번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

12.OpenStax 1권 · 6.2절 · 55번우리말 번역

다음 그림과 같이 높이가 $h$ 이고 반지름이 $r$ 인 구의 일부(구관)의 부피를 구하세요. 단, $h<r$ 이다.

이 그림은 구의 일부분이다. 이 구관의 반지름은 “r”이고 높이는 “h”이다.

영어 원문 보기

Find the volume of a spherical cap of height $h$ and radius $r$ where $h<r,$ as seen here.

This figure a portion of a sphere. This spherical cap has radius “r” and height “h”.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 34번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

13.OpenStax 1권 · 6.2절 · 56번우리말 번역

다음 그림과 같이 반지름이 $R$ 인 구에서 위쪽의 높이 $h$ 인 부분(구관)을 잘라 낸 입체의 부피를 구하세요.

이 그림은 윗부분이 제거된 구이다. 구의 반지름은 “R”이다. 중심에서 윗부분이 제거된 곳까지의 거리는 “R-h”이다.

영어 원문 보기

Find the volume of a sphere of radius $R$ with a cap of height $h$ removed from the top, as seen here.

This figure is a sphere with a top portion removed. The radius of the sphere is “R”. The distance from the center to where the top portion is removed is “R-h”.

정답·풀이 보기

$\frac{\pi }{3}(h+R){(h-2R)}^{2}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\pi }{3}(h+R){(h-2R)}^{2}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 40번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

14.APEX · 7.2절 · 5번우리말 번역

연습문제 5–8번에서 직교좌표평면의 어떤 영역이 색칠되어 있습니다. 원판/와셔 방법을 사용하여, 이 영역을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만들어지는 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a region of the Cartesian plane is shaded. Use the Disk/Washer Method to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$48\pi\sqrt{3}/5$ 단위 $^3$

원본 교재 풀이(영어)

$48\pi\sqrt{3}/5$ units $^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 40번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

15.APEX · 7.2절 · 6번우리말 번역

연습문제 5~8번에서 좌표평면의 한 영역이 색칠되어 있습니다. 원판/와셔 방법을 이용하여, 이 영역을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만들어지는 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a region of the Cartesian plane is shaded. Use the Disk/Washer Method to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$175\pi/3$ 단위 $^3$

원본 교재 풀이(영어)

$175\pi/3$ units $^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.2절 · 4번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

16.APEX · 7.2절 · 7번우리말 번역

연습문제 5–8에서 좌표평면의 한 영역이 색칠되어 있습니다. 원판/와셔 방법을 이용하여, 이 영역을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만들어지는 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a region of the Cartesian plane is shaded. Use the Disk/Washer Method to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$\pi^2/4$ 단위 $^3$

원본 교재 풀이(영어)

$\pi^2/4$ units $^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 46번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

17.APEX · 7.2절 · 8번우리말 번역

연습문제 5–8에서는 직교좌표평면 위의 어떤 영역이 색칠되어 있습니다. 원판/와셔 방법을 이용하여 이 영역을 $x$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a region of the Cartesian plane is shaded. Use the Disk/Washer Method to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region about the $x$ -axis.

정답·풀이 보기

$\pi/6$ 단위 $^3$

원본 교재 풀이(영어)

$\pi/6$ units $^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 10번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

18.APEX · 7.2절 · 9번우리말 번역

연습문제 9–12에서 직교좌표평면의 한 영역이 색칠되어 있습니다. 원판/와셔 방법을 사용하여 이 영역을 $y$ 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a region of the Cartesian plane is shaded. Use the Disk/Washer Method to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region about the $y$ -axis.

정답·풀이 보기

$9\pi/2$ 단위 $^3$

원본 교재 풀이(영어)

$9\pi/2$ units $^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 6.2절 · 8번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

19.APEX · 7.2절 · 10번우리말 번역

연습문제 9–12번에서 데카르트 평면의 한 영역이 색칠되어 있습니다. 디스크/와셔 방법을 이용하여, 이 영역을 $y$ 축을 중심으로 회전시켜 얻은 회전체의 부피를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a region of the Cartesian plane is shaded. Use the Disk/Washer Method to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region about the $y$ -axis.

정답·풀이 보기

$35\pi/3$ 단위 $^3$

원본 교재 풀이(영어)

$35\pi/3$ units $^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 6번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류

20.APEX · 7.2절 · 11번우리말 번역

(힌트: 부분적분을 두 번 사용해야 합니다. 먼저 $u = \arccos^2x$ 로 놓고, 그다음 $u=\arccos x$ 로 놓으세요.)

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a region of the Cartesian plane is shaded. Use the Disk/Washer Method to find the volume of the solid of revolution formed by revolving the region about the $y$ -axis.

(Hint: Integration By Parts will be necessary, twice. First let $u = \arccos^2x$ , then let $u=\arccos x$ .)

정답·풀이 보기

$\pi^2-2\pi$ 단위 $^3$

원본 교재 풀이(영어)

$\pi^2-2\pi$ units $^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 52번

# 입체도형의 부피그래프·표 해석자동 분류