문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 극한 전체 문제

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유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

5문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.1절 · 31번우리말 풀이

다음 각 수열( $n$ 번째 항이 주어져 있음)이 유계인지, 그리고 결국 단조(증가 또는 감소)인지 말하세요.

$\dfrac{n}{2^{n}},\quad n\ge2$

영어 원문 보기

For each of the following sequences, whose $n\text{th}$ terms are indicated, state whether the sequence is bounded and whether it is eventually monotone, increasing, or decreasing.

$n/{2}^{n},$ $n\ge 2$

풀이 보기

항이 모두 양수일 때는 이웃한 항의 비 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ 이 1보다 작은지 큰지로 증가·감소를 판단해요.

1
처음 몇 항을 써 봐요. $a_2=\dfrac12$ , $a_3=\dfrac38$ , $a_4=\dfrac14$ , $a_5=\dfrac5{32}$ 로 점점 줄어드는 것 같아요.
2
비로 감소를 확인해요. 모든 항이 양수이므로 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n}=\frac{n+1}{2n}=\frac12+\frac1{2n}$ $n\ge2$ 이면 이 값은 $\dfrac34$ 이하여서 1보다 작아요. 따라서 $a_{n+1}<a_n$ , 즉 $n\ge2$ 에서 감소수열이에요.
3
유계를 확인해요. 모든 항이 양수라서 아래로 $0$ 보다 크고, 감소하므로 첫 항 $a_2=\dfrac12$ 보다 커질 수 없어요. 즉 $0<a_n\le\dfrac12$ 이므로 유계예요.

답

유계이고, $n\ge2$ 에서 감소

자주 하는 실수

$n=1$ 일 때와 $n=2$ 일 때 값이 같아( $\tfrac12$ ) 처음부터 감소라고 하거나, 비가 1보다 작아지는 $n$ 의 범위를 확인하지 않는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

bounded, decreasing for $n\ge 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 12번

# 수열의 수렴과 발산개념 확인보통

2.OpenStax 2권 · 5.1절 · 47번우리말 풀이

다음 수열의 극한값을 구하거나 발산함을 보이세요. 수렴하면 그 극한값을 구하세요.

$a_n=(2n)^{1/n}-n^{1/n}$

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence or show that the sequence diverges. If it converges, find its limit.

${a}_{n}={(2n)}^{1/n}-{n}^{1/n}$

풀이 보기

$(2n)^{1/n}=2^{1/n}\cdot n^{1/n}$ 으로 나누면, 알려진 극한 $n^{1/n}\to1$ 로 계산할 수 있어요.

1
식을 풀어 써요. 지수법칙으로 $(2n)^{1/n}=2^{1/n}\,n^{1/n}$ 이니까 $a_n=2^{1/n}\,n^{1/n}-n^{1/n}=n^{1/n}\left(2^{1/n}-1\right)$
2
각 부분의 극한을 구해요. $n\to\infty$ 일 때 $\dfrac1n\to0$ 이므로 $2^{1/n}\to2^0=1$ 이에요. 또 $\ln n^{1/n}=\dfrac{\ln n}{n}\to0$ 이라(로그는 $n$ 보다 훨씬 느리게 커져요) $n^{1/n}\to e^0=1$ 이에요.
3
극한의 곱의 성질을 써요. $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}n^{1/n}\cdot\lim_{n\to\infty}\left(2^{1/n}-1\right)=1\cdot(1-1)=0$ (다르게 보면 $(2n)^{1/n}\to1$ , $n^{1/n}\to1$ 이니 차가 $0$ 이에요.)

답

수렴하고 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$

자주 하는 실수

$n^{1/n}$ 에서 $n\to\infty$ 이니 $\infty^0$ 꼴이라 "발산"이라고 단정하는 실수가 있어요(실제로는 1에 수렴).

원본 교재 풀이(영어)

${n}^{1/n}\to 1$ and ${2}^{1/n}\to 1,$ so ${a}_{n}\to 0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 23번

# 수열의 극한값 계산계산보통

3.OpenStax 2권 · 5.1절 · 63번우리말 풀이

[계산기 사용] $0$ 과 $1$ 사이의 수 $x$ 의 이진 표현 $x=0.b_1b_2b_3\ldots$ 은 다음과 같이 정할 수 있습니다. $x<1/2$ 이면 $b_1=0$ , $1/2\le x<1$ 이면 $b_1=1$ 로 둡니다. $x_1=2x-b_1$ 로 둡니다. $x_1<1/2$ 이면 $b_2=0$ , $1/2\le x<1$ 이면 $b_2=1$ 로 둡니다. $x_2=2x_1-b_2$ 로 두고, 일반적으로 $x_n=2x_{n-1}-b_n$ 이며 $x_n<1/2$ 이면 $b_{n-1}=0$ , $1/2\le x_n<1$ 이면 $b_{n-1}=1$ 입니다. $1/3$ 의 이진 전개를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] The binary representation $x=0.{b}_{1}{b}_{2}{b}_{3}...$ of a number $x$ between $0$ and $1$ can be defined as follows. Let ${b}_{1}=0$ if $x<1/2$ and ${b}_{1}=1$ if $1/2\le x<1.$ Let ${x}_{1}=2x-{b}_{1}.$ Let ${b}_{2}=0$ if ${x}_{1}<1/2$ and ${b}_{2}=1$ if $1/2\le x<1.$ Let ${x}_{2}=2{x}_{1}-{b}_{2}$ and in general, ${x}_{n}=2{x}_{n-1}-{b}_{n}$ and ${b}_{n-1}=0$ if ${x}_{n}<1/2$ and ${b}_{n-1}=1$ if $1/2\le {x}_{n}<1.$ Find the binary expansion of $1/3.$

풀이 보기

"두 배 해서 1이 넘으면 1을 적고 1을 빼는" 과정을 되풀이하면 같은 값이 다시 나타나 규칙이 반복돼요.

1
규칙을 이해해요. 이진수 $0.b_1b_2\ldots$ 는 $\dfrac{b_1}2+\dfrac{b_2}4+\cdots$ 를 뜻해요. 수를 두 배 했을 때 $1$ 이상이면 그 자리 숫자는 $1$ (그리고 $1$ 을 빼고), 아니면 $0$ 이에요.
2
$x=\dfrac13$ 으로 시작해요. $\dfrac13<\dfrac12$ 이므로 $b_1=0$ 이고 $x_1=2\cdot\frac13-0=\frac23$
3
다음 단계예요. $x_1=\dfrac23\ge\dfrac12$ 이므로 $b_2=1$ 이고 $x_2=2\cdot\frac23-1=\frac43-1=\frac13$
4
반복을 찾아요. $x_2=\dfrac13$ 은 처음 값과 같아요. 그러니 이후에도 $b_3=0,\ b_4=1,\ \ldots$ 가 같은 순서로 반복돼요. 따라서 $\dfrac13=0.010101\ldots_{(2)}$ 이에요.
5
검산해요. $0.010101\ldots_{(2)}=\dfrac14+\dfrac1{16}+\cdots=\dfrac{1/4}{1-1/4}=\dfrac13$ 으로 맞아요.

답

$\dfrac13=0.010101\ldots_{(2)}$ ( $01$ 이 반복)

자주 하는 실수

$x_1$ 을 계산할 때 $b_1$ 을 빼는 것을 잊어 $x_1=\tfrac23$ 대신 다른 값을 쓰는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

${b}_{1}=0,$ ${x}_{1}=2/3,$ ${b}_{2}=1,$ ${x}_{2}=4/3-1=1/3,$ so the pattern repeats, and $1/3=0.010101\ldots .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 15번

# 수열의 수렴과 발산계산보통

4.OpenStax 2권 · 5.2절 · 21번우리말 풀이

주어진 급수가 수렴하는지 말하고, 그 이유를 설명하세요.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1000}$ (힌트: 인덱스를 바꾸어 다시 쓰세요.)

영어 원문 보기

State whether the given series converges and explain why.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+1000}$ (Hint: Rewrite using a change of index.)

풀이 보기

처음 몇 개의 항을 없애도 급수의 수렴·발산은 변하지 않아요. 그래서 알려진 조화급수와 같아져요.

1
인덱스를 바꿔요. $m=n+1000$ 으로 두면 $n=1$ 일 때 $m=1001$ 이에요. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n+1000}=\sum_{m=1001}^{\infty}\frac1m$ 조화급수 $\sum_{m=1}^\infty\frac1m$ 에서 처음 $1000$ 개 항을 뺀 급수예요.
2
조화급수는 발산해요. 항들을 $\dfrac12$ 이상씩 묶을 수 있어요. 예를 들어 $\frac13+\frac14>\frac14+\frac14=\frac12,\quad \frac15+\cdots+\frac18>\frac48=\frac12,\ \ldots$ 이렇게 묶을 때마다 $\frac12$ 보다 큰 값이 계속 더해져서 합이 한없이 커져요.
3
결론을 내려요. 유한 개의 항을 더하거나 빼도 수렴·발산은 바뀌지 않으므로 이 급수도 발산해요. (각 항이 $0$ 으로 가는데도 발산한다는 점에 주의하세요.)

답

발산한다 ( $\displaystyle\sum_{n=1001}^{\infty}\frac1n$ 과 같음)

자주 하는 실수

일반항이 $0$ 으로 가니 수렴한다고 판단하는 실수가 많아요(그것은 수렴의 필요조건일 뿐이에요).

원본 교재 풀이(영어)

diverges, $\sum_{n=1001}^{\infty }\frac{1}{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인보통

5.OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번우리말 풀이

다음 급수를 서로 소거되는 합(망원합) 꼴로 나타내고, 제 $n$ 항까지의 부분합을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)$

영어 원문 보기

Express the following series as a telescoping sum and evaluate its nth partial sum.

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)$

풀이 보기

로그의 나눗셈은 뺄셈으로 바꿀 수 있어서, 항을 늘어놓으면 가운데 항들이 줄줄이 사라져요.

1
먼저 로그의 성질 $\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b$ 를 써서 일반항을 뺄셈 꼴로 바꿔요.

$\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)=\ln n-\ln(n+1)$

그래서 급수는 $\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big)$ 로 쓸 수 있어요.
2
부분합 $S_k$ 는 처음 $k$ 개의 항을 더한 값이에요. 왜 이렇게 쓰냐면, 항을 직접 늘어놓아야 무엇이 소거되는지 보이기 때문이에요.

$S_k=(\ln 1-\ln 2)+(\ln 2-\ln 3)+(\ln 3-\ln 4)+\cdots+(\ln k-\ln(k+1))$
3
이웃한 항끼리 $-\ln 2$ 와 $+\ln 2$ , $-\ln 3$ 와 $+\ln 3$ 처럼 서로 지워져요. 남는 것은 맨 앞의 $\ln 1$ 과 맨 뒤의 $-\ln(k+1)$ 뿐이에요.
4
$\ln 1=0$ 이므로 부분합은 다음과 같아요.

$S_k=\ln 1-\ln(k+1)=-\ln(k+1)$

참고로 $k\to\infty$ 이면 $S_k\to-\infty$ 이므로 이 급수는 발산해요.

답

$\sum_{n=1}^{\infty}\big(\ln n-\ln(n+1)\big)$ , $\;S_k=-\ln(k+1)$

자주 하는 실수

$\ln 1$ 을 $1$ 로 착각하면 안 돼요. $\ln 1=0$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }\ln n-\ln (n+1),{S}_{k}=-\ln (k+1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 7번

# 급수의 수렴과 발산계산보통