문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 극한 전체 문제

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유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

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풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.1절 · 31번우리말 풀이

다음 각 수열( $n$ 번째 항이 주어져 있음)이 유계인지, 그리고 결국 단조(증가 또는 감소)인지 말하세요.

$\dfrac{n}{2^{n}},\quad n\ge2$

영어 원문 보기

For each of the following sequences, whose $n\text{th}$ terms are indicated, state whether the sequence is bounded and whether it is eventually monotone, increasing, or decreasing.

$n/{2}^{n},$ $n\ge 2$

풀이 보기

항이 모두 양수일 때는 이웃한 항의 비 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ 이 1보다 작은지 큰지로 증가·감소를 판단해요.

1
처음 몇 항을 써 봐요. $a_2=\dfrac12$ , $a_3=\dfrac38$ , $a_4=\dfrac14$ , $a_5=\dfrac5{32}$ 로 점점 줄어드는 것 같아요.
2
비로 감소를 확인해요. 모든 항이 양수이므로 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)/2^{n+1}}{n/2^n}=\frac{n+1}{2n}=\frac12+\frac1{2n}$ $n\ge2$ 이면 이 값은 $\dfrac34$ 이하여서 1보다 작아요. 따라서 $a_{n+1}<a_n$ , 즉 $n\ge2$ 에서 감소수열이에요.
3
유계를 확인해요. 모든 항이 양수라서 아래로 $0$ 보다 크고, 감소하므로 첫 항 $a_2=\dfrac12$ 보다 커질 수 없어요. 즉 $0<a_n\le\dfrac12$ 이므로 유계예요.

답

유계이고, $n\ge2$ 에서 감소

자주 하는 실수

$n=1$ 일 때와 $n=2$ 일 때 값이 같아( $\tfrac12$ ) 처음부터 감소라고 하거나, 비가 1보다 작아지는 $n$ 의 범위를 확인하지 않는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

bounded, decreasing for $n\ge 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 12번

# 수열의 수렴과 발산개념 확인보통

2.OpenStax 2권 · 5.1절 · 39번우리말 풀이

다음과 같이 정의된 수열이 극한을 갖는지 판단하고, 갖는다면 그 극한을 구하세요.

$a_1=3$ , $a_n=\sqrt{2a_{n-1}}$ ( $n=2,3,\ldots$ )

영어 원문 보기

Determine whether the sequence defined as follows has a limit. If it does, find the limit.

${a}_{1}=3,$ ${a}_{n}=\sqrt{2{a}_{n-1}},$ $n=2,3,\ldots .$

풀이 보기

감소하면서 아래로 유계인 수열은 수렴하고, 극한 $a$ 는 $a=\sqrt{2a}$ 를 만족해요.

1
몇 항을 계산해 봐요. $a_1=3$ , $a_2=\sqrt6\approx2.449$ , $a_3=\sqrt{2\cdot2.449}\approx2.213$ 로 줄어들면서 $2$ 에 가까워지는 것 같아요.
2
$a_n>2$ 임을 보여요. $a_1=3>2$ 이고, $a_{n-1}>2$ 이면 $2a_{n-1}>4$ 이므로 $a_n=\sqrt{2a_{n-1}}>2$ 예요. 따라서 모든 항이 $2$ 보다 커요(아래로 유계).
3
감소함을 보여요. $a_n<a_{n-1}$ 은 $\sqrt{2a_{n-1}}<a_{n-1}$ 과 같고, 양변을 제곱하면 $2a_{n-1}<a_{n-1}^2$ , 즉 $a_{n-1}>2$ 예요. 앞 단계에서 이것이 참이므로 수열은 감소해요.
4
수렴하므로 극한을 구해요. 감소하면서 아래로 유계인 수열은 수렴해요. 극한을 $a$ 라 하면 $a_n\to a$ , $a_{n-1}\to a$ 이므로 $a=\sqrt{2a}\;\Rightarrow\;a^2=2a\;\Rightarrow\;a(a-2)=0$ 모든 항이 $2$ 보다 크니 극한은 $0$ 일 수 없고 $a=2$ 예요.

답

수렴하고 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=2$

자주 하는 실수

$a^2=2a$ 에서 $a=0$ 도 답이라고 쓰는 실수가 있어요. 수열이 항상 $2$ 보다 크다는 사실로 $0$ 을 버려야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}$ is decreasing and bounded below by $2.$ The limit $a$ must satisfy $a=\sqrt{2a}$ so $a=2,$ independent of the initial value.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 31번

# 수열의 수렴과 발산개념 확인도전

3.OpenStax 2권 · 5.2절 · 21번우리말 풀이

주어진 급수가 수렴하는지 말하고, 그 이유를 설명하세요.

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1000}$ (힌트: 인덱스를 바꾸어 다시 쓰세요.)

영어 원문 보기

State whether the given series converges and explain why.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n+1000}$ (Hint: Rewrite using a change of index.)

풀이 보기

처음 몇 개의 항을 없애도 급수의 수렴·발산은 변하지 않아요. 그래서 알려진 조화급수와 같아져요.

1
인덱스를 바꿔요. $m=n+1000$ 으로 두면 $n=1$ 일 때 $m=1001$ 이에요. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n+1000}=\sum_{m=1001}^{\infty}\frac1m$ 조화급수 $\sum_{m=1}^\infty\frac1m$ 에서 처음 $1000$ 개 항을 뺀 급수예요.
2
조화급수는 발산해요. 항들을 $\dfrac12$ 이상씩 묶을 수 있어요. 예를 들어 $\frac13+\frac14>\frac14+\frac14=\frac12,\quad \frac15+\cdots+\frac18>\frac48=\frac12,\ \ldots$ 이렇게 묶을 때마다 $\frac12$ 보다 큰 값이 계속 더해져서 합이 한없이 커져요.
3
결론을 내려요. 유한 개의 항을 더하거나 빼도 수렴·발산은 바뀌지 않으므로 이 급수도 발산해요. (각 항이 $0$ 으로 가는데도 발산한다는 점에 주의하세요.)

답

발산한다 ( $\displaystyle\sum_{n=1001}^{\infty}\frac1n$ 과 같음)

자주 하는 실수

일반항이 $0$ 으로 가니 수렴한다고 판단하는 실수가 많아요(그것은 수렴의 필요조건일 뿐이에요).

원본 교재 풀이(영어)

diverges, $\sum_{n=1001}^{\infty }\frac{1}{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번

# 급수의 수렴과 발산개념 확인보통

4.OpenStax 2권 · 5.2절 · 25번우리말 풀이

주어진 급수가 수렴하는지 말하고, 그 이유를 설명하세요.

$1+\dfrac{\pi}{e^{2}}+\dfrac{\pi^{2}}{e^{4}}+\dfrac{\pi^{3}}{e^{6}}+\dfrac{\pi^{4}}{e^{8}}+\cdots$

영어 원문 보기

State whether the given series converges and explain why.

$1+\frac{\pi }{{e}^{2}}+\frac{{\pi }^{2}}{{e}^{4}}+\frac{{\pi }^{3}}{{e}^{6}}+\frac{{\pi }^{4}}{{e}^{8}}+\cdots$

풀이 보기

이웃한 항의 비가 일정하면 등비급수이고, 공비의 절댓값이 1보다 작으면 수렴해요.

1
규칙을 찾아요. 항을 $1,\ \dfrac{\pi}{e^2},\ \left(\dfrac{\pi}{e^2}\right)^2,\ \left(\dfrac{\pi}{e^2}\right)^3,\ \ldots$ 로 쓸 수 있어요. 앞 항에 $\dfrac{\pi}{e^2}$ 를 곱하니 첫째항 $1$ , 공비 $r=\dfrac{\pi}{e^2}$ 인 등비급수예요.
2
공비의 크기를 비교해요. $\pi\approx3.14$ , $e^2\approx7.39$ 이므로 $r\approx0.43<1$ 이에요.
3
결론을 내려요. $|r|<1$ 인 등비급수는 수렴하고, 그 합은 $\dfrac{1}{1-r}=\dfrac{e^2}{e^2-\pi}\approx1.74$ 예요.

답

수렴한다. (공비 $r=\pi/e^2\approx0.43<1$ 인 등비급수)

자주 하는 실수

$\pi>e$ 라서 $\pi/e^2$ 도 1보다 크다고 착각하는 실수가 있어요(분모가 $e^2$ 임에 주의).

원본 교재 풀이(영어)

convergent geometric series, $r=\pi /{e}^{2}<1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 61번

# 등비급수개념 확인기본