함수의 극한과 연속 전체 문제

함숫값이 있는지 확인해요. $x=1$ 을 넣으면 분모가 $0$ 이라서 $f(1)$ 이 정의되지 않아요. 연속의 첫 조건부터 어긋나므로 연속이 아니에요.

극한을 구해서 불연속의 종류를 판단해요. 분자를 인수분해하면 $2x^2-5x+3=(2x-3)(x-1)$ 이에요.

$$\lim_{x\to1}\frac{(2x-3)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(2x-3)=-1$$

결론을 내려요. 극한값 $-1$ 은 존재하는데 함숫값이 없을 뿐이에요. $f(1)=-1$ 로 정의하면 이어 붙일 수 있는 불연속이니 제거 가능한 불연속이에요.

수직점근선을 찾아요. $\sin x$ 와 $\sin 2x$ 는 모든 실수에서 연속이고 값이 $-1$ 과 $1$ 사이에 있어서 곱도 어디서나 유한한 값이에요. 값이 무한대로 가는 점이 없으니 수직점근선은 없어요.

수평점근선을 찾으려면 $x\to\infty$ 에서 한 값에 다가가는지 확인해요. 사인 함수는 계속 진동하기만 하고 어느 값으로 모이지 않아요. 예를 들어 $x=\dfrac{\pi}{4}+2n\pi$ 이면 $\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin 2x=1$ 이라 $f(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ 이고, $x=n\pi$ 이면 $\sin x=0$ 이라 $f(x)=0$ 이에요.

결론을 내려요. $x$ 가 커져도 $f(x)$ 가 $\dfrac{\sqrt2}{2}$ 와 $0$ 을 번갈아 되풀이해서 어떤 하나의 값으로 다가가지 않아요. $x\to-\infty$ 일 때도 마찬가지예요. 따라서 수평점근선도 없어요.