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극좌표와 극방정식의 그래프

극좌표와 직교좌표를 바꾸고 장미곡선·카디오이드 같은 극곡선을 그린다

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121문제 · 7 / 7쪽

121.CLP-4 · 1.8절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 방정식을 알맞은 그림과 짝지으세요. 직교좌표는 (x,y)(x, y) 이고 극좌표는 (r,θ)(r, \theta) 입니다.

(A) 그림

(B) 그림

(C) 그림

(D) 그림

(E) 그림

(F) 그림

(a)r=2+sin⁡(4θ)(b)r=1+2sin⁡(4θ)(c)r=1(d)r=2cos⁡(θ), −π2≤θ≤π2(e)r=eθ/10+e−θ/10(f)r=θ\begin{aligned} &\text{(a)}\quad& r&=2+\sin(4\theta) \qquad\qquad & &\text{(b)}\quad& r&=1+2\sin(4\theta)\qquad\qquad & &\text{(c)}\quad& r&=1\\ &\text{(d)}& r&=2\cos(\theta),\ -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\qquad\qquad & &\text{(e)}& r&=e^{\theta/10}+e^{-\theta/10}\qquad\qquad & &\text{(f)}& r&=\theta & \end{aligned}

영어 원문 보기

Match the following equations with the corresponding pictures. Cartesian coordinates are (x,y)(x, y) and polar coordinates are (r,θ)(r, \theta).

(A) figure

(B) figure

(C) figure

(D) figure

(E) figure

(F) figure

(a)r=2+sin⁡(4θ)(b)r=1+2sin⁡(4θ)(c)r=1(d)r=2cos⁡(θ), −π2≤θ≤π2(e)r=eθ/10+e−θ/10(f)r=θ\begin{aligned} &\text{(a)}\quad& r&=2+\sin(4\theta) \qquad\qquad & &\text{(b)}\quad& r&=1+2\sin(4\theta)\qquad\qquad & &\text{(c)}\quad& r&=1\\ &\text{(d)}& r&=2\cos(\theta),\ -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\qquad\qquad & &\text{(e)}& r&=e^{\theta/10}+e^{-\theta/10}\qquad\qquad & &\text{(f)}& r&=\theta & \end{aligned}

정답·풀이 보기

(a) −1≤sin⁡(4θ)≤1-1\le \sin(4\theta)\le 1 이므로, θ\theta 가 00 에서 2π2\pi 까지 변할 때 좌표 r=2+sin⁡(4θ)r=2+\sin(4\theta) 는 r=1r=1 과 r=3r=3 사이에서 진동한다. 최댓값 r=3r=3 은 sin⁡(4θ)=1\sin(4\theta)=1 일 때, 즉 4θ=π2+2nπ4\theta=\frac{\pi}{2} +2n\pi 일 때, 즉 θ=π8+nπ2\theta=\frac{\pi}{8}+\frac{n\pi}{2} 일 때 얻어진다. 이는 그림 (E)와 일치한다.

(b) −1≤sin⁡(4θ)≤1-1\le \sin(4\theta)\le 1 이므로, 좌표 r=1+2sin⁡(4θ)r=1+2\sin(4\theta) 는 (a)(a) 의 경우와 마찬가지로 sin⁡(4θ)=1\sin(4\theta)=1 일 때, 즉 θ=π8+nπ2\theta=\frac{\pi}{8}+\frac{n\pi}{2} 일 때 최댓값 r=3r=3 을 갖는다. 그러나 이번에는 rr 가 값 00 도 가질 수 있다. 이는 그림 (B)와 일치한다.

(c) r=1r=1 은 θ\theta 와 완전히 무관하다. 곡선 r=1r=1 위의 모든 점은 원점으로부터의 거리가 11 이다. 즉, r=1r=1 은 원점을 중심으로 하고 반지름이 11 인 원이다. 이는 그림 (F)이다.

(d) 이 경우 θ\theta 에는 −π2≤θ≤π2-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2} 라는 제한이 있으며, 그림 (C)와 같다. 그림 (C)는 원처럼 보인다. 직교좌표로 바꾸어 r=2cos⁡(θ)r=2\cos(\theta) 가 실제로 원임을 확인할 수 있다. 방정식 전체에 rr 를 곱하면 우변을 정확히 2x=2rcos⁡(θ)2x=2r\cos(\theta) 로 바꿀 수 있다.

r=2cos⁡(θ)  ⟺  r2=2rcos⁡(θ)  ⟺  x2+y2=2x  ⟺  (x−1)2+y2=1\begin{aligned} r=2\cos(\theta) &\iff r^2 =2r\cos(\theta) \iff x^2+y^2=2x \\ &\iff (x-1)^2+y^2=1 \end{aligned}

따라서 r=2cos⁡(θ)r=2\cos(\theta) 는 x=1x=1, y=0y=0 을 중심으로 하고 반지름이 11 인 원이며, 이는 실제로 그림 (C)와 일치한다.

(e) θ=0\theta=0 일 때 r=eθ/10+e−θ/10=2r=e^{\theta/10}+e^{-\theta/10}=2 이다.

ddθ(eθ/10+e−θ/10)=110(eθ/10−e−θ/10)>0모든 θ>0 에 대해\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\big(e^{\theta/10}+e^{-\theta/10}\big) =\frac{1}{10}\big(e^{\theta/10}-e^{-\theta/10}\big) >0\qquad\text{모든 }\theta > 0 \text{ 에 대해}

이므로 r=eθ/10+e−θ/10r=e^{\theta/10}+e^{-\theta/10} 는 모든 θ≥0\theta\ge 0 에서 θ\theta 가 증가함에 따라 증가한다. 게다가 θ\theta 가 커질수록 증가율도 점점 더 커진다. 따라서 rr 는 θ=0\theta=0 일 때 r=2r=2 에서 시작하여 θ\theta 가 증가함에 따라 점점 더 빠르게 증가한다. 이는 그림 (A)와 일치한다.

(f) θ=0\theta=0 일 때 r=θ=0r=\theta=0 이다.

ddθθ=1모든 θ 에 대해\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \theta =1 \qquad\text{모든 }\theta \text{ 에 대해}

이므로 r=θr=\theta 는 모든 θ≥0\theta\ge 0 에서 θ\theta 가 증가함에 따라 증가한다. 게다가 증가율은 θ\theta 와 무관하다. 따라서 rr 는 θ=0\theta=0 일 때 r=0r=0 에서 시작하여 θ\theta 가 증가함에 따라 일정한 비율로 증가한다. 이는 그림 (D)와 일치한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since −1≤sin⁡(4θ)≤1-1\le \sin(4\theta)\le 1, the coordinate r=2+sin⁡(4θ)r=2+\sin(4\theta) oscillates between r=1r=1 and r=3r=3 as θ\theta runs from 00 to 2π2\pi. The maximum value r=3r=3 is achieved when sin⁡(4θ)=1\sin(4\theta)=1, i.e when 4θ=π2+2nπ4\theta=\frac{\pi}{2} +2n\pi, i.e. when θ=π8+nπ2\theta=\frac{\pi}{8}+\frac{n\pi}{2}. That matches figure (E).

(b) Since −1≤sin⁡(4θ)≤1-1\le \sin(4\theta)\le 1, the coordinate r=1+2sin⁡(4θ)r=1+2\sin(4\theta) takes its maximum value r=3r=3 when sin⁡(4θ)=1\sin(4\theta)=1, i.e. when θ=π8+nπ2\theta=\frac{\pi}{8}+\frac{n\pi}{2}, just as the case with (a)(a). But now rr can also take the value 00. That matches figure (B).

(c) r=1r=1 is completely indepedent of θ\theta. All points on the curve r=1r=1 are a distance 11 from the origin. That is, r=1r=1 is the circle of radius 11 centred on the origin. That's figure (F).

(d) In this case, θ\theta is subject to the restriction −π2≤θ≤π2-\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}, like figure (C). Figure (C) looks like a circle. We can verify that r=2cos⁡(θ)r=2\cos(\theta) is indeed a circle by converting to Cartesian coordinates. We can convert the right hand side to exactly 2x=2rcos⁡(θ)2x=2r\cos(\theta) by multiplying the whole equation by rr.

r=2cos⁡(θ)  ⟺  r2=2rcos⁡(θ)  ⟺  x2+y2=2x  ⟺  (x−1)2+y2=1\begin{aligned} r=2\cos(\theta) &\iff r^2 =2r\cos(\theta) \iff x^2+y^2=2x \\ &\iff (x-1)^2+y^2=1 \end{aligned}

So r=2cos⁡(θ)r=2\cos(\theta) is the circle of radius 11 centred on x=1x=1, y=0y=0, which indeed matches figure (C).

(e) When θ=0\theta=0, r=eθ/10+e−θ/10=2r=e^{\theta/10}+e^{-\theta/10}=2. As

ddθ(eθ/10+e−θ/10)=110(eθ/10−e−θ/10)>0for all θ>0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\big(e^{\theta/10}+e^{-\theta/10}\big) =\frac{1}{10}\big(e^{\theta/10}-e^{-\theta/10}\big) >0\qquad\text{for all }\theta > 0

r=eθ/10+e−θ/10r=e^{\theta/10}+e^{-\theta/10} increases as θ\theta increases for all θ≥0\theta\ge 0. Furthermore the rate of increase gets bigger and bigger as θ\theta gets bigger and bigger. So rr starts at r=2r=2 when θ=0\theta=0 and increases faster and faster as θ\theta increases. That matches figure (A).

(f) When θ=0\theta=0, r=θ=0r=\theta=0. As

ddθθ=1for all θ\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} \theta =1 \qquad\text{for all }\theta

r=θr=\theta increases as θ\theta increases for all θ≥0\theta\ge 0. Furthermore the rate of increase is independent of θ\theta. So rr starts at r=0r=0 when θ=0\theta=0 and increases at a constant rate as θ\theta increases. That matches figure (D).

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