입체도형의 부피 연습문제

1.OpenStax 1권 · 6.2절 · 30번우리말 풀이

다음 문제에서 곡선으로 둘러싸인 영역을 그린 뒤, 이 영역을 $y$ 축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피를 구하세요.

$x=\sec y$ 와 $y=\frac{\pi}{4}$ , $y=0$ , $x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, find the volume when the region is rotated around the y-axis.

$x=\sec (y)\,\text{and}\,y=\frac{\pi }{4},\,y=0\,\text{and}\,x=0$

풀이 보기

$y$ 축 둘레로 돌리면 높이 $y$ 에서의 단면은 반지름 $\sec y$ 인 원이니, $\pi(\text{반지름})^2$ 를 $y$ 로 적분해요.

1
영역은 제1사분면에서 위는 $y=\frac\pi4$ , 오른쪽은 $x=\sec y$ , 아래는 $x$ 축, 왼쪽은 $y$ 축으로 둘러싸인 부분이에요.
2
$y$ 축을 중심으로 돌리면, 높이 $y$ 에서 자른 단면은 반지름이 $x=\sec y$ 인 원판이에요. 넓이는 $\pi\sec^2 y$ 예요.
3
$y$ 는 $0$ 부터 $\frac\pi4$ 까지이므로 $V=\pi\int_0^{\pi/4}\sec^2y\,dy$ 예요.
4
$\tan y$ 를 미분하면 $\sec^2y$ 이므로 $V=\pi\bigl[\tan y\bigr]_0^{\pi/4}=\pi(1-0)=\pi$ 예요.

답

$\pi$ (부피 단위)

자주 하는 실수

$\pi$ 를 빠뜨리거나, $x$ 에 대한 식으로 잘못 적분하기 쉬워요. 회전축이 $y$ 축이면 $y$ 로 적분해요.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph in the first quadrant. It is a shaded region bounded above by the line y=pi/4, to the right by the curve x=sec(y), below by the x-axis, and to the left by the y-axis.

$\pi$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 48번

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