함수의 극한과 연속 전체 문제

어떤 함수와 점인지 먼저 확인해요. 이 문제에는 함수와 점 $P$ 가 나와 있지 않지만, 원본 정답의 값($-0.95238095$ 등)을 보면 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 이고 $P(-1,-1)$ 임을 알 수 있어요. (앞 문제에서 주어진 조건으로 보여요.)

$y$좌표(a~d)를 구해요. 점 $Q$ 는 곡선 위의 점이니까 $y=\dfrac{1}{x}$ 에 $x$ 값을 넣으면 돼요.

• $x=-1.05$ 일 때 $y=\dfrac{1}{-1.05}\approx -0.95238095$
• $x=-1.01$ 일 때 $y\approx -0.99009901$
• $x=-1.005$ 일 때 $y\approx -0.99502488$
• $x=-1.001$ 일 때 $y\approx -0.99900100$

점 $Q(x,y)$(e~h)를 적어요. 위에서 구한 $x$ 와 $y$ 를 짝지으면 돼요.

• $Q(-1.05,\,-0.95238095)$
• $Q(-1.01,\,-0.99009901)$
• $Q(-1.005,\,-0.99502488)$
• $Q(-1.001,\,-0.99900100)$

할선의 기울기(i~l)를 구해요. 두 점 $P(-1,-1)$, $Q(x,y)$ 를 지나는 직선의 기울기는 $m_{\text{sec}}=\dfrac{y-(-1)}{x-(-1)}=\dfrac{y+1}{x+1}$ 이에요.

$x=-1.05$ 이면 $\dfrac{-0.95238095+1}{-1.05+1}=\dfrac{0.04761905}{-0.05}\approx -0.95238095$ 예요.

사실 $y=\dfrac1x$ 를 넣어 정리하면 $m_{\text{sec}}=\dfrac{\frac1x+1}{x+1}=\dfrac{\frac{1+x}{x}}{x+1}=\dfrac1x$ 라서 기울기는 $y$ 값과 똑같아요.

표에서 알 수 있는 것을 정리해요. $x$ 가 $-1$ 에 가까워질수록 $m_{\text{sec}}$ 는 $-1$ 에 가까워져요. 이 값이 점 $P$ 에서의 접선의 기울기를 짐작하게 해 줘요.

표를 채워요. 코사인 안의 값 $\dfrac{\pi}{\alpha}$ 를 먼저 구해요.

• $\alpha=0.1$ 이면 $\dfrac{\pi}{0.1}=10\pi$ 이고 $\cos 10\pi=1$ 이므로 값은 $\dfrac{1}{0.1}\cdot 1=10$
• $\alpha=0.01$ 이면 $\cos 100\pi=1$ 이므로 값은 $100$
• $\alpha=0.001$ 이면 값은 $1000$
• $\alpha=0.0001$ 이면 값은 $10000$

표를 보고 짐작해요. 값이 $10,100,1000,10000$ 으로 한없이 커지니까 $\alpha\to0^{+}$ 일 때 극한이 $\infty$ 라고 짐작할 수 있어요.

그래프를 확인해요. 그래프를 그려 보면 $0$ 에 가까워질수록 위아래로 아주 빠르게 흔들리면서 흔들림의 폭이 점점 커져요. 코사인 값이 $-1$ 과 $1$ 사이를 계속 오가는데 앞에 곱한 $\dfrac1\alpha$ 가 커지기 때문이에요. 그래서 $\infty$ 로만 가지 않고 $-\infty$ 쪽으로도 가요.

정말 극한이 있는지 따져 봐요. 같은 $\alpha\to0^{+}$ 인데 점을 다르게 고르면 결과가 달라져요.

• $\alpha=\dfrac1{2n}$ 이면 $\dfrac{\pi}{\alpha}=2n\pi$ 이므로 값은 $2n\cdot 1=2n\to\infty$
• $\alpha=\dfrac1{2n+1}$ 이면 $\dfrac{\pi}{\alpha}=(2n+1)\pi$ 이므로 값은 $-(2n+1)\to-\infty$

한 값에 다가가지 않으므로 극한은 존재하지 않아요.

표가 실패한 이유예요. 표에 고른 $\alpha=0.1,0.01,0.001,0.0001$ 은 모두 $\dfrac{1}{(\text{짝수})}$ 꼴이라 코사인이 항상 $1$ 이 되는 점만 골랐어요. 그래서 진동하는 모습을 보지 못하고 $\infty$ 라고 잘못 짐작한 거예요.

왼쪽에서 다가가요. $x<0$ 일 때의 그래프는 직선이에요. $x$ 가 $0$ 에 왼쪽에서 가까워지면 점이 빈 원이 있는 $(0,1)$ 쪽으로 다가가므로 $\lim_{x\to0^{-}}f(x)=1$ 이에요. (빈 원이라 $f(0)=1$ 은 아니지만 극한값에는 상관없어요.)

오른쪽에서 다가가요. $x\ge 0$ 에서는 포물선의 오른쪽 절반이고 꼭짓점 $(0,-4)$ 에서 시작해요. 오른쪽에서 $0$ 에 가까워지면 $y$ 값이 $-4$ 에 다가가므로 $\lim_{x\to0^{+}}f(x)=-4$ 예요.

두 값을 비교해요. 왼쪽 극한 $1$ 과 오른쪽 극한 $-4$ 가 서로 달라요. 따라서 $x\to0$ 일 때의 극한은 존재하지 않아요.

$x\to2^+$ 는 $x$ 가 $2$ 보다 큰 쪽에서 $2$ 로 다가간다는 뜻이에요. 그러니 $x=2$ 의 오른쪽 그래프만 봐요.

$x>2$ 에서 그래프는 기울기 $1$ 인 직선이고, $(2,2)$ 의 속이 빈 점에서 시작해요. 속이 빈 점은 그 점에서 함숫값이 $2$ 가 아니라는 뜻이지만, 그래프가 향하는 높이는 $2$ 예요.

$x$ 가 오른쪽에서 $2$ 로 다가갈수록 $f(x)$ 는 $2$ 에 가까워지므로 $$\lim_{x\to2^+}f(x)=2$$ 예요. (참고로 $x\to2^-$ 일 때는 $-2$ 로 가서 좌극한과 우극한이 달라요.)

어느 쪽을 볼지 정해요. $0^{+}$ 는 $x>0$ 인 쪽에서 $0$ 에 다가간다는 뜻이에요. 그래서 $y$축 오른쪽, 즉 1사분면의 곡선만 보면 돼요.

곡선이 다가가는 값을 읽어요. 1사분면의 곡선은 원점에서 시작해 오른쪽으로 뻗어요. $x$ 가 오른쪽에서 $0$ 에 가까워지면 곡선의 $y$ 값도 $0$ 에 가까워져요.

먼저 $x=4$ 를 대입해 봐요. 분자는 $4^2-16=0$, 분모는 $4-4=0$ 이라서 $\dfrac{0}{0}$ 꼴이 돼요. 이 꼴은 값이 정해지지 않아서 식을 바꿔야 해요.

분자를 인수분해해요. $x^2-16=(x+4)(x-4)$ 이므로

$$\frac{x^2-16}{x-4}=\frac{(x+4)(x-4)}{x-4}$$

약분해요. $x\to4$ 일 때 $x\ne4$ 이므로 $x-4\ne0$ 이라서 약분해도 돼요. 식은 $x+4$ 가 돼요.

극한값을 구해요. $\lim_{x\to4}(x+4)=4+4=8$

직접 대입해 봐요. $x=1$ 이면 분자는 $2+7-4=5$, 분모는 $1+1-2=0$ 이라서 $\dfrac{5}{0}$ 로 정의되지 않아요.

인수분해해요. 분자는 $2x^2+7x-4=(2x-1)(x+4)$, 분모는 $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ 이에요. 약분할 공통 인수는 없어요.

$$\frac{(2x-1)(x+4)}{(x+2)(x-1)}$$

분자와 분모의 값이 어디로 가는지 봐요. $x\to1$ 일 때 분자 $(2x-1)(x+4)\to 1\cdot5=5$ (양수), $(x+2)\to3$ (양수) 예요. 문제는 분모의 $(x-1)$ 이에요.

왼쪽에서 다가갈 때의 부호를 확인해요. $x\to1^{-}$ 이면 $x<1$ 이므로 $x-1$ 은 아주 작은 음수예요. 그래서 전체는 $\dfrac{\text{양수}}{\text{(양수)}\times(\text{아주 작은 음수})}$ 로 절댓값이 한없이 커지는 음수가 돼요.

어느 식을 쓸지 정해요. $x\to2^{-}$ 는 $x<2$ 이므로 $x^2-2x+1$ 을 써요. $x\to2^{+}$ 는 $x>2$ 이므로 $3-x$ 를 써요.

(a) 왼쪽 극한을 구해요. $x^2-2x+1$ 은 다항함수라 그냥 대입하면 돼요. $2^2-2\cdot2+1=1$ 이에요.

(b) 오른쪽 극한을 구해요. $3-x$ 에 $x=2$ 를 대입하면 $3-2=1$ 이에요.

그래프와 비교해요. 그래프에서 왼쪽 포물선과 오른쪽 직선이 모두 점 $(2,1)$ 에서 만나요. 두 극한이 같으니 $\lim_{x\to2}h(x)=1$ 로 극한이 존재해요.

식을 간단히 해요. $q=10^{-10}$ 을 넣고 쿨롱 상수를 곱하면 $E(r)=\dfrac{8.988\times10^{9}\cdot10^{-10}}{r^2}=\dfrac{0.8988}{r^2}$ 이에요.

(a) 그래프의 모양이에요. 거리 $r>0$ 일 때 $r$ 이 커지면 $E$ 는 $0$ 에 가까워지고, $r$ 이 $0$ 에 가까워지면 $E$ 는 한없이 커지는 곡선이에요. 식 자체는 $r<0$ 에서도 그려지지만(좌우대칭인 두 가닥), 거리는 음수가 될 수 없어서 물리적으로는 $r>0$ 쪽만 써요.

(b) 극한을 구해요. $r\to0^{+}$ 이면 $r^2\to0^{+}$ 이고 분자 $0.8988$ 은 양수이므로

$$\lim_{r\to0^{+}}\frac{0.8988}{r^2}=\infty$$

의미를 해석해요. 입자에 가까이 갈수록 전기장의 크기가 끝없이 커진다는 뜻이에요. 하지만 실제 입자는 크기가 있고 거리 $0$ 까지 갈 수 없어서, 무한대가 되는 것은 점전하라는 이상화 때문에 생긴 값이고 현실의 값은 아니에요.

왜 오른쪽에서 다가가는지 정리해요. 거리 $r$ 은 $0$ 보다 큰 값만 가질 수 있어서 $r<0$ 쪽에서 다가가는 것은 의미가 없기 때문이에요.

함숫값이 있는지 확인해요. $x=1$ 을 넣으면 분모가 $0$ 이라서 $f(1)$ 이 정의되지 않아요. 연속의 첫 조건부터 어긋나므로 연속이 아니에요.

극한을 구해서 불연속의 종류를 판단해요. 분자를 인수분해하면 $2x^2-5x+3=(2x-3)(x-1)$ 이에요.

$$\lim_{x\to1}\frac{(2x-3)(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(2x-3)=-1$$

결론을 내려요. 극한값 $-1$ 은 존재하는데 함숫값이 없을 뿐이에요. $f(1)=-1$ 로 정의하면 이어 붙일 수 있는 불연속이니 제거 가능한 불연속이에요.

어디를 살필지 정해요. 각 조각은 자기 구간에서는 연속이에요($k>0$ 일 때 $\sqrt{kx}$). 문제는 두 식이 만나는 $x=3$ 이에요.

$x=3$ 에서의 값을 구해요. 왼쪽에서의 극한과 함숫값은 $\sqrt{3k}$, 오른쪽에서의 극한은 $3+1=4$ 예요.

두 값이 같다고 놓아요. $\sqrt{3k}=4$ 의 양변을 제곱하면 $3k=16$ 이고, $k=\dfrac{16}{3}$ 이에요.

확인해요. $k=\dfrac{16}{3}$ 이면 $\sqrt{3\cdot\frac{16}{3}}=\sqrt{16}=4$ 로 오른쪽 값과 같아서 연속이에요.

조건을 정리해요. 세 가지가 필요해요. ① $x=1$ 에서 끊어질 것, ② $x=-1$ 근처에서 $y$ 가 $-1$ 에 가까울 것, ③ $x=2$ 근처에서 $y$ 가 $4$ 에 가까울 것.

쉬운 식을 골라요. $x<1$ 에서는 $f(x)=x$ 로 놓으면 $x\to-1$ 일 때 $-1$ 이에요. $x\ge1$ 에서는 $f(x)=x+2$ 로 놓으면 $x\to2$ 일 때 $4$ 예요.

$x=1$ 에서 끊어졌는지 확인해요. 왼쪽 극한은 $1$, 오른쪽 극한은 $1+2=3$ 이에요. 극한이 서로 달라 $x=1$ 에서 불연속(점프)이에요. 그래프는 점 $(1,1)$ 까지 오는 선과 점 $(1,3)$ 에서 시작하는 선으로 그려요.

조건을 세워요. 두 전하 사이의 쿨롱 힘은 $F=\dfrac{k_eq^2}{r^2}$ 이에요. $r=R$ 에서 이 힘이 $10^{-20}$ 과 같아야 두 식이 이어져요. (이 문제의 앞 부분에 나온 쿨롱 힘의 식을 썼어요.)

$$\frac{k_eq^2}{R^2}=10^{-20}$$

$R^2$ 에 대해 풀어요. $R^2=\dfrac{k_eq^2}{10^{-20}}$ 이에요.

값을 넣어 계산해요. $q^2=(1.6022\times10^{-19})^2\approx2.5670\times10^{-38}$ 이고 $k_eq^2\approx8.988\times10^{9}\times2.5670\times10^{-38}\approx2.3073\times10^{-28}$ 이므로

$$R^2\approx\frac{2.3073\times10^{-28}}{10^{-20}}=2.3073\times10^{-8}$$

제곱근을 취해요. $R>0$ 이므로 $R=\sqrt{2.3073\times10^{-8}}\approx1.519\times10^{-4}\,\text{m}$ 예요.

분모가 어떻게 되는지 봐요. $x\to\infty$ 이면 $3x+6$ 도 한없이 커져요.

분수의 값을 판단해요. $1$ 을 한없이 큰 수로 나누면 $0$ 에 가까워지므로

$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{3x+6}=0$$

수직점근선을 찾아요. $\sin x$ 와 $\sin 2x$ 는 모든 실수에서 연속이고 값이 $-1$ 과 $1$ 사이에 있어서 곱도 어디서나 유한한 값이에요. 값이 무한대로 가는 점이 없으니 수직점근선은 없어요.

수평점근선을 찾으려면 $x\to\infty$ 에서 한 값에 다가가는지 확인해요. 사인 함수는 계속 진동하기만 하고 어느 값으로 모이지 않아요. 예를 들어 $x=\dfrac{\pi}{4}+2n\pi$ 이면 $\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}$, $\sin 2x=1$ 이라 $f(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$ 이고, $x=n\pi$ 이면 $\sin x=0$ 이라 $f(x)=0$ 이에요.

결론을 내려요. $x$ 가 커져도 $f(x)$ 가 $\dfrac{\sqrt2}{2}$ 와 $0$ 을 번갈아 되풀이해서 어떤 하나의 값으로 다가가지 않아요. $x\to-\infty$ 일 때도 마찬가지예요. 따라서 수평점근선도 없어요.

창 안에서 어림해요. $-5\le x\le5$ 에서 $f(x)$ 는 $\dfrac{1}{5}$ 에서 $\dfrac{1}{15}$ 사이의 양수 값이에요. $0$ 에 가까워지는 듯하지만 이 작은 창만으로는 점근선을 확신하기 어려워요.

실제 극한을 계산해요. $x\to\infty$ 이면 $x+10\to\infty$ 이므로 $\dfrac{1}{x+10}\to0$ 이에요. $x\to-\infty$ 일 때도 분모의 절댓값이 한없이 커져서 $0$ 에 가까워져요.

점근선을 말해요. 극한이 $0$ 이므로 수평점근선은 $y=0$ 이에요. (참고로 $x=-10$ 에서는 분모가 $0$ 이라 수직점근선이 생기지만, 이 창 밖에 있어요.)