문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 급수 심화

비율 판정법과 근 판정법

|aₙ₊₁/aₙ|, ⁿ√|aₙ|의 극한으로 수렴·발산을 판정한다

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax 2권 · 5.6절 · 59번대학 수준우리말 번역

${a}_{n}={2}^{-[n/2]}$ 이라고 하자. 여기서 $[x]$ 는 $x$ 보다 크지 않은 최대 정수이다. $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴하는지 판단하고, 그 답의 근거를 설명하세요.

영어 원문 보기

Let ${a}_{n}={2}^{-[n/2]}$ where $[x]$ is the greatest integer less than or equal to $x.$ Determine whether $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ converges and justify your answer.

정답·풀이 보기

${a}_{1}=1,$ ${a}_{2}={a}_{3}=1/2,\ldots \,{a}_{2n}={a}_{2n+1}=1/{2}^{n}$ 이다. $n$ 이 짝수이면 ${a}_{n+1}/{a}_{n}=1$ 이므로 비판정법은 적용할 수 없다. 그러나 ${a}_{n+2}/{a}_{n}=1/2$ 이므로 앞의 연습문제에 따라 급수는 수렴한다. 물론 이 급수는 등비급수를 두 번씩 늘어놓은 것일 뿐이다.

원본 교재 풀이(영어)

One has ${a}_{1}=1,$ ${a}_{2}={a}_{3}=1/2,\ldots \,{a}_{2n}={a}_{2n+1}=1/{2}^{n}.$ The ratio test does not apply because ${a}_{n+1}/{a}_{n}=1$ if $n$ is even. However, ${a}_{n+2}/{a}_{n}=1/2,$ so the series converges according to the previous exercise. Of course, the series is just a duplicated geometric series.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.4절 · 4번

# 비율 판정법과 근 판정법증명·논술자동 분류

2.OpenStax 2권 · 5.6절 · 61번대학 수준우리말 번역

${a}_{n}=\frac{1}{1+x}\,\frac{2}{2+x}\cdots \frac{n}{n+x}\,\frac{1}{n}=\frac{(n-1)!}{(1+x)(2+x)\cdots (n+x)}$ 라 하자. ${a}_{2n}/{a}_{n}\le {e}^{-x/2}/2$ 임을 보이세요. 어떤 $x>0$ 에 대해 일반화된 비판정법으로 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}$ 이 수렴함을 알 수 있는지 구하세요. (힌트: $2{a}_{2n}/{a}_{n}$ 을 각각 $1/(1+x/(2n)).)$ 보다 작은 $n$ 개의 인수의 곱으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Let ${a}_{n}=\frac{1}{1+x}\,\frac{2}{2+x}\cdots \frac{n}{n+x}\,\frac{1}{n}=\frac{(n-1)!}{(1+x)(2+x)\cdots (n+x)}.$ Show that ${a}_{2n}/{a}_{n}\le {e}^{-x/2}/2.$ For which $x>0$ does the generalized ratio test imply convergence of $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}?$ (Hint: Write $2{a}_{2n}/{a}_{n}$ as a product of $n$ factors each smaller than $1/(1+x/(2n)).)$

정답·풀이 보기

${a}_{2n}/{a}_{n}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n+1+x}\,\frac{n+2}{n+2+x}\cdots \frac{2n}{2n+x}$ 이다. $k$ 번째 인수의 역수는 $(n+k+x)/(n+k)>1+x/(2n)$ 이므로 곱은 ${(1+x/(2n))}^{-n}\approx {e}^{-x/2}$ 보다 작다. 따라서 $x>0$ 일 때 $\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}\le \frac{1}{2}{e}^{-x/2}$ 이다. 이 급수는 $x>0$ 일 때 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{2n}/{a}_{n}=\frac{1}{2}\cdot \frac{n+1}{n+1+x}\,\frac{n+2}{n+2+x}\cdots \frac{2n}{2n+x}.$ The inverse of the $k\text{th}$ factor is $(n+k+x)/(n+k)>1+x/(2n)$ so the product is less than ${(1+x/(2n))}^{-n}\approx {e}^{-x/2}.$ Thus for $x>0,$ $\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}\le \frac{1}{2}{e}^{-x/2}.$ The series converges for $x>0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 33번

# 비율 판정법과 근 판정법증명·논술자동 분류

3.OpenStax 2권 · 5.6절 · 62번대학 수준우리말 번역

다음 심화 연습문제는 이 장의 판정법(비판정법과 근판정법 포함)만으로는 수렴 여부를 판정하기에 충분하지 않을 때, 특정한 응용에서 나타나는 몇몇 급수의 수렴을 판정하기 위해 일반화된 비판정법을 사용한다. 이 판정법은 $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}<1/2$ 이면 $\sum {a}_{n}$ 이 수렴하고, $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{n}}>1/2$ 이면 $\sum {a}_{n}$ 이 발산한다는 것이다.

${a}_{n}=\frac{{n}^{\ln \,n}}{{(\ln \,n)}^{n}}$ 이라 하자. $n\to \infty$ 일 때 $\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}\to 0$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

The following advanced exercises use a generalized ratio test to determine convergence of some series that arise in particular applications when tests in this chapter, including the ratio and root test, are not powerful enough to determine their convergence. The test states that if $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}<1/2,$ then $\sum {a}_{n}$ converges, while if $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{2n+1}}{{a}_{n}}>1/2,$ then $\sum {a}_{n}$ diverges.

Let ${a}_{n}=\frac{{n}^{\ln \,n}}{{(\ln \,n)}^{n}}.$ Show that $\frac{{a}_{2n}}{{a}_{n}}\to 0$ as $n\to \infty .$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.6절 · 19번

# 비율 판정법과 근 판정법증명·논술자동 분류