빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 적분법

입체도형의 부피

단면의 넓이를 적분해 부피를 구한다(원판·와셔로 회전체의 부피 포함)

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

38문제 · 1 / 2쪽

1.OpenStax 1권 · 6.2절 · 30번우리말 풀이

다음 문제에서 곡선으로 둘러싸인 영역을 그린 뒤, 이 영역을 $y$ 축을 중심으로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피를 구하세요.

$x=\sec y$ 와 $y=\frac{\pi}{4}$ , $y=0$ , $x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, find the volume when the region is rotated around the y-axis.

$x=\sec (y)\,\text{and}\,y=\frac{\pi }{4},\,y=0\,\text{and}\,x=0$

풀이 보기

$y$ 축 둘레로 돌리면 높이 $y$ 에서의 단면은 반지름 $\sec y$ 인 원이니, $\pi(\text{반지름})^2$ 를 $y$ 로 적분해요.

1
영역은 제1사분면에서 위는 $y=\frac\pi4$ , 오른쪽은 $x=\sec y$ , 아래는 $x$ 축, 왼쪽은 $y$ 축으로 둘러싸인 부분이에요.
2
$y$ 축을 중심으로 돌리면, 높이 $y$ 에서 자른 단면은 반지름이 $x=\sec y$ 인 원판이에요. 넓이는 $\pi\sec^2 y$ 예요.
3
$y$ 는 $0$ 부터 $\frac\pi4$ 까지이므로 $V=\pi\int_0^{\pi/4}\sec^2y\,dy$ 예요.
4
$\tan y$ 를 미분하면 $\sec^2y$ 이므로 $V=\pi\bigl[\tan y\bigr]_0^{\pi/4}=\pi(1-0)=\pi$ 예요.

답

$\pi$ (부피 단위)

자주 하는 실수

$\pi$ 를 빠뜨리거나, $x$ 에 대한 식으로 잘못 적분하기 쉬워요. 회전축이 $y$ 축이면 $y$ 로 적분해요.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph in the first quadrant. It is a shaded region bounded above by the line y=pi/4, to the right by the curve x=sec(y), below by the x-axis, and to the left by the y-axis.

$\pi$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 48번

# 입체도형의 부피계산보통

2.OpenStax 1권 · 6.2절 · 5번우리말 번역

원판 방법과 와셔 방법을 각각 언제 사용하는지 설명하세요. 둘을 서로 바꿔 쓸 수 있는 경우는 언제인가요?

영어 원문 보기

Explain when you would use the disk method versus the washer method. When are they interchangeable?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 16번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

3.OpenStax 1권 · 6.2절 · 11번우리말 번역

밑면은 반지름이 $a$ 인 원이다. 밑면에 수직인 단면은 정사각형이다.

영어 원문 보기

The base is a circle of radius $a.$ The slices perpendicular to the base are squares.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 5번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

4.OpenStax 1권 · 6.2절 · 12번우리말 번역

밑면은 꼭짓점이 $(0,0),(1,0)$ , 그리고 $(0,1)$ 인 삼각형이다. x축에 수직인 단면은 반원이다.

영어 원문 보기

The base is a triangle with vertices $(0,0),(1,0),$ and $(0,1).$ Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.

정답·풀이 보기

이 그림은 x축과 y축을 보여 주며, x축 위의 점 (1,0)에서 시작하여 y축 위의 점 (0,1)에서 끝나는 선분이 있다. xy평면에 수직으로 색칠된 반원 4개가 있고, 각 반원의 지름은 x축에서 시작하여 이 선분에서 끝나며, 원점에서 멀어질수록 크기가 감소한다.

$\frac{\pi }{24}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure shows the x-axis and the y-axis with a line starting on the x-axis at (1,0) and ending on the y-axis at (0,1). Perpendicular to the xy-plane are 4 shaded semi-circles with their diameters beginning on the x-axis and ending on the line, decreasing in size away from the origin.

$\frac{\pi }{24}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 38번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

5.OpenStax 1권 · 6.2절 · 13번우리말 번역

밑면은 제1사분면에서 포물선 $y=1-{x}^{2}$ 아래에 있는 영역이다. xy평면에 수직이고 y축에 평행한 단면은 정사각형이다.

영어 원문 보기

The base is the region under the parabola $y=1-{x}^{2}$ in the first quadrant. Slices perpendicular to the xy-plane and parallel to the y-axis are squares.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 9번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

6.OpenStax 1권 · 6.2절 · 14번우리말 번역

밑면은 포물선 $y=1-{x}^{2}$ 아래이고 $x\text{축}$ 위에 있는 영역이다. $y\text{축}$ 에 수직인 단면은 정사각형이다.

영어 원문 보기

The base is the region under the parabola $y=1-{x}^{2}$ and above the $x\text{-axis}.$ Slices perpendicular to the $y\text{-axis}$ are squares.

정답·풀이 보기

이 그림은 x축과 y축을 3차원 원근법으로 나타낸 것이다. x축 위의 그래프에는 포물선이 있는데, 이 포물선은 꼭짓점이 y=1에 있고 x절편이 (-1,0)과 (1,0)이다. xy평면에 수직인 정사각형 모양의 색칠된 영역이 3개 있으며, 이 영역들은 포물선의 양쪽에 닿아 있고 원점에서 멀어질수록 크기가 감소한다.

$2$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure shows the x-axis and the y-axis in 3-dimensional perspective. On the graph above the x-axis is a parabola, which has its vertex at y=1 and x-intercepts at (-1,0) and (1,0). There are 3 square shaded regions perpendicular to the x y plane, which touch the parabola on either side, decreasing in size away from the origin.

$2$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 7.2절 · 4번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

7.OpenStax 1권 · 6.2절 · 15번우리말 번역

밑면은 $y={x}^{2}$ 과 $y=9$ 로 둘러싸인 영역이다. x축에 수직인 단면은 직각이등변삼각형이다. 이러한 단면 중 하나와 밑면이 만나는 부분은 삼각형의 직각을 낀 변이다.

영어 원문 보기

The base is the region enclosed by $y={x}^{2}$ and $y=9.$ Slices perpendicular to the x-axis are right isosceles triangles. The intersection of one of these slices and the base is the leg of the triangle.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 3번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

8.OpenStax 1권 · 6.2절 · 16번우리말 번역

밑면은 $y=x$ 와 $y={x}^{2}$ 사이의 영역이다. x축에 수직인 단면은 반원이다.

영어 원문 보기

The base is the area between $y=x$ and $y={x}^{2}.$ Slices perpendicular to the x-axis are semicircles.

정답·풀이 보기

이 그림은 3차원 투시를 나타내기 위해 x축과 y축을 비스듬하게 그린 그래프이다. 그래프의 제1사분면에는 직선 y=x 와 포물선 y=x^2 의 곡선이 있다. 두 곡선은 원점과 (1,1)에서 만난다. 반원 모양으로 색칠된 여러 개의 영역이 xy평면에 수직으로 서 있으며, 이 영역들은 포물선에서 직선까지 이어지고 직선에 수직이다.

$\frac{\pi }{240}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph with the x and y axes diagonal to show 3-dimensional perspective. On the first quadrant of the graph are the curves y=x, a line, and y=x^2, a parabola. They intersect at the origin and at (1,1). Several semicircular-shaped shaded regions are perpendicular to the x y plane, which go from the parabola to the line and perpendicular to the line.

$\frac{\pi }{240}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 10번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

9.OpenStax 1권 · 6.2절 · 17번우리말 번역

다음 연습 문제에서, 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 그런 다음 원판법을 이용하여 이 영역을 x축을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 구하세요.

$x+y=8,x=0,\,\text{및}\,y=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the disk method to find the volume when the region is rotated around the x-axis.

$x+y=8,x=0,\,\text{and}\,y=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 17번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

10.OpenStax 1권 · 6.2절 · 18번우리말 번역

다음 연습 문제에서, 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 그런 다음 원판법을 이용하여 이 영역을 x축을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 구하세요.

$y=2{x}^{2},x=0,x=4,\,\text{및}\,y=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the disk method to find the volume when the region is rotated around the x-axis.

$y=2{x}^{2},x=0,x=4,\,\text{and}\,y=0$

정답·풀이 보기

이 그림은 제1사분면에 그린 그래프이다. 색칠된 영역은 위쪽은 곡선 y=2x^2, 아래쪽은 x축, 오른쪽은 수직선 x=4 로 둘러싸여 있다.

$\frac{4096\pi }{5}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph in the first quadrant. It is a shaded region bounded above by the curve y=2x^2, below by the x-axis, and to the right by the vertical line x=4.

$\frac{4096\pi }{5}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 32번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

11.OpenStax 1권 · 6.2절 · 19번우리말 번역

다음 연습 문제에서, 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 그런 다음 원판법을 이용하여 이 영역을 x축을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 구하세요.

$y={e}^{x}+1,x=0,x=1,\,\text{및}\,y=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the disk method to find the volume when the region is rotated around the x-axis.

$y={e}^{x}+1,x=0,x=1,\,\text{and}\,y=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 20번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

12.OpenStax 1권 · 6.2절 · 20번우리말 번역

다음 연습 문제에서, 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 그런 다음 원판법을 이용하여 이 영역을 x축을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 구하세요.

$y={x}^{4},x=0,\,\text{및}\,y=1\text{단,}\,x\ge 0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the disk method to find the volume when the region is rotated around the x-axis.

$y={x}^{4},x=0,\,\text{and}\,y=1\text{for}\,x\ge 0$

정답·풀이 보기

이 그림은 제1사분면에 그린 그래프이다. 색칠된 영역은 위쪽은 직선 y=1, 아래쪽은 곡선 y=x^4, 왼쪽은 y축으로 둘러싸여 있다.

$\frac{8\pi }{9}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph in the first quadrant. It is a shaded region bounded above by the line y=1, below by the curve y=x^4, and to the left by the y-axis.

$\frac{8\pi }{9}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 22번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

13.OpenStax 1권 · 6.2절 · 21번우리말 번역

다음 문제에서 곡선으로 유계인 영역을 그리세요. 그런 다음, 원판법을 사용하여 이 영역을 x축을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 구하세요.

$y=\sqrt{x},x=0,x=4,\,\text{그리고}\,y=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the disk method to find the volume when the region is rotated around the x-axis.

$y=\sqrt{x},x=0,x=4,\,\text{and}\,y=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 13번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

14.OpenStax 1권 · 6.2절 · 22번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 그런 다음 이 영역을 x축을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 원판법을 이용하여 구하세요.

$y=\sin \,x,y=\cos \,x,\,\text{그리고}\,x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the disk method to find the volume when the region is rotated around the x-axis.

$y=\sin \,x,y=\cos \,x,\,\text{and}\,x=0$

정답·풀이 보기

이 그림은 색칠된 영역을 나타낸다. 이 영역은 위쪽이 곡선 y=cos(x)로, 왼쪽 아래는 y축으로, 오른쪽 아래는 y=sin(x)로 둘러싸여 있다. 색칠된 영역은 제1사분면에 있다.

$\frac{\pi }{2}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a shaded region bounded above by the curve y=cos(x), below to the left by the y-axis and below to the right by y=sin(x). The shaded region is in the first quadrant.

$\frac{\pi }{2}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 8번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

15.OpenStax 1권 · 6.2절 · 23번우리말 번역

다음 문제에서, 곡선으로 유계인 영역을 그리세요. 그런 다음, 원판법을 이용하여 그 영역을 x축을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 구하세요.

$y=\frac{1}{x},x=2,\,\text{그리고}\,y=3$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the disk method to find the volume when the region is rotated around the x-axis.

$y=\frac{1}{x},x=2,\,\text{and}\,y=3$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.6절 · 2번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

16.OpenStax 1권 · 6.2절 · 24번우리말 번역

다음 문제에서 곡선으로 유계인 영역을 그리세요. 그런 다음 원판법을 이용하여 그 영역을 x축을 중심으로 회전시켰을 때의 부피를 구하세요.

${x}^{2}-{y}^{2}=9\,\text{그리고}\,x+y=9,y=0\,\text{그리고}\,x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, use the disk method to find the volume when the region is rotated around the x-axis.

${x}^{2}-{y}^{2}=9\,\text{and}\,x+y=9,y=0\,\text{and}\,x=0$

정답·풀이 보기

이 그림은 제1사분면에 있는 그래프이다. 색칠된 영역은 위로는 직선 x + y=9 로 유계이고, 아래로는 x축, 왼쪽으로는 y축, 그리고 왼쪽으로는 곡선 x^2-y^2=9 로 유계이다.

$207\pi$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph in the first quadrant. It is a shaded region bounded above by the line x + y=9, below by the x-axis, to the left by the y-axis, and to the left by the curve x^2-y^2=9.

$207\pi$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 46번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

17.OpenStax 1권 · 6.2절 · 25번우리말 번역

다음 문제에서 곡선으로 둘러싸인 유계 영역을 그리세요. 그런 다음 그 영역을 y축을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 구하세요.

$y=4-\frac{1}{2}x,x=0,\,\text{그리고}\,y=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, find the volume when the region is rotated around the y-axis.

$y=4-\frac{1}{2}x,x=0,\,\text{and}\,y=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 16번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

18.OpenStax 1권 · 6.2절 · 26번우리말 번역

다음 연습문제에서, 곡선으로 유계인 영역을 그리세요. 그런 다음 그 영역을 y축을 중심으로 회전할 때의 부피를 구하세요.

$y=2{x}^{3},x=0,x=1,\,\text{그리고}\,y=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, find the volume when the region is rotated around the y-axis.

$y=2{x}^{3},x=0,x=1,\,\text{and}\,y=0$

정답·풀이 보기

이 그림은 제1사분면에 있는 그래프이다. 색칠된 영역은 위로는 곡선 y=2x^3, 아래로는 x축, 오른쪽으로는 직선 x=1로 유계이다.

$\frac{4\pi }{5}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph in the first quadrant. It is a shaded region bounded above by the curve y=2x^3, below by the x-axis, and to the right by the line x=1.

$\frac{4\pi }{5}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 44번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

19.OpenStax 1권 · 6.2절 · 27번우리말 번역

다음 문제에서, 곡선들로 유계인 영역을 그리세요. 그런 다음 이 영역을 y축을 중심으로 회전시킬 때의 부피를 구하세요.

$y=3{x}^{2},x=0,\,\text{그리고}\,y=3$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, find the volume when the region is rotated around the y-axis.

$y=3{x}^{2},x=0,\,\text{and}\,y=3$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 14번

# 입체도형의 부피계산자동 분류

20.OpenStax 1권 · 6.2절 · 28번우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역을 그리세요. 그런 다음, 그 영역을 y축을 중심으로 회전시켰을 때의 부피를 구하세요.

$y=\sqrt{4-{x}^{2}},y=0,\,\text{그리고}\,x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, draw the region bounded by the curves. Then, find the volume when the region is rotated around the y-axis.

$y=\sqrt{4-{x}^{2}},y=0,\,\text{and}\,x=0$

정답·풀이 보기

이 그림은 제1사분면에 그려진 그래프이다. 원점을 중심으로 하고 반지름이 2인 원의 4분의 1이며, 안쪽이 색칠되어 있다.

$\frac{16\pi }{3}$ 단위³

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a graph in the first quadrant. It is a quarter of a circle with center at the origin and radius of 2. It is shaded on the inside.

$\frac{16\pi }{3}$ units³

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.2절 · 54번

# 입체도형의 부피계산자동 분류