문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

급수의 수렴과 발산

부분합의 극한으로 급수의 합을 구하고, aₙ→0 조건으로 발산을 판단한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

5문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.2절 · 3번우리말 풀이

시그마 기호를 써서 다음 식을 무한급수로 나타내세요.

$1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots$

영어 원문 보기

Using sigma notation, write the following expressions as infinite series.

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...$

풀이 보기

분모의 규칙과 부호의 규칙을 따로 찾아 곱해요.

1
분모를 봐요. $1,2,3,4,\ldots$ 이므로 $n$ 번째 항의 크기는 $\dfrac1n$ 이에요.
2
부호를 봐요. $+,-,+,-,\ldots$ 로 번갈아 바뀌어요. 첫 항이 $+$ 이므로 $n=1$ 에서 $+1$ 이 되도록 $(-1)^{n-1}$ 을 써요( $n=2$ 면 $-1$ ).
3
합쳐서 써요. $1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$

답

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$

자주 하는 실수

부호를 $(-1)^n$ 으로 써서 첫 항이 $-1$ 이 되는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 47번

# 급수의 수렴과 발산계산기본

2.OpenStax 2권 · 5.2절 · 7번우리말 풀이

다음과 같이 $n=1$ 부터 시작하는 급수의 $n$ 번째 항이 $a_n$ 일 때, 처음 네 개의 부분합 $S_1,\ldots,S_4$ 를 구하세요.

$a_n=\sin(n\pi/2)$

영어 원문 보기

Compute the first four partial sums ${S}_{1},\ldots ,{S}_{4}$ for the series having $n\text{th}$ term ${a}_{n}$ starting with $n=1$ as follows.

${a}_{n}=\sin (n\pi /2)$

답 쓰고 채점

풀이 보기

부분합 $S_k$ 는 처음 $k$ 개의 항을 더한 값이에요.

1
각 항을 구해요. $\sin\frac{\pi}{2}=1$ , $\sin\pi=0$ , $\sin\frac{3\pi}{2}=-1$ , $\sin2\pi=0$ 이므로 $a_1=1,\ a_2=0,\ a_3=-1,\ a_4=0$ 이에요.
2
차례로 더해요. $S_1=1,\quad S_2=1+0=1,\quad S_3=1+0+(-1)=0,\quad S_4=0+0=0$

답

$S_1=1,\ S_2=1,\ S_3=0,\ S_4=0$

자주 하는 실수

부분합을 항 자체와 혼동해 $S_3=-1$ 처럼 쓰는 실수가 있어요(부분합은 누적한 합이에요).

원본 교재 풀이(영어)

$1,1,0,0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 3번

# 급수의 수렴과 발산계산기본

3.CLP-2 · 3.2절 · 1번우리말 번역

급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 에 대응하는 처음 다섯 개의 부분합을 쓰세요.

각 항을 간단히 할 필요는 없다.

영어 원문 보기

Write out the first five partial sums corresponding to the series $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ .

You don't need to simplify the terms.

정답·풀이 보기

부분합의 수열의 $N$ 번째 항 $S_N$ 은 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 의 처음 $N$ 개 항의 합이다. $\begin{array}{l|l} \mathbf{N}&\mathbf{S_N}\\ \hline 1 & 1\\[7pt] 2 & 1+\frac12\\[7pt] 3 & 1+\frac12 + \frac13\\[7pt] 4 & 1+\frac12 + \frac13+\frac14\\[7pt] 5 & 1+\frac12 + \frac13+\frac14+\frac15\\[7pt] \end{array}$

원본 교재 풀이(영어)

The $N$ th term of the sequence of partial sums, $S_N$ , is the sum of the first $N$ terms of the series $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ . $\begin{array}{l|l} \mathbf{N}&\mathbf{S_N}\\ \hline 1 & 1\\[7pt] 2 & 1+\frac12\\[7pt] 3 & 1+\frac12 + \frac13\\[7pt] 4 & 1+\frac12 + \frac13+\frac14\\[7pt] 5 & 1+\frac12 + \frac13+\frac14+\frac15\\[7pt] \end{array}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 51번

# 급수의 수렴과 발산계산기본자동 분류

4.CLP-2 · 3.2절 · 2번우리말 번역

수업에 오는 학생은 모두 강사에게 쿠키를 가져와 강사의 책상 위에 놓고 간다. $k$ 번째 학생이 온 뒤 강사의 책상 위에 있는 쿠키의 총수를 $C_k$ 라 하자.

$C_{11}=20$ 이고 $C_{10}=17$ 일 때, 11번째 학생은 수업에 쿠키를 몇 개 가져왔는지 구하세요.

영어 원문 보기

Every student who comes to class brings their instructor cookies, and leaves them on the instructor's desk. Let $C_k$ be the total number of cookies on the instructor's desk after the $k$ th student comes.

If $C_{11}=20$ , and $C_{10}=17$ , how many cookies did the 11th student bring to class?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

11번째 학생이 오기 전에 쿠키가 모두 17개였고 온 뒤에 20개였다면, 11번째 학생은 쿠키를 3개 가져온 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

If there were a total of 17 cookies before Student 11 came, and 20 cookies after, then Student 11 brought 3 cookies.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 1번

# 급수의 수렴과 발산계산기본자동 분류

5.CLP-2 · 3.2절 · 5번우리말 번역

$f(N)$ 을 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ 의 $N$ 번째 부분합을 나타내는 식이라 하자. (즉, $f(N)=S_N$ 이다.) 모든 $N > 1$ 에 대해 $f'(N)<0$ 이면, $a_n$ 에 대해 무엇을 알 수 있는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $f(N)$ be a formula for the $N$ th partial sum of $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ . (That is, $f(N)=S_N$ .) If $f'(N)<0$ for all $N > 1$ , what does that say about $a_n$ ?

정답·풀이 보기

$f'(N)<0$ 이면 $f(N)$ 은 감소한다. 따라서 항을 더 더할수록 합이 작아진다. 이는 더해지는 항들이 음수라는 뜻이다. 즉, 모든 $n \geq 2$ 에 대해 $a_n < 0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

If $f'(N)<0$ , that means $f(N)$ is decreasing. So, adding more terms makes for a smaller sum. That means the terms we're adding are negative. That is, $a_n < 0$ for all $n \geq 2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 2번

# 급수의 수렴과 발산계산기본자동 분류