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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터 미적분

벡터 미적분 전체 문제

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4문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-4 · 2.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

F(x,y)=(x+y)ı^+(x−y)ȷ^\mathbf{F}(x,y)=(x+y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(x-y)\hat{\boldsymbol{\jmath}} 의 퍼텐셜 φ\varphi 를 구하거나, 퍼텐셜이 존재하지 않음을 증명하세요.

영어 원문 보기

Find a potential φ\varphi for F(x,y)=(x+y)ı^+(x−y)ȷ^\mathbf{F}(x,y)=(x+y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(x-y)\hat{\boldsymbol{\jmath}}, or prove none exists.

정답·풀이 보기

φ\varphi 가 F\mathbf{F} 의 퍼텐셜이면 다음이 성립한다.

  • ∂φ∂x=x+y\frac{\partial \varphi}{\partial x}=x+y 이므로 φ=12x2+xy+ψ1(y)\varphi = \frac{1}{2}x^2+xy+\psi_1(y)
  • ∂φ∂y=x−y\frac{\partial \varphi}{\partial y}=x-y 이므로 φ=xy−12y2+ψ2(x)\varphi = xy-\frac{1}{2}y^2+\psi_2(x)

따라서 예를 들어 φ=12x2+xy−12y2\varphi = \frac{1}{2}x^2+xy-\frac{1}{2}y^2 은 F\mathbf{F} 의 퍼텐셜이다.

원본 교재 풀이(영어)

If φ\varphi is a potential for F\mathbf{F}, then:

  • ∂φ∂x=x+y\frac{\partial \varphi}{\partial x}=x+y, so φ=12x2+xy+ψ1(y)\varphi = \frac{1}{2}x^2+xy+\psi_1(y)
  • ∂φ∂y=x−y\frac{\partial \varphi}{\partial y}=x-y, so φ=xy−12y2+ψ2(x)\varphi = xy-\frac{1}{2}y^2+\psi_2(x)

So, for instance, φ=12x2+xy−12y2\varphi = \frac{1}{2}x^2+xy-\frac{1}{2}y^2 is a potential for F\mathbf{F}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.3절 · 5번
# 보존 벡터장증명·논술보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
2.CLP-4 · 2.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

F(x,y)=(1x−1y)ı^+(xy2)ȷ^\mathbf{F}(x,y)=\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(\frac{x}{y^2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}} 의 퍼텐셜 φ\varphi 를 구하거나, 존재하지 않음을 증명하세요.

영어 원문 보기

Find a potential φ\varphi for F(x,y)=(1x−1y)ı^+(xy2)ȷ^\mathbf{F}(x,y)=\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(\frac{x}{y^2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}, or prove none exists.

정답·풀이 보기

φ\varphi 가 F\mathbf{F} 의 퍼텐셜이면 다음이 성립한다.

  • ∂φ∂x=1x−1y\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac1x-\frac1y 이므로 φ=ln⁡∣x∣−xy+ψ1(y)\varphi = \ln|x|-\frac{x}{y}+\psi_1(y)
  • ∂φ∂y=xy2\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{x}{y^2} 이므로 φ=−xy+ψ2(x)\varphi = -\frac{x}{y}+\psi_2(x)

따라서 예를 들어 φ=ln⁡∣x∣−xy\varphi=\ln |x| - \frac{x}{y} 는 F\mathbf{F} 의 퍼텐셜이다.

원본 교재 풀이(영어)

If φ\varphi is a potential for F\mathbf{F}, then:

  • ∂φ∂x=1x−1y\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac1x-\frac1y, so φ=ln⁡∣x∣−xy+ψ1(y)\varphi = \ln|x|-\frac{x}{y}+\psi_1(y)
  • ∂φ∂y=xy2\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{x}{y^2}, so φ=−xy+ψ2(x)\varphi = -\frac{x}{y}+\psi_2(x)

So, for instance, φ=ln⁡∣x∣−xy\varphi=\ln |x| - \frac{x}{y} is a potential for F\mathbf{F}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.3절 · 9번
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CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
3.CLP-4 · 2.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

F(x,y,z)=(xx2+y2+z2)ı^+(yx2+y2+z2)ȷ^+(zx2+y2+z2)k^\mathbf{F}(x,y,z)=\left( \frac{x}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left( \frac{y}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\left( \frac{z}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\mathbf{k}} 의 퍼텐셜 φ(x,y,z)\varphi(x,y,z) 를 구하거나, 존재하지 않음을 증명하세요.

영어 원문 보기

Find a potential φ(x,y,z)\varphi(x,y,z) for F(x,y,z)=(xx2+y2+z2)ı^+(yx2+y2+z2)ȷ^+(zx2+y2+z2)k^,\mathbf{F}(x,y,z)=\left( \frac{x}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left( \frac{y}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\left( \frac{z}{x^2+y^2+z^2}\right)\hat{\mathbf{k}}, or prove none exists.

정답·풀이 보기

φ(x,y,z)\varphi(x,y,z) 가 F(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z) 의 퍼텐셜이면 다음이 성립한다.

  • ∂φ∂x(x,y,z)=xx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y,z)=\frac{x}{x^2+y^2+z^2} 이므로 φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ1(y,z)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_1(y,z)
  • ∂φ∂y(x,y,z)=yx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y,z)=\frac{y}{x^2+y^2+z^2} 이므로 φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ2(x,z)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_2(x,z)
  • ∂φ∂z(x,y,z)=zx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,y,z)=\frac{z}{x^2+y^2+z^2} 이므로 φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ2(x,y)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_2(x,y)

따라서 예를 들어 φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)\varphi(x,y,z)= \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2+z^2) 는 F(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z) 의 퍼텐셜이다.

원본 교재 풀이(영어)

If φ(x,y,z)\varphi(x,y,z) is a potential for F(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z), then:

  • ∂φ∂x(x,y,z)=xx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y,z)=\frac{x}{x^2+y^2+z^2}, so φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ1(y,z)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_1(y,z)
  • ∂φ∂y(x,y,z)=yx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y,z)=\frac{y}{x^2+y^2+z^2}, so φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ2(x,z)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_2(x,z)
  • ∂φ∂z(x,y,z)=zx2+y2+z2\frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,y,z)=\frac{z}{x^2+y^2+z^2}, so φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)+ψ2(x,y)\varphi(x,y,z) = \frac12\ln(x^2+y^2+z^2)+\psi_2(x,y)

So, for instance, φ(x,y,z)=12ln⁡(x2+y2+z2)\varphi(x,y,z)= \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2+z^2) is a potential for F(x,y,z)\mathbf{F}(x,y,z).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.3절 · 43번
# 보존 벡터장증명·논술보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
4.CLP-4 · 2.4절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 선적분이 경로에 무관함을 보이고, 그 적분의 값을 구하세요.

∫C(yex+sin⁡y) dx+(ex+sin⁡y+xcos⁡y) dy\begin{aligned} \int_C (ye^x + \sin y)\,\mathrm{d}x + (e^x + \sin y + x \cos y)\,\mathrm{d}y \end{aligned}

여기서 CC 는 (1,0)(1, 0) 에서 (0,π/2)(0, \pi/2) 까지의 임의의 경로이다.

영어 원문 보기

Show that the following line integral is independent of path and evaluate the integral.

∫C(yex+sin⁡y) dx+(ex+sin⁡y+xcos⁡y) dy\begin{aligned} \int_C (ye^x + \sin y)\,\mathrm{d}x + (e^x + \sin y + x \cos y)\,\mathrm{d}y \end{aligned}

where CC is any path from (1,0)(1, 0) to (0,π/2)(0, \pi/2).

정답·풀이 보기

이 선적분은 ∫CF⋅dr\int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} 이고 F=(yex+sin⁡y) ı^+(ex+sin⁡y+xcos⁡y) ȷ^\mathbf{F} = (ye^x + \sin y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (e^x + \sin y + x \cos y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} 이다. 이 적분이 경로에 무관함을 보여야 한다. 이는 F\mathbf{F} 가 보존장인 것과 필요충분조건이다. 그러므로 F\mathbf{F} 의 퍼텐셜 φ\varphi 를 찾아보자. 즉, 다음을 만족하는 함수 φ\varphi 를 찾아보자.

∂φ∂x(x,y)=yex+sin⁡y∂φ∂y(x,y)=ex+sin⁡y+xcos⁡y\begin{aligned} \frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y) &= ye^x + \sin y \\ \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y) &= e^x + \sin y + x \cos y \end{aligned}

이 중 첫째 식을 적분하면 다음을 얻는다.

φ(x,y)=yex+xsin⁡y+f(y)\varphi(x,y) = ye^x + x\sin y + f(y)

이것을 둘째 식에 대입하면 다음을 얻는다.

ex+xcos⁡y+f′(y)=ex+sin⁡y+xcos⁡y또는f′(y)=sin⁡ye^x + x\cos y + f'(y) = e^x + \sin y + x \cos y\qquad\text{또는}\quad f'(y) = \sin y

이를 적분하면 다음과 같다.

f(y)=−cos⁡y+Cf(y) = -\cos y + C

따라서 F\mathbf{F} 는 실제로 보존장이며, 퍼텐셜 중 하나는 φ(x,y)=yex+xsin⁡y−cos⁡y\varphi(x,y) = ye^x + x\sin y -\cos y 이고 선적분은 다음과 같다.

∫C(yex+sin⁡y) dx+(ex+sin⁡y+xcos⁡y) dy=∫CF⋅dr=φ(x,y)∣(1,0)(0,π/2)=[yex+xsin⁡y−cos⁡y](1,0)(0,π/2)=1+π2\begin{aligned} \int_C (ye^x + \sin y)\,\mathrm{d}x + (e^x + \sin y + x \cos y)\,\mathrm{d}y &=\int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =\varphi(x,y)\Big|^{(0,\pi/2)}_{(1,0)} \\ &=\Big[ye^x + x\sin y -\cos y\Big]^{(0,\pi/2)}_{(1,0)} \\ &=1+\frac{\pi}{2} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The line integral is ∫CF⋅dr\int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} with F=(yex+sin⁡y) ı^+(ex+sin⁡y+xcos⁡y) ȷ^\mathbf{F} = (ye^x + \sin y)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (e^x + \sin y + x \cos y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}. We are to show that it is independent of path. That is the case if and only if F\mathbf{F} is conservative. So let's look for a potential φ\varphi for F\mathbf{F}. That is, let's look for a function φ\varphi that obeys

∂φ∂x(x,y)=yex+sin⁡y∂φ∂y(x,y)=ex+sin⁡y+xcos⁡y\begin{aligned} \frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y) &= ye^x + \sin y \\ \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y) &= e^x + \sin y + x \cos y \end{aligned}

Integrating the first of these equations gives

φ(x,y)=yex+xsin⁡y+f(y)\varphi(x,y) = ye^x + x\sin y + f(y)

Substituting this into the second equation gives

ex+xcos⁡y+f′(y)=ex+sin⁡y+xcos⁡yorf′(y)=sin⁡ye^x + x\cos y + f'(y) = e^x + \sin y + x \cos y\qquad\text{or}\quad f'(y) = \sin y

which integrates to

f(y)=−cos⁡y+Cf(y) = -\cos y + C

So F\mathbf{F} is indeed conservative with one potential being φ(x,y)=yex+xsin⁡y−cos⁡y\varphi(x,y) = ye^x + x\sin y -\cos y and the line integral is

∫C(yex+sin⁡y) dx+(ex+sin⁡y+xcos⁡y) dy=∫CF⋅dr=φ(x,y)∣(1,0)(0,π/2)=[yex+xsin⁡y−cos⁡y](1,0)(0,π/2)=1+π2\begin{aligned} \int_C (ye^x + \sin y)\,\mathrm{d}x + (e^x + \sin y + x \cos y)\,\mathrm{d}y &=\int_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} =\varphi(x,y)\Big|^{(0,\pi/2)}_{(1,0)} \\ &=\Big[ye^x + x\sin y -\cos y\Big]^{(0,\pi/2)}_{(1,0)} \\ &=1+\frac{\pi}{2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6장 복습 · 17번
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CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)