편미분방정식 맛보기

(a) $u(x,y) = x^3-3xy^2$ 이면

$$\begin{aligned} u_x&= 3x^2-3y^2 \qquad& u_{xx}&= 6x \\ u_y&= -6xy \qquad& u_{yy}&= -6x \end{aligned}$$

이므로 $u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=6x-6x=0$ 이고 $x^3-3xy^2$ 은 조화함수이다.

(b) $u(x,y) = x^3-y^3$ 이면

$$\begin{aligned} u_x&= 3x^2 \qquad& u_{xx}&= 6x \\ u_y&= -3y^2 \qquad& u_{yy}&= -6y \end{aligned}$$

이므로 $u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=6x-6y$ 는 항등적으로 0이 아니고, $x^3-y^3$ 은 조화함수가 아니다.

(c) $u(x,y) = \sin(x)\,\cos(y)$ 이면

$$\begin{aligned} u_x&= \cos(x)\,\cos(y) \qquad& u_{xx}&= -\sin(x)\,\cos(y) \\ u_y&= -\sin(x)\,\sin(y) \qquad& u_{yy}&= -\sin(x)\,\cos(y) \end{aligned}$$

이므로 $u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=-2\sin(x)\,\cos(y)$ 는 항등적으로 0이 아니고, $\sin(x)\,\cos(y)$ 는 조화함수가 아니다.

(d) $u(x,y) = e^{7x}\,\cos(7y)$ 이면

$$\begin{aligned} u_x&= 7\,e^{7x}\,\cos(7y) \qquad& u_{xx}&= 49\,e^{7x}\,\cos(7y) \\ u_y&= -7\,e^{7x}\ \sin(7y) \qquad& u_{yy}&= -49\,e^{7x}\,\cos(7y) \end{aligned}$$

이므로 $u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=49\,e^{7x}\,\cos(7y)-49\,e^{7x}\,\cos(7y)=0$ 이고 $e^{7x}\,\cos(7y)$ 는 조화함수이다.

(e) $u(x,y) = \ln(x^2+y^2)$ 이면

$$\begin{aligned} u_x&= \frac{2x}{x^2+y^2} \qquad& u_{xx}&= \frac{2}{x^2+y^2}- \frac{4x^2}{{(x^2+y^2)}^2}\\ u_y&= \frac{2y}{x^2+y^2} \qquad& u_{yy}&= \frac{2}{x^2+y^2}- \frac{4y^2}{{(x^2+y^2)}^2} \end{aligned}$$

이므로

$$\begin{aligned} u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)&=\frac{2}{x^2+y^2}- \frac{4x^2}{{(x^2+y^2)}^2} +\frac{2}{x^2+y^2}- \frac{4y^2}{{(x^2+y^2)}^2} \\ &=\frac{4}{x^2+y^2} - 4\frac{x^2+y^2}{{(x^2+y^2)}^2} \\ &=\frac{4}{x^2+y^2}-\frac{4}{x^2+y^2} \\ &=0 \end{aligned}$$

이고 $\ln(x^2+y^2)$ 은 조화함수이다.

$u=u(x,t) = e^{t+ax} + e^{t-ax}$ 일 때, 주어진 편미분방정식의 양변을 각각 계산한다. 다음이 성립하므로

$$\begin{aligned} u(x,t) &= e^{t+ax} + e^{t-ax} \\ u_t(x,t) &= e^{t+ax} + e^{t-ax} \\ u_x(x,t) &= ae^{t+ax} - ae^{t-ax}\qquad & u_{xx}(x,t) &= a^2e^{t+ax} + a^2e^{t-ax} \end{aligned}$$

편미분방정식의 좌변은

$$5u_t = 5e^{t+ax} + 5e^{t-ax}$$

이고, 편미분방정식의 우변은

$$\begin{aligned} u_{xx} + u &=\big(a^2e^{t+ax} + a^2e^{t-ax}\big)+\big(e^{t+ax} + e^{t-ax}\big) \\ &= (a^2+1)e^{t+ax} + (a^2+1)e^{t-ax} \end{aligned}$$

이다. 좌변과 우변이 같을 필요충분조건은

$$\begin{aligned} 5=(a^2+1) \iff a^2=4 \iff a=\pm 2 \end{aligned}$$

이다.

$u=u(x,t) = e^{3x+4y}\sin(az)$ 일 때, $u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}$ 를 계산한다. 다음과 같으므로

$$\begin{aligned} u(x,y,z) &= e^{3x+4y}\sin(az)\\ u_x(x,y,z) &= 3\,e^{3x+4y}\sin(az)\qquad & u_{xx}(x,y,z) &= 9\,e^{3x+4y}\sin(az) \\ u_y(x,y,z) &= 4\,e^{3x+4y}\sin(az)\qquad & u_{yy}(x,y,z) &= 16\,e^{3x+4y}\sin(az) \\ u_z(x,y,z) &= a\,e^{3x+4y}\cos(az)\qquad & u_{zz}(x,y,z) &= -a^2\,e^{3x+4y}\sin(az) \end{aligned}$$

다음을 얻는다.

$$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz} = \big(9+16-a^2) e^{3x+4y}\sin(az)$$

이 값이 (모든 $x$, $y$, $z$ 에 대해) 0 일 필요충분조건은

$$\begin{aligned} a^2=9+16=25 \iff a=\pm 5 \end{aligned}$$

이다.

$u=u(x,t)=\sin(at)\,\cos(bx)$ 일 때 주어진 편미분방정식의 양변을 각각 계산한다. 다음이 성립하므로

$$\begin{aligned} u(x,t) &= \sin(at)\,\cos(bx) \\ u_t(x,t) &= a\,\cos(at)\,\cos(bx) \qquad & u_{tt}(x,t) &= -a^2\,\sin(at)\,\cos(bx) \\ u_x(x,t) &= -b\,\sin(at)\,\sin(bx) \qquad & u_{xx}(x,t) &= -b^2\sin(at)\,\cos(bx) \end{aligned}$$

편미분방정식의 좌변은

$$u_{tt} = -a^2\,\sin(at)\,\cos(bx)$$

이고, 편미분방정식의 우변은

$$\begin{aligned} u_{xx} &=-b^2\,\sin(at)\,\cos(bx) \end{aligned}$$

이다. 좌변과 우변이 같을 필요충분조건은

$$\begin{aligned} a^2=b^2 \iff a=\pm b \end{aligned}$$

이다.

$z=z(x,y)=F\big(x^2+y^2\big)$ 일 때 좌변의 두 항을 각각 계산하면 된다. 연쇄 법칙에 의해

$$\begin{aligned} y\frac{\partial z}{\partial x}&= y\frac{\partial }{\partial x}F\big(x^2+y^2\big) =yF'\big(x^2+y^2\big) \frac{\partial }{\partial x}\,\big(x^2+y^2\big) =yF'\big(x^2+y^2\big)\left(2x\right) \\ &=2xy\,F'\big(x^2+y^2\big) \\ x\frac{\partial z}{\partial y}&= x\frac{\partial }{\partial y}F\big(x^2+y^2\big) =xF'\big(x^2+y^2\big) \frac{\partial }{\partial y}\,\big(x^2+y^2\big) =xF'\big(x^2+y^2\big)\left(2y\right) \\ &=2xyF'\big(x^2+y^2\big) \end{aligned}$$

이다. 따라서

$$y\frac{\partial z}{\partial x} - x\frac{\partial z}{\partial y} =2xy\,F'\big(x^2+y^2\big) - 2xy\,F'\big(x^2+y^2\big) =0$$

이고, 미분가능한 모든 함수 $F$ 에 대해 $z(x,y)=F\big(x^2+y^2\big)$ 은 편미분방정식 $y\frac{\partial z}{\partial x} - x\frac{\partial z}{\partial y}=0$ 의 해이다.

$u_1(x,t)$ 와 $u_2(x,t)$ 가 $\frac{\partial^2}{\partial t^2}u_1(x,t) =\frac{\partial^2}{\partial x^2}u_1(x,t)$ 과 $\frac{\partial^2}{\partial t^2}u_2(x,t) =\frac{\partial^2}{\partial x^2}u_2(x,t)$ 을 만족시킨다고 하자. 그러면 $u(x,t)=a_1u_1(x,t)+a_2u_2(t,x)$ 는 다음을 만족시킨다.

$$\begin{aligned} u_{tt}(x,t) &= \frac{\partial^2}{\partial t^2} \big[a_1u_1(x,t)+a_2u_2(t,x)\big] \\ &=a_1\frac{\partial^2}{\partial t^2}u_1(x,t) + a_2\frac{\partial^2}{\partial t^2}u_2(x,t) \\ &=a_1\frac{\partial^2}{\partial x^2}u_1(x,t) + a_2\frac{\partial^2}{\partial x^2}u_2(x,t) \\ &= \frac{\partial^2}{\partial x^2}\big[a_1u_1(x,t)+a_2u_2(t,x)\big] \\ &=u_{xx}(x,t) \end{aligned}$$

따라서 보이려던 바가 성립한다.

$u(x,y)=v(ax+by\,,\,cx+dy)$ 에 대하여 $u_{xx}+u_{yy}$ 를 계산한다. 연쇄 법칙에 의해

$$\begin{aligned} u(x,y) &= v(ax+by\,,\,cx+dy)\\ u_x(x,y) &= a\,v_x(ax+by\,,\,cx+dy)+c\,v_y(ax+by\,,\,cx+dy) \\ u_y(x,y) &= b\,v_x(ax+by\,,\,cx+dy)+d\,v_y(ax+by\,,\,cx+dy) \\ u_{xx}(x,y) &= a^2\,v_{xx}(ax+by\,,\,cx+dy)+ ac\,v_{xy}(ax+by\,,\,cx+dy) \\ & + ca\,v_{yx}(ax+by\,,\,cx+dy) +c^2\,v_{yy}(ax+by\,,\,cx+dy) \\ u_{yy}(x,y) &= b^2\,v_{xx}(ax+by\,,\,cx+dy)+ bd\,v_{xy}(ax+by\,,\,cx+dy) \\ & + db\,v_{yx}(ax+by\,,\,cx+dy) +d^2\,v_{yy}(ax+by\,,\,cx+dy) \end{aligned}$$

이므로 다음을 얻는다.

$$\begin{aligned} u_{xx}+u_{yy} &=(a^2+b^2) v_{xx}(ax+by\,,\,cx+dy) +(c^2+d^2) v_{yy}(ax+by\,,\,cx+dy) \\& +2(ac+bd) v_{xy}(ax+by\,,\,cx+dy) \end{aligned}$$

• $a^2+b^2=c^2+d^2$ 이면, 즉 $\left< a,b\right>$ 와 $\left< c,d\right>$ 의 길이가 같으면, $v_{xx}+v_{yy}=0$ 이므로 우변의 첫째 줄은 0이다.
• $\left< a,b\right>\cdot\left< c,d\right>=ac+bd=0$ 이면, 즉 $\left< a,b\right>$ 와 $\left< c,d\right>$ 가 서로 수직이면, 우변의 둘째 줄은 0이다.

따라서 $\left< a,b\right>$ 와 $\left< c,d\right>$ 의 길이가 같고 서로 수직이면 $u_{xx}+u_{yy}=0$ 이다. 빈칸에 알맞은 말은 “수직”이다.