빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

무한대에서의 극한과 점근선

x→∞ 일 때의 극한, ∞/∞ 꼴 계산, 수평·수직 점근선을 찾는다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 1권 · 4.6절 · 11번우리말 풀이

다음 문제에서 극한을 구하세요.

lim⁡x→∞13x+6\lim_{x\to \infty }\dfrac{1}{3x+6}

영어 원문 보기

For the following exercises, evaluate the limit.

lim⁡x→∞13x+6\lim_{x\to \infty }\frac{1}{3x+6}

답 쓰고 채점
풀이 보기

분자는 일정한데 분모가 한없이 커지면 분수는 00 에 가까워져요.

  1. 1

    분모가 어떻게 되는지 봐요. x→∞x\to\infty 이면 3x+63x+6 도 한없이 커져요.

  2. 2

    분수의 값을 판단해요. 11 을 한없이 큰 수로 나누면 00 에 가까워지므로

    lim⁡x→∞13x+6=0\lim_{x\to\infty}\frac{1}{3x+6}=0

답

00

자주 하는 실수

1∞\dfrac{1}{\infty} 를 정의되지 않는 꼴로 착각해요. 분자가 상수이고 분모가 한없이 커지면 00 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

00

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 25번
# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본
2.OpenStax 1권 · 4.6절 · 39번우리말 풀이

다음 문제에서는 그래픽 계산기에서 창을 x=[−5,5]x=[-5,5] 로 놓고 함수의 그래프를 그려 수평점근선이나 극한을 어림해 보세요. 그런 다음 실제 수평점근선이나 극한을 계산하세요.

[계산기 사용] f(x)=1x+10f(x)=\dfrac{1}{x+10}

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the function on a graphing calculator on the window x=[−5,5]x=[-5,5] and estimate the horizontal asymptote or limit. Then, calculate the actual horizontal asymptote or limit.

[T] f(x)=1x+10f(x)=\frac{1}{x+10}

답 쓰고 채점
풀이 보기

x→∞x\to\infty 일 때 분모가 한없이 커지므로 f(x)→0f(x)\to0 이고, 수평점근선은 y=0y=0 이에요.

  1. 1

    창 안에서 어림해요. −5≤x≤5-5\le x\le5 에서 f(x)f(x) 는 15\dfrac{1}{5} 에서 115\dfrac{1}{15} 사이의 양수 값이에요. 00 에 가까워지는 듯하지만 이 작은 창만으로는 점근선을 확신하기 어려워요.

  2. 2

    실제 극한을 계산해요. x→∞x\to\infty 이면 x+10→∞x+10\to\infty 이므로 1x+10→0\dfrac{1}{x+10}\to0 이에요. x→−∞x\to-\infty 일 때도 분모의 절댓값이 한없이 커져서 00 에 가까워져요.

  3. 3

    점근선을 말해요. 극한이 00 이므로 수평점근선은 y=0y=0 이에요. (참고로 x=−10x=-10 에서는 분모가 00 이라 수직점근선이 생기지만, 이 창 밖에 있어요.)

답

lim⁡x→±∞f(x)=0\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0 이므로 수평점근선은 y=0y=0

자주 하는 실수

주어진 창 안의 그래프만 보고 점근선이 없다고 하거나 x=−10x=-10 의 수직점근선을 놓쳐요.

원본 교재 풀이(영어)

y=0y=0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 26번
# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본
3.CLP-1 · 1.5절 · 1번우리말 번역

lim⁡x→∞f(x)\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} f(x) 와 lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) 가 모두 (유한한) 실수가 되는 다항식 f(x)f(x) 를 하나 구하세요.

영어 원문 보기

Give a polynomial f(x)f(x) with the property that both lim⁡x→∞f(x)\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} f(x) and lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) are (finite) real numbers.

정답·풀이 보기

차수가 1 이상인 다항식은 xx 가 ∞\infty 로 갈 때 ∞\infty 또는 −∞-\infty 로 간다. 따라서 차수가 0인 다항식, 즉 f(x)f(x) 가 상수인 경우가 필요하다. 가능한 답 중 하나는 f(x)=1f(x)=1 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Any polynomial of degree one or higher will go to ∞\infty or −∞-\infty as xx goes to ∞\infty. So, we need a polynomial of degree 0–that is, f(x)f(x) is a constant. One possible answer is f(x)=1f(x)=1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.6절 · 8번
# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본자동 분류
4.CLP-1 · 1.5절 · 2번우리말 번역

lim⁡x→∞f(x)≠lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} f(x) \neq \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) 를 만족시키는 다항식 f(x)f(x) 를 하나 구하세요.

영어 원문 보기

Give a polynomial f(x)f(x) that satisfies lim⁡x→∞f(x)≠lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle\lim_{x \rightarrow\infty} f(x) \neq \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x).

정답·풀이 보기

차수가 홀수인 다항식이면 모두 이 경우에 해당한다. 예를 들어 f(x)=xf(x)=x 이다.

답은 여러 가지가 가능하다. f(x)=x15−32x2+9f(x)=x^{15}-32x^2+9 도 lim⁡x→∞f(x)=∞\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty 와 lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)= -\infty 를 만족시킨다.

원본 교재 풀이(영어)

This will be the case for any polynomial of odd degree. For instance, f(x)=xf(x)=x.

Many answers are possible: also f(x)=x15−32x2+9f(x)=x^{15}-32x^2+9 satisfies lim⁡x→∞f(x)=∞\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty and lim⁡x→−∞f(x)=−∞\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)= -\infty.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 3번
# 무한대에서의 극한과 점근선계산기본자동 분류