함수의 극한과 연속 전체 연습문제

1.OpenStax 1권 · 2.4절 · 9번우리말 풀이

다음 문제에서는 주어진 점에서 함수가 연속인지 판단하세요. 불연속이라면 어떤 종류의 불연속인가요?

$f(x)=\dfrac{2x^{2}-5x+3}{x-1}$ , $x=1$ 에서

영어 원문 보기

For the following exercises, decide if the function continuous at the given point. If it is discontinuous, what type of discontinuity is it?

$f(x)=\frac{2{x}^{2}-5x+3}{x-1}$ at $x=1$

풀이 보기

연속이 되려면 그 점에서 함숫값이 정의되고, 극한값이 있고, 둘이 같아야 해요.

1
함숫값이 있는지 확인해요. $x=1$ 을 넣으면 분모가 $0$ 이라서 $f(1)$ 이 정의되지 않아요. 연속의 첫 조건부터 어긋나므로 연속이 아니에요.
2
극한을 구해서 불연속의 종류를 판단해요. 분자를 인수분해하면 $2x^2-5x+3=(2x-3)(x-1)$ 이에요.

$\lim_{x\to1}\frac{(2x-3)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(2x-3)=-1$
3
결론을 내려요. 극한값 $-1$ 은 존재하는데 함숫값이 없을 뿐이에요. $f(1)=-1$ 로 정의하면 이어 붙일 수 있는 불연속이니 제거 가능한 불연속이에요.

답

연속이 아니다. 제거 가능한 불연속이다.

자주 하는 실수

함숫값이 없으면 항상 점근선이 생기는 불연속이라고 생각해요. 극한값이 있으면 제거 가능한 불연속이에요.

원본 교재 풀이(영어)

No. It is a removable discontinuity.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 39번

# 함수의 연속개념 확인기본

2.OpenStax 1권 · 4.6절 · 25번우리말 풀이

다음 문제에서 수평점근선과 수직점근선을 구하세요.

$f(x)=\sin (x)\sin (2x)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the horizontal and vertical asymptotes.

$f(x)=\sin (x)\sin (2x)$

풀이 보기

수평점근선은 $x\to\pm\infty$ 에서 함수가 한 값에 다가갈 때만, 수직점근선은 어떤 점에서 함숫값이 무한대로 갈 때만 생겨요.

1
수직점근선을 찾아요. $\sin x$ 와 $\sin 2x$ 는 모든 실수에서 연속이고 값이 $-1$ 과 $1$ 사이에 있어서 곱도 어디서나 유한한 값이에요. 값이 무한대로 가는 점이 없으니 수직점근선은 없어요.
2
수평점근선을 찾으려면 $x\to\infty$ 에서 한 값에 다가가는지 확인해요. 사인 함수는 계속 진동하기만 하고 어느 값으로 모이지 않아요. 예를 들어 $x=\dfrac{\pi}{4}+2n\pi$ 이면 $\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ , $\sin 2x=1$ 이라 $f(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ 이고, $x=n\pi$ 이면 $\sin x=0$ 이라 $f(x)=0$ 이에요.
3
결론을 내려요. $x$ 가 커져도 $f(x)$ 가 $\dfrac{\sqrt2}{2}$ 와 $0$ 을 번갈아 되풀이해서 어떤 하나의 값으로 다가가지 않아요. $x\to-\infty$ 일 때도 마찬가지예요. 따라서 수평점근선도 없어요.

답

수평점근선: 없음, 수직점근선: 없음

자주 하는 실수

함숫값이 $-1$ 과 $1$ 사이에 갇혀 있으니 $y=0$ 이 수평점근선이라고 생각해요. 점근선이 되려면 그 값에 한없이 가까워져야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Horizontal: none, vertical: none

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 39번

# 무한대에서의 극한과 점근선개념 확인보통

3.OpenStax 1권 · 2.3절 · 44번우리말 번역

다음 문제에서, 조임 정리를 이용하여 극한의 값을 구하세요. 가능하면 계산기를 이용하여 함수 $f(x),g(x)$ 와 $h(x)$ 의 그래프를 그리세요.

[계산기 사용] 참인지 거짓인지 판단하세요. $2x-1\le g(x)\le {x}^{2}-2x+3$ 이면 $\lim_{x\to 2}g(x)=0$ 이다.

영어 원문 보기

For the following problems, evaluate the limit using the squeeze theorem. Use a calculator to graph the functions $f(x),g(x),$ and $h(x)$ when possible.

[T] True or False? If $2x-1\le g(x)\le {x}^{2}-2x+3,$ then $\lim_{x\to 2}g(x)=0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 31번

# 극한의 성질과 계산개념 확인자동 분류

4.OpenStax 1권 · 4.6절 · 60번우리말 번역

참 또는 거짓: 다항식의 비는 모두 수직 점근선을 가진다.

영어 원문 보기

True or false: Every ratio of polynomials has vertical asymptotes.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.6절 · 6번

# 무한대에서의 극한과 점근선개념 확인자동 분류

5.APEX · 1.1절 · 1번우리말 번역

여러분의 말로, " $x$ 가 3에 가까워질 때 $f(x)$ 의 극한을 구한다"는 것은 무엇을 뜻하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

In your own words, what does it mean to “find the limit of $f(x)$ as $x$ approaches 3”?

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 14번

# 함수의 극한의 뜻개념 확인자동 분류

6.APEX · 1.1절 · 2번우리말 번역

$\frac00$ 꼴의 식을 _____ 이라고 한다.

영어 원문 보기

An expression of the form $\frac00$ is called _____.

정답·풀이 보기

부정형이다.

원본 교재 풀이(영어)

An indeterminate form.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.1절 · 3번

# 함수의 극한의 뜻개념 확인자동 분류

7.APEX · 1.1절 · 3번우리말 번역

참/거짓: $x$ 가 $5$ 에 가까워질 때 $f(x)$ 의 극한은 $f(5)$ 이다.

영어 원문 보기

T/F: The limit of $f(x)$ as $x$ approaches $5$ is $f(5)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 42번

# 함수의 극한의 뜻개념 확인자동 분류

8.APEX · 1.1절 · 4번우리말 번역

$\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)$ 가 존재하지 않는 세 가지 경우를 설명하세요.

영어 원문 보기

Describe three situations where $\displaystyle \lim_{x\to c}f(x)$ does not exist.

정답·풀이 보기

함수가 왼쪽에서 가까워질 때와 오른쪽에서 가까워질 때 서로 다른 값에 가까워질 수 있고, 함수의 값이 한없이 커질 수 있으며, 함수가 진동할 수도 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The function may approach different values from the left and right, the function may grow without bound, or the function might oscillate.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.1절 · 5번

# 함수의 극한의 뜻개념 확인자동 분류

9.APEX · 1.1절 · 5번우리말 번역

자신의 말로 차분몫이란 무엇인지 설명하세요.

영어 원문 보기

In your own words, what is a difference quotient?

정답·풀이 보기

답은 학생마다 다를 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.1절 · 6번

# 함수의 극한의 뜻개념 확인자동 분류

10.APEX · 1.1절 · 6번우리말 번역

$x$ 가 $0$ 에 가까울 때, $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ 는 어떤 값에 가깝습니까?

영어 원문 보기

When $x$ is near $0$ , $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ is near what value?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

1

원본 교재 풀이(영어)

1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 48번

# 함수의 극한의 뜻개념 확인자동 분류

11.APEX · 1.3절 · 1번우리말 번역

$\epsilon$ - $\delta$ 의 형식적인 방법을 쓰지 않고, 왜 $\displaystyle \lim_{x\to c} b = b$ 인지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain in your own words, without using $\epsilon$ - $\delta$ formality, why $\displaystyle \lim_{x\to c} b = b$ .

정답·풀이 보기

답은 학생마다 다를 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.4절 · 46번

# 극한의 성질과 계산개념 확인자동 분류

12.APEX · 1.3절 · 2번우리말 번역

$\epsilon$ - $\delta$ 의 형식적인 방법을 쓰지 않고, 왜 $\displaystyle \lim_{x\to c} x = c$ 인지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain in your own words, without using $\epsilon$ - $\delta$ formality, why $\displaystyle \lim_{x\to c} x = c$ .

정답·풀이 보기

답은 학생마다 다를 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.3절 · 33번

# 극한의 성질과 계산개념 확인자동 분류

13.APEX · 1.3절 · 3번우리말 번역

교재에서 어떤 함수들의 “거동이 극한의 관점에서 `좋다'”고 할 때, 그 말은 무슨 뜻인가요? 특히 무엇이 “좋다”는 것인가요?

영어 원문 보기

What does the text mean when it says that certain functions' “behavior is `nice' in terms of limits”? What, in particular, is “nice”?

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.3절 · 4번

# 극한의 성질과 계산개념 확인자동 분류

14.APEX · 1.3절 · 4번우리말 번역

조임 정리를 시각적으로 보여 주는 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch a graph that visually demonstrates the Squeeze Theorem.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.3절 · 5번

# 극한의 성질과 계산개념 확인자동 분류

15.APEX · 1.3절 · 5번우리말 번역

다음 정보가 주어져 있습니다.

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) = 0$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 1} g(x) = 0$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)/g(x) = 2$

$x$ 가 1에 가까워질 때 $f(x)$ 와 $g(x)$ 의 상대적인 크기에 대해 무엇을 말할 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

You are given the following information:

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) = 0$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 1} g(x) = 0$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x)/g(x) = 2$

What can be said about the relative sizes of $f(x)$ and $g(x)$ as $x$ approaches 1?

정답·풀이 보기

$x$ 가 1에 가까우면 $f$ 와 $g$ 는 모두 0에 가깝지만, $f$ 는 $g$ 의 약 2배의 크기이다. (즉, $f(x) \approx 2g(x)$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

As $x$ is near 1, both $f$ and $g$ are near 0, but $f$ is approximately twice the size of $g$ . (I.e., $f(x) \approx 2g(x)$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2장 복습 · 8번

# 극한의 성질과 계산개념 확인자동 분류

16.APEX · 1.4절 · 1번우리말 번역

극한이 존재하지 않을 수 있는 세 가지 경우는 무엇입니까?

영어 원문 보기

What are the three ways in which a limit may fail to exist?

정답·풀이 보기

함수가 왼쪽에서 접근할 때와 오른쪽에서 접근할 때 서로 다른 값에 가까워지는 경우, 함수의 값이 한없이 커지는 경우, 함수가 진동하는 경우이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function approaches different values from the left and right; the function grows without bound; the function oscillates.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.4절 · 4번

# 좌극한과 우극한개념 확인자동 분류

17.APEX · 1.4절 · 2번우리말 번역

참/거짓: $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x) = 5$ 이면 $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) = 5$ 이다.

영어 원문 보기

T/F: If $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x) = 5$ , then $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) = 5$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.4절 · 1번

# 좌극한과 우극한개념 확인자동 분류

18.APEX · 1.4절 · 3번우리말 번역

참/거짓: $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x) = 5$ 이면 $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x) = 5$ 이다.

영어 원문 보기

T/F: If $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x) = 5$ , then $\displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x) = 5$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.4절 · 2번

# 좌극한과 우극한개념 확인자동 분류

19.APEX · 1.4절 · 4번우리말 번역

참/거짓: $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) = 5$ 이면 $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x) = 5$ 이다.

영어 원문 보기

T/F: If $\displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) = 5$ , then $\displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x) = 5$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.2절 · 34번

# 좌극한과 우극한개념 확인자동 분류

20.APEX · 1.5절 · 1번우리말 번역

함수가 연속이라는 것이 무엇을 뜻하는지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

In your own words, describe what it means for a function to be continuous.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.5절 · 10번

# 함수의 연속개념 확인자동 분류

함수의 극한과 연속 전체 문제