문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

무한대에서의 극한과 점근선

x→∞ 일 때의 극한, ∞/∞ 꼴 계산, 수평·수직 점근선을 찾는다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

2문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-1 · 1.5절 · 27번우리말 번역

$\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} f(x) \neq \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$ 이고, 두 극한이 모두 (유한한) 실수인 유리함수 $f(x)$ 를 하나 제시하세요.

영어 원문 보기

Give a rational function $f(x)$ with the properties that $\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} f(x) \neq \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$ , and both limits are (finite) real numbers.

정답·풀이 보기

먼저, 무한대에서의 극한이 실수인 유리함수가 필요하다. 이는 분모의 차수가 분자의 차수보다 크거나 같다는 뜻이다. 경우는 두 가지이다. 분모의 차수가 분자의 차수보다 큰 경우와, 분모의 차수가 분자의 차수와 같은 경우이다.

분모의 차수가 분자의 차수보다 크면 $\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=0$ 이므로 두 극한이 같다. 이는 우리가 찾는 함수가 아니다.

분모의 차수가 분자의 차수와 같으면 $x$ 가 $\pm \infty$ 로 갈 때의 극한은 최고차항의 비이다. 이번에도 두 극한이 같다. 따라서 위와 같은 유리함수는 존재하지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

First, we need a rational function whose limit at infinity is a real number. This means that the degree of the bottom is greater than or equal to the degree of the top. There are two cases: the denominator has higher degree than the numerator, or the denominator has the same degree as the numerator.

If the denominator has higher degree than the numerator, then $\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=0$ , so the limits are equal–not what we're looking for.

If the denominator has the same degree as the numerator, then the limit as $x$ goes to $\pm \infty$ is the ratio of the leading terms: again, the limits are equal. So no rational function exists as described.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 24번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산도전자동 분류

2.CLP-1 · 1.5절 · 28번우리말 번역

주사한 지 $t$ 시간 후 몸속에 있는 어떤 물질의 농도가 어떤 식 $c(t)$ 로 주어지고, $\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} c(t) \neq 0$ 이라고 하자. 어떤 종류의 물질을 주사했을 수 있을까요?

영어 원문 보기

Suppose the concentration of a substance in your body $t$ hours after injection is given by some formula $c(t)$ , and $\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} c(t) \neq 0$ . What kind of substance might have been injected?

정답·풀이 보기

그 물질이 장기적으로 남아 있는 양은 어떤 양수이다. 즉 그 물질은 계속 남아 있다. 이런 물질의 한 예가 문신의 잉크이다. (주사한 것이 약이었다면 아마 대사되어 $\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} c(t)=0$ 일 것이다.)

참고: 사실 $t$ 를 무한대로 보내는 것은 그다지 의미가 없다. 수백만 시간이 지나면 몸조차 남아 있지 않을 텐데, 그렇다면 $c(t)$ 는 무엇을 재고 있는 것일까? 현실에서 식을 사용할 때는 흔히 그 식이 정해진 어떤 범위에서만 유효하다고 이해한다. $t$ 가 무한대로 갈 때의 극한은 그 함수의 장기적인 변화 양상을 대신 나타내는 것으로 자주 쓰인다.

원본 교재 풀이(영어)

The amount of the substance that will linger long-term is some positive number–the substance will stick around. One example of a substance that does this is the ink in a tattoo. (If the injection was of medicine, probably it will be metabolized, and $\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} c(t)=0$ .)

Remark: it actually doesn't make much sense to let $t$ go to infinity: after a few million hours, you won't even have a body, so what is $c(t)$ measuring? Often when we use formulas in the real world, there is an understanding that they are only good for some fixed range. We often use the limit as $t$ goes to infinity as a stand-in for the function's long-term behaviour.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 19번

# 무한대에서의 극한과 점근선활용도전자동 분류