발산 정리 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.CLP-4 · 4.2절 · 36번대학 수준우리말 번역

$V$ 를 곡면 $\partial V$ 로 둘러싸인 $\mathbb{R}^3$ 의 입체라 하자. 다음을 보이세요.

$\iint _{\partial V}\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S=3\,\text{Volume}(V)$

여기서 $\mathbf{r}=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}$ 이고, 평소처럼 $\hat{\mathbf{n}}$ 은 $\partial V$ 의 바깥쪽 법선이다. 이 결과를 기하학적으로 설명할 수 있는지 확인해 보세요.

영어 원문 보기

Let $V$ be a solid in $\mathbb{R}^3$ with surface $\partial V$ . Show that

$\iint _{\partial V}\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S=3\,\text{Volume}(V)$

where $\mathbf{r}=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}}$ and, as usual, $\hat{\mathbf{n}}$ is the outer normal to $\partial V$ . See if you can explain this result geometrically.

정답·풀이 보기

발산 정리에 의해

$\iint _{\partial V}\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S =\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{r}\,\mathrm{d}V =\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot(x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}V =\iiint _V 3\,\mathrm{d}V =3\,\text{Volume}(V)$

기하학적 설명은 다음 관찰에서 시작한다. 꼭짓점이 $(0,0,0)$ 이고 밑면이 곡면의 아주 작은 조각 $\mathrm{d}S$ 인 원뿔의 부피는 밑면의 넓이와 원뿔의 높이를 곱한 값의 $\frac{1}{3}$ 배이다. 원뿔의 높이는 $|\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r}|$ 이고, 여기서 $\mathbf{r}$ 은 $\mathrm{d}S$ 위의 한 점이다. 따라서 원뿔의 부피는 $\frac{1}{3}|\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r}|\,\mathrm{d}S$ 이다.

먼저 $(0,0,0)$ 이 $V$ 안에 있고 $V$ 가 볼록하다고 가정하자. 그러면

$\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r}>0$ 이고, 부피는 $\frac{1}{3} \hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r} \,\mathrm{d}S$ 이다.
원뿔은 $V$ 에 포함되고,
$V$ 는 $\mathrm{d}S$ 가 $\partial V$ 전체를 움직일 때 생기는 모든 아주 작은 원뿔 조각들의 합집합이다.

따라서

$\text{Volume}(V)=\frac{1}{3}\iint _{\partial V}\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S$

$V$ 가 볼록하지 않거나 $(0,0,0)$ 이 $V$ 안에 있지 않은 경우로 일반화하려면, $V$ 를 큰 볼록 입체 하나와 하나 이상의 더 작은 볼록 입체들의 차로 나타내면 된다.

원본 교재 풀이(영어)

By the divergence theorem

$\iint _{\partial V}\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S =\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{r}\,\mathrm{d}V =\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot(x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+z\,\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}V =\iiint _V 3\,\mathrm{d}V =3\,\text{Volume}(V)$

Our gemetric explanation starts with the observation that the volume of the cone with vertex $(0,0,0)$ and base a tiny piece of surface $\mathrm{d}S$ is $\frac{1}{3}$ times the area of the base times the height of the cone. The height of the cone is $|\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r}|$ , where $\mathbf{r}$ is a point in $\mathrm{d}S$ . So the volume of the cone is $\frac{1}{3}|\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r}|\,\mathrm{d}S$ .

First assume that $(0,0,0)$ is in $V$ and $V$ is convex. Then

$\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r}>0$ , and the volume is $\frac{1}{3} \hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf{r} \,\mathrm{d}S$ .
the cone is contained in $V$ and
$V$ is the union of all the tiny conical pieces with $\mathrm{d}S$ running over $\partial V$ .

So

$\text{Volume}(V)=\frac{1}{3}\iint _{\partial V}\mathbf{r}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S$

To generalise to the case that $V$ is not convex or $(0,0,0)$ is not in $V$ , write $V$ as the difference between a large convex solid and one or more smaller convex solids.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 17번

# 발산 정리증명·논술도전자동 분류

2.CLP-4 · 4.2절 · 40번대학 수준우리말 번역

(a) 벡터장 $\mathbf{F} = (x + \sin y, z + y, z^2)$ 의 발산을 구하세요. (b) 양의 $z$ 방향으로 향하도록 방향이 정해진 윗반구 $x^2 + y^2 + z^2 = 25$ , $z \ge 0$ 을 지나는 $\mathbf{F}$ 의 선속(플럭스)을 구하세요. (c) 선속 $\iint _S\mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ 가 $-9$ 가 되는, 방향이 정해진 닫힌 곡면 $S$ 를 하나 제시하세요.

영어 원문 보기

(a) Find the divergence of the vector field $\mathbf{F} = (x + \sin y, z + y, z^2)$ . (b) Find the flux of $\mathbf{F}$ through the upper hemisphere $x^2 + y^2 + z^2 = 25$ , $z \ge 0$ , oriented in the positive $z$ -direction. (c) Specify an oriented closed surface $S$ , such that the flux $\iint _S\mathbf{F} \cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ is equal to $-9$ .

정답·풀이 보기

(a) $\mathbf{F}$ 의 발산은 다음과 같다.

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} &= \tfrac{\partial}{\partial x}(x+\sin y) +\tfrac{\partial}{\partial y}(z+y) +\tfrac{\partial}{\partial z}(z^2) \\ &=2+2z \end{aligned}$

(b) 다음과 같이 놓자.

$\begin{aligned} V &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 25,\ 0\le z\le \sqrt{25-x^2-y^2}\ \big\} \\ S_T &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+z^2 = 25,\ z\ge 0\ \big\} \\ S_B &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2 \le 25,\ z= 0\ \big\} \end{aligned}$

$V$ 의 경계 $\partial V$ 는 두 부분, 즉 위쪽 법선을 갖는 $S_T$ 와 법선이 $-\hat{\mathbf{k}}$ 인 $S_B$ 로 이루어져 있음에 주목하자. 우리가 구할 것은 위쪽 법선을 갖는 $S_T$ 를 지나는 선속이다. 발산 정리에 의해 이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \iint _{S_T} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V - \iint _{S_B} \mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \\ &= \iiint _V (2+2z)\,\mathrm{d}V \end{aligned}$

$S_B$ 위에서 $\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{k}}=z^2=0$ 이기 때문이다. 이 부피적분을 $z$ 에 대한 적분이 바깥쪽에 오는 반복적분으로 나타내어 계산하자. $V$ 에서 $z$ 는 $0$ 부터 $5$ 까지의 값을 가진다. $V$ 에서 높이가 정확히 $z$ 인 점들의 집합은 $\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 25-z^2\ \big\}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \iint _{S_T} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= \int_0^5\mathrm{d}z \iint _{x^2+y^2\le 25-z^2} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\ (2+2z) = \int_0^5\mathrm{d}z\ (2+2z)\iint _{x^2+y^2\le 25-z^2} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &= \int_0^5\mathrm{d}z\ \pi(25-z^2) (2+2z) \\ \\ \text{$\iint _{x^2+y^2\le 25-z^2} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ 는 반지름이 $\sqrt{25-z^2}$ 인 원판의 넓이이므로} \\ &= \pi\int_0^5\mathrm{d}z\ (50 -2z^2 +50z -2z^3) \\ &=\pi\Big(50\times 5-2\frac{5^3}{3} +50\frac{5^2}{2}-2\frac{5^4}{4}\Big) =\pi 5^3 \Big(2-\frac{2}{3} +5-\frac{5}{2}\Big) = \pi\,5^3 \Big(\frac{4}{3}+\frac{5}{2}\Big) \\ &=\pi\frac{23}{6} 5^3 =\frac{2875}{6}\pi \end{aligned}$

(c) 먼저 입체 $V$ 의 경계인 임의의 닫힌 곡면 $S$ 를 생각하자. 다음과 같이 쓴다.

$S$ 의 법선은 바깥쪽을 향하는 것을 사용한다.
$|V|$ 는 $V$ 의 부피를 나타낸다.
$\bar z=\frac{1}{|V|}\iiint _V z\ \mathrm{d}V$ 는 $V$ 의 무게중심 (즉 밀도가 상수인 질량중심)의 $z$ 성분을 나타낸다.

그러면 발산 정리에 의해

$\begin{aligned} \iint _{S} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V =\iiint _V (2+2z)\,\mathrm{d}V =2\iiint _V \,\mathrm{d}V +2\iiint _V z\,\mathrm{d}V \\ &=2|V| +2|V|\bar z \end{aligned}$

이 값이 $-9$ 가 될 필요충분조건은

$\begin{aligned} 2|V|\bar z =-9-2|V| \iff \bar z = -\frac{9}{2|V|}-1 \end{aligned}$

이 조건을 만족하는 곡면의 하나는 $\big(0,0, -\frac{11}{2}\big)$ 을 중심으로 하는 (바깥쪽 법선을 갖는) 단위 정육면체이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The divergence of $\mathbf{F}$ is

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} &= \tfrac{\partial}{\partial x}(x+\sin y) +\tfrac{\partial}{\partial y}(z+y) +\tfrac{\partial}{\partial z}(z^2) \\ &=2+2z \end{aligned}$

(b) Set

$\begin{aligned} V &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 25,\ 0\le z\le \sqrt{25-x^2-y^2}\ \big\} \\ S_T &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+z^2 = 25,\ z\ge 0\ \big\} \\ S_B &= \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2 \le 25,\ z= 0\ \big\} \end{aligned}$

Note that the boundary, $\partial V$ , of $V$ consists ot two parts — $S_T$ with upward normal, and $S_B$ with normal $-\hat{\mathbf{k}}$ . We are to find the flux through $S_T$ with upward normal. By the divergence theorem, it is

$\begin{aligned} \iint _{S_T} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V - \iint _{S_B} \mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S \\ &= \iiint _V (2+2z)\,\mathrm{d}V \end{aligned}$

since $\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{k}}=z^2=0$ on $S_B$ . We'll compute the volume integral by expressing it as an iterated integral, with the $z$ integration on the outside. In $V$ , $z$ ranges for $0$ to $5$ . The set of points at exactly height $z$ in $V$ is $\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2\le 25-z^2\ \big\}$ . So

$\begin{aligned} \iint _{S_T} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &= \int_0^5\mathrm{d}z \iint _{x^2+y^2\le 25-z^2} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\ (2+2z) = \int_0^5\mathrm{d}z\ (2+2z)\iint _{x^2+y^2\le 25-z^2} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\ &= \int_0^5\mathrm{d}z\ \pi(25-z^2) (2+2z) \\ \\ \text{since $\iint _{x^2+y^2\le 25-z^2} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ is the area of a disk of radius $\sqrt{25-z^2}$} \\ &= \pi\int_0^5\mathrm{d}z\ (50 -2z^2 +50z -2z^3) \\ &=\pi\Big(50\times 5-2\frac{5^3}{3} +50\frac{5^2}{2}-2\frac{5^4}{4}\Big) =\pi 5^3 \Big(2-\frac{2}{3} +5-\frac{5}{2}\Big) = \pi\,5^3 \Big(\frac{4}{3}+\frac{5}{2}\Big) \\ &=\pi\frac{23}{6} 5^3 =\frac{2875}{6}\pi \end{aligned}$

(c) To start, consider any closed surface $S$ that is the boundary of a solid $V$ . Use

the outward pointing normal for $S$ ,
$|V|$ to denote the volume of $V$ , and
$\bar z=\frac{1}{|V|}\iiint _V z\ \mathrm{d}V$ to denote the $z$ -component of the centroid (i.e. centre of mass with constant density) of $V$ .

Then, by the divergence theorem

$\begin{aligned} \iint _{S} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V =\iiint _V (2+2z)\,\mathrm{d}V =2\iiint _V \,\mathrm{d}V +2\iiint _V z\,\mathrm{d}V \\ &=2|V| +2|V|\bar z \end{aligned}$

This takes the value $-9$ if and only if

$\begin{aligned} 2|V|\bar z =-9-2|V| \iff \bar z = -\frac{9}{2|V|}-1 \end{aligned}$

One surface which obeys this condition is the unit cube (with outward normal) centred on $\big(0,0, -\frac{11}{2}\big)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.7절 · 4번

# 발산 정리계산도전자동 분류

3.CLP-4 · 4.2절 · 43번대학 수준우리말 번역

$S$ 를 타원면 $x^2+2y^2+3z^2=16$ 이라 하고, $\hat{\mathbf{n}}$ 을 그 바깥쪽 단위법선벡터라 하자.

(a) $\mathbf{F}(x,y,z)=\dfrac{(x,y,z)-(2,1,1)}{{\big[(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\big]}^{3/2}}$ 일 때 $\iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ 의 값을 구하세요. (b) $\mathbf{G}(x,y,z)=\dfrac{(x,y,z)-(3,2,2)}{{\big[(x-3)^2+(y-2)^2+(z-2)^2\big]}^{3/2}}$ 일 때 $\iint _S \mathbf{G}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $S$ be the ellipsoid $x^2+2y^2+3z^2=16$ and $\hat{\mathbf{n}}$ its outward unit normal.

(a) Find $\iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ if $\mathbf{F}(x,y,z)=\dfrac{(x,y,z)-(2,1,1)}{{\big[(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\big]}^{3/2}}$ . (b) Find $\iint _S \mathbf{G}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$ if $\mathbf{G}(x,y,z)=\dfrac{(x,y,z)-(3,2,2)}{{\big[(x-3)^2+(y-2)^2+(z-2)^2\big]}^{3/2}}$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a), (b) 두 경우 모두 발산 정리를 이용한다. 먼저 예비 계산으로, 임의의 $(a,b,c)$ 에 대해 $\mathbf{H}(x,y,z)=\frac{(x,y,z)-(a,b,c)}{{[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-b)^2]}^{3/2}}$ 의 발산을 구하자. $(x,y,z)\ne(a,b,c)$ 이면

$\begin{aligned} &{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{H}(x,y,z) \\ & =\frac{\partial }{\partial x}\frac{x-a} {{[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2]}^{3/2}} +\frac{\partial }{\partial y}\frac{y-b} {{[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2]}^{3/2}} \\& +\frac{\partial }{\partial z}\frac{z-c} {{[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2]}^{3/2}} \\ & =\frac{\big[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\big]\ -\ (x-a)\ \frac{3}{2}(2(x-a))} {{\big[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\big]}^{5/2}} \\& +\frac{\big[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\big]\ -\ (y-b)\ \frac{3}{2}(2y)} {{\big[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\big]}^{5/2}} \\& +\frac{\big[(x-a)^2+(y-b)^2+z^2\big]\ -\ (z-c)\ \frac{3}{2}(2(z-c))} {{\big[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\big]}^{5/2}} \\ & =\frac{3\big[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\big]\ -\ 3(x-a)^2-3(y-b)^2-3(z-c)^2} {{\big[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\big]}^{5/2}} \\ &=0 \end{aligned}$

$(x,y,z)=(a,b,c)$ 이면 $\mathbf{H}(x,y,z)$ 가 정의되지 않으므로 ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{H}(x,y,z)$ 도 정의되지 않는다.

(b) 위의 예비 계산에서 $(a,b,c)=(3,2,2)$ 로 놓으면, ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{G}$ 는 $(x,y,z)\ne (3,2,2)$ 인 모든 $(x,y,z)$ 에서 정의되고 0이다. 특히 다음 영역 $V$ 의 모든 $(x,y,z)$ 에서 그렇다.

$V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+2y^2+3z^2\le 16\ \big\}$

따라서 발산 정리에 의해

$\begin{aligned} \iint _S \mathbf{G}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{G}\,\mathrm{d}V =0 \end{aligned}$

(a) $(1,1,2)$ 는 $V$ 의 내부에 있으므로 (b)의 논증으로는 적분값이 0이라고 결론지을 수 없다. $\varepsilon >0$ 을 충분히 작게 잡아서

$S_\varepsilon = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ (x-2)^2 + (y-1)^2 +(z-1)^2=\varepsilon ^2\ \big\}$

가 아래 그림처럼 $V$ 안에 완전히 포함되도록 한다.

다음과 같이 놓는다.

$V_\varepsilon =\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+2y^2+3z^2\le 16,\ (x-2)^2 + (y-1)^2 +(z-1)^2\ge\varepsilon ^2\ \big\}$

$V$ 의 경계 $\partial V_\varepsilon$ 은 위 그림의 법선벡터와 함께 $S$ 와 $S_\varepsilon$ 두 부분으로 이루어진다. $\mathbf{F}$ 의 발산 ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}$ 는 $V_\varepsilon$ 전체에서 잘 정의되고 0이다. 따라서 발산 정리에 의해

$\begin{aligned} 0 &= \iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V = \iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S + \iint _{S_\varepsilon } \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S \end{aligned}$

그러므로

$\iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = -\iint _{S_\varepsilon } \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$

$S_\varepsilon$ 위의 점 $(x,y,z)$ 에서 $S_\varepsilon$ 의 단위법선벡터는

$\hat{\mathbf{n}} =-\frac{1}{\varepsilon }\big[(x-2)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (y-1)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +(z-1)\,\hat{\mathbf{k}}\big]$

이다. ( $S_\varepsilon$ 위에서 $|(2-1)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (y-1)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +(z-1)\,\hat{\mathbf{k}}|=\varepsilon$ 임을 기억하자.) 따라서 $S_\varepsilon$ 위에서

$\begin{aligned} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} &= -\frac{1}{\varepsilon } \left(\frac{(x,y,z)-(2,1,1)}{{\big[(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\big]}^{3/2}}\right) \cdot\big[(x-2)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (y-1)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +(z-1)\,\hat{\mathbf{k}}\big] \\ &=-\frac{1}{\varepsilon } \left(\frac{(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2}{{\big[(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\big] }^{3/2}}\right)\\ &= -\frac{1}{\varepsilon ^2} \end{aligned}$

이다. 따라서

$\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = -\iint _{S_\varepsilon } \left(-\frac{1}{\varepsilon ^2}\right)\,\mathrm{d}S =\frac{1}{\varepsilon ^2} (4\pi\varepsilon ^2) =4\pi \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We will be using the divergence theorem in both parts (a) and $b$ . So as a prelimary calculation, let's find the divergence of $\mathbf{H}(x,y,z)=\frac{(x,y,z)-(a,b,c)}{{[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-b)^2]}^{3/2}}$ for any $(a,b,c)$ . If $(x,y,z)\ne(a,b,c)$ ,

$\begin{aligned} &{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{H}(x,y,z) \\ & =\frac{\partial }{\partial x}\frac{x-a} {{[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2]}^{3/2}} +\frac{\partial }{\partial y}\frac{y-b} {{[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2]}^{3/2}} \\& +\frac{\partial }{\partial z}\frac{z-c} {{[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2]}^{3/2}} \\ & =\frac{\big[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\big]\ -\ (x-a)\ \frac{3}{2}(2(x-a))} {{\big[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\big]}^{5/2}} \\& +\frac{\big[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\big]\ -\ (y-b)\ \frac{3}{2}(2y)} {{\big[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\big]}^{5/2}} \\& +\frac{\big[(x-a)^2+(y-b)^2+z^2\big]\ -\ (z-c)\ \frac{3}{2}(2(z-c))} {{\big[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\big]}^{5/2}} \\ & =\frac{3\big[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\big]\ -\ 3(x-a)^2-3(y-b)^2-3(z-c)^2} {{\big[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\big]}^{5/2}} \\ &=0 \end{aligned}$

If $(x,y,z)=(a,b,c)$ , $\mathbf{H}(x,y,z)$ is not defined and hence ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{H}(x,y,z)$ is also not defined.

(b) By the above preliminary computation with $(a,b,c)=(3,2,2)$ , ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{G}$ is defined and zero for all $(x,y,z)\ne (3,2,2)$ , and, in particular for all $(x,y,z)$ in

$V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+2y^2+3z^2\le 16\ \big\}$

So, by the divergence theorem,

$\begin{aligned} \iint _S \mathbf{G}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{G}\,\mathrm{d}V =0 \end{aligned}$

(a) Because $(1,1,2)$ is inside $V$ , we cannot use the argument of part (b), to conclude that the integral is zero. Let $\varepsilon >0$ be small enough that

$S_\varepsilon = \big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ (x-2)^2 + (y-1)^2 +(z-1)^2=\varepsilon ^2\ \big\}$

is completely contained inside $V$ , as in the sketch below.

Set

$V_\varepsilon =\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+2y^2+3z^2\le 16,\ (x-2)^2 + (y-1)^2 +(z-1)^2\ge\varepsilon ^2\ \big\}$

The boundary, $\partial V_\varepsilon$ , of $V$ consists of two parts — $S$ and $S_\varepsilon$ , with the normals as in the figure above. The divergence ${ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}$ of $\mathbf{F}$ is well-defined and zero throughout $V_\varepsilon$ . Consequently, the divergence theorem gives

$\begin{aligned} 0 &= \iiint _V{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V = \iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S + \iint _{S_\varepsilon } \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S \end{aligned}$

So

$\iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = -\iint _{S_\varepsilon } \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S$

The unit normal to $S_\varepsilon$ at the point $(x,y,z)$ on $S_\varepsilon$ is

$\hat{\mathbf{n}} =-\frac{1}{\varepsilon }\big[(x-2)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (y-1)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +(z-1)\,\hat{\mathbf{k}}\big]$

(Recall that $|(2-1)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (y-1)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +(z-1)\,\hat{\mathbf{k}}|=\varepsilon$ on $S_\varepsilon$ . So, on $S_\varepsilon$ ,

$\begin{aligned} \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}} &= -\frac{1}{\varepsilon } \left(\frac{(x,y,z)-(2,1,1)}{{\big[(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\big]}^{3/2}}\right) \cdot\big[(x-2)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + (y-1)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +(z-1)\,\hat{\mathbf{k}}\big] \\ &=-\frac{1}{\varepsilon } \left(\frac{(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2}{{\big[(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\big] }^{3/2}}\right)\\ &= -\frac{1}{\varepsilon ^2} \end{aligned}$

Hence

$\begin{aligned} \iint _S \mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S = -\iint _{S_\varepsilon } \left(-\frac{1}{\varepsilon ^2}\right)\,\mathrm{d}S =\frac{1}{\varepsilon ^2} (4\pi\varepsilon ^2) =4\pi \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 40번

# 발산 정리계산도전자동 분류

4.CLP-4 · 4.2절 · 45번대학 수준우리말 번역

$S$ 가 바깥쪽 법선장 $\hat{\mathbf{n}}$ 을 갖는 매끄러운 닫힌 곡면이면, $\mathbb{R}^3$ 에서 정의된 임의의 매끄러운 함수 $p(x,y,z)$ 에 대해 다음이 성립함을 기억하세요.

$\iint _S p\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}s=\iiint _E \nabla p\ \mathrm{d}V$

여기서 $E$ 는 $S$ 로 둘러싸인 입체입니다. 이 결과로부터, 상수 압력의 기체 속에 놓인 입체의 겉면에 작용하는 전체 힘이 0임을 보이세요. (압력은 곡면에 수직인 방향으로 작용함을 기억하세요.)

영어 원문 보기

Recall that if $S$ is a smooth closed surface with outer normal field $\hat{\mathbf{n}}$ , then for any smooth function $p(x,y,z)$ on $\mathbb{R}^3$ , we have

$\iint _S p\hat{\mathbf{n}}\ \mathrm{d}s=\iiint _E \nabla p\ \mathrm{d}V$

where $E$ is the solid bounded by $S$ . Show that as a consequence, the total force exerted on the surface of a solid body contained in a gas of constant pressure is zero. (Recall that the pressure acts in the direction normal to the surface.)

정답·풀이 보기

압력은 곡면 안쪽으로 수직하게 작용하는, 단위 겉넓이당 힘이다. 따라서 단위 겉넓이당 힘은 $-p\hat{\mathbf{n}}$ 이다. $S$ 에 작용하는 전체 힘은

$-\iint _S p\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S=-\iiint _E \nabla p\ \mathrm{d}V$

이다. $p$ 가 상수라고 가정하므로 $\nabla p=0$ 이고, 따라서 전체 힘은 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

Pressure is force per unit surface area acting normally into a surface. So the force per unit surface area is $-p\hat{\mathbf{n}}$ . The total force acting on $S$ is

$-\iint _S p\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S=-\iiint _E \nabla p\ \mathrm{d}V$

We are assuming that $p$ is a constant, so that $\nabla p=0$ and the total force is zero.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 43번

# 발산 정리증명·논술도전자동 분류

5.CLP-4 · 4.2절 · 47번대학 수준우리말 번역

$\ \mathbf{F}= (x^2+y^2+z^2)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(e^{x^2}+y^2)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(3+x+z)\,\hat{\mathbf{k}}\$ 라 하고, $S$ 를 곡면 $\ x^2+y^2+z^2=2az+3a^2\$ 중 $\ z\ge 0$ 인 부분이라 하자. $S$ 의 방향은 법선이 원점에서 멀어지는 쪽을 향하도록 정한다. 여기서 $a>0$ 은 상수이다. $S$ 를 지나는 $\mathbf{F}$ 의 플럭스를 계산하세요.

영어 원문 보기

Let $\ \mathbf{F}= (x^2+y^2+z^2)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(e^{x^2}+y^2)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(3+x+z)\,\hat{\mathbf{k}}\$ and let $S$ be the part of the surface $\ x^2+y^2+z^2=2az+3a^2\$ having $\ z\ge 0$ , oriented with normal pointing away from the origin. Here $a>0$ is a constant. Compute the flux of $\mathbf{F}$ through $S$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$z^2-2az = (z-a)^2 -a^2$ 이므로 다음을 얻는다.

$S=\big\{ \ (x,y,z\ \big|\ x^2+y^2 +(z-a)^2=4a^2,\ z\ge 0\ \big\}$

$V$ 를 다음과 같은 입체라 하자.

$V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+(z-a)^2\le 4a^2,\ z\ge 0\ \big\}$

이것은 중심이 $(0,0,a)$ 이고 반지름이 $2a$ 인 구의 내부이다. $V$ 의 경계면(바깥쪽 법선)은 $S$ (법선이 원점에서 멀어지는 쪽을 향함)와 원판

$B=\big\{ \ (x,y,0)\ \big|\ x^2+y^2\le 3a^2\ \big\}$

(법선 $-\hat{\mathbf{k}}$ )의 합집합이다. 따라서 발산 정리에 의해

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S &=\iiint _V\mathbf{n}\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V-\iint _B\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S\\ &=\iiint _V(2x+2y+1)\,\mathrm{d}V-\iint _B(-3-x)\,\mathrm{d}S \end{aligned}$

이다. $V$ 와 $B$ 는 모두 $x\rightarrow -x$ 와 $y\rightarrow -y$ 에 대해 불변이므로 $\iiint _Vx\,\mathrm{d}V=\iiint _Vy\,\mathrm{d}V=\iint _B x\,\mathrm{d}S=0$ 이고,

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S &=\iiint _V \,\mathrm{d}V+3\iint _B\,\mathrm{d}S \end{aligned}$

이다.

$V$ 에 대한 적분을 계산하기 위해, $z$ 는 $0$ 에서 $3a$ 까지 변하고

$V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le 3a,\ x^2+y^2\le 4a^2-(z-a)^2,\ z\ge 0\ \big\}$

의 $z$ 를 고정한 단면은 원판 $x^2+y^2\le 4a^2-(z-a)^2 = 3a^2 +2a z - z^2$ 이며, 이 원판의 넓이는 $\pi\big({\sqrt{3a^2+2az-z^2}\,}\big)^2$ 임에 주목한다. 따라서

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S & =\int_0^{3a}\pi\big({\sqrt{3a^2+2az-z^2}\,}\big)^2\,\mathrm{d}z+3\,\text{넓이}(B)\\ &=\pi\int_0^{3a}(3a^2+2az-z^2)\,\mathrm{d}z+3\pi(3a^2)\\ &=\pi \left(3a^2\times 3a+2a\times\frac{9a^2}{2}-\frac{27a^3}{3}\right) +9\pi a^2 \\ &= 9\pi a^3+9\pi a^2 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Note that, since $z^2-2az = (z-a)^2 -a^2$ ,

$S=\big\{ \ (x,y,z\ \big|\ x^2+y^2 +(z-a)^2=4a^2,\ z\ge 0\ \big\}$

Let $V$ be the solid

$V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ x^2+y^2+(z-a)^2\le 4a^2,\ z\ge 0\ \big\}$

It is the interior of the sphere of radius $2a$ centred on $(0,0,a)$ . The surface of $V$ (with outward normal) is the union of $S$ (with normal pointing away from the origin) and the disk

$B=\big\{ \ (x,y,0)\ \big|\ x^2+y^2\le 3a^2\ \big\}$

with normal $-\hat{\mathbf{k}}$ . Hence, by the Divergence Theorem

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S &=\iiint _V\mathbf{n}\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V-\iint _B\mathbf{F}\cdot(-\hat{\mathbf{k}})\,\mathrm{d}S\\ &=\iiint _V(2x+2y+1)\,\mathrm{d}V-\iint _B(-3-x)\,\mathrm{d}S \end{aligned}$

Both $V$ and $B$ are invariant under $x\rightarrow -x$ and under $y\rightarrow -y$ , so $\iiint _Vx\,\mathrm{d}V=\iiint _Vy\,\mathrm{d}V=\iint _B x\,\mathrm{d}S=0$ and

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S &=\iiint _V \,\mathrm{d}V+3\iint _B\,\mathrm{d}S \end{aligned}$

To evaluate the integral over $V$ , we note that $z$ runs from $0$ to $3a$ and that the cross section of

$V=\big\{ \ (x,y,z)\ \big|\ 0\le z\le 3a,\ x^2+y^2\le 4a^2-(z-a)^2,\ z\ge 0\ \big\}$

with fixed $z$ is the circular disk $x^2+y^2\le 4a^2-(z-a)^2 = 3a^2 +2a z - z^2$ , which has area $\pi\big({\sqrt{3a^2+2az-z^2}\,}\big)^2$ . So

$\begin{aligned} \iint _S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\, \mathrm{d}S & =\int_0^{3a}\pi\big({\sqrt{3a^2+2az-z^2}\,}\big)^2\,\mathrm{d}z+3\,\text{Area}(B)\\ &=\pi\int_0^{3a}(3a^2+2az-z^2)\,\mathrm{d}z+3\pi(3a^2)\\ &=\pi \left(3a^2\times 3a+2a\times\frac{9a^2}{2}-\frac{27a^3}{3}\right) +9\pi a^2 \\ &= 9\pi a^3+9\pi a^2 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 50번

# 발산 정리계산도전자동 분류

6.CLP-4 · 4.2절 · 50번대학 수준우리말 번역

매끄러운 곡면 $\mathcal{S}$ 가 평면 $z=0$ 위쪽에 놓여 있고, 평면 $z=0$ 위의 원 $x^2+y^2=4y$ 를 경계로 가진다. 이 원은 또한 그 평면 위의 원판 $D$ 의 경계이기도 하다. $\mathcal{S}$ 와 $D$ 로 둘러싸인 3차원 영역 $R$ 의 부피는 10 세제곱단위이다. $\mathbf{F}(x,y,z)=(x+x^2y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(y-xy^2)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(z+2x+3y)\hat{\mathbf{k}}$ 의 $R$ 에서 바깥쪽 방향으로 $\mathcal{S}$ 를 지나는 플럭스를 구하세요.

영어 원문 보기

A smooth surface $\mathcal{S}$ lies above the plane $z=0$ and has as its boundary the circle $x^2+y^2=4y$ in the plane $z=0$ . This circle also bounds a disk $D$ in that plane. The volume of the 3-dimensional region $R$ bounded by $\mathcal{S}$ and $D$ is 10 cubic units. Find the flux of $\mathbf{F}(x,y,z)=(x+x^2y)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(y-xy^2)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+(z+2x+3y)\hat{\mathbf{k}}$ through $\mathcal{S}$ in the direction outward from $R$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

원 $x^2+y^2=4y$ , 즉 $x^2+(y-2)^2=4$ 는 반지름이 $2$ 이고 중심이 $(0,2)$ 이다. 아랫면에서는 $z=0$ 이고 바깥쪽 법선벡터는 $-\hat{\mathbf{k}}$ 이므로 $\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =-\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{k}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =-\iint _D(2x+3y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 이다. 대칭성에 의해 원판의 무게중심 $(\bar x,\bar y)$ 는 $(0,2)$ 이다. 여기서 $\bar x$ 와 $\bar y$ 는 평균값

$\begin{aligned} \bar x = \frac{\iint _D x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\iint _D \mathrm{d}x\mathrm{d}y}\qquad \bar y = \frac{\iint _D y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\iint _D \mathrm{d}x\mathrm{d}y} \end{aligned}$

이며, 각각 $D$ 위에서 $x$ 와 $y$ 의 평균값이다. 원판 $D$ 의 넓이가 $4\pi$ 이므로

$\iint _D x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =4\pi\bar x =0\qquad \iint _D y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =4\pi\bar y =8\pi$

이고 $\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =-4\pi(2\bar x+3\bar y) =-4\pi(2\times 0+3\times 2) =-24\pi$ 이다. 또한

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} &=\frac{\partial }{\partial x}(x+x^2y) +\frac{\partial }{\partial y}(y-xy^2) +\frac{\partial }{\partial z}(z+2x+3y) =(1+2xy)+(1-2xy)+(1)\\ &=3 \end{aligned}$

이므로 발산 정리에 의해

$\begin{aligned} \iint _{\mathcal{S}}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _R{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V -\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S\\ &=\iiint _R3\ \mathrm{d}V -(-24\pi) =3\text{Vol}(R)+24\pi =3\times10+24\pi \\ &=30+24\pi \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The circle $x^2+y^2=4y$ , or equivalently, $x^2+(y-2)^2=4$ , has radius $2$ and centre $(0,2)$ . On the bottom surface, $z=0$ and the outward normal is $-\hat{\mathbf{k}}$ , so that $\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =-\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{k}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =-\iint _D(2x+3y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ By symmetry, the centre of mass, $(\bar x,\bar y)$ , of the circle is $(0,2)$ . Here $\bar x$ and $\bar y$ are the average values

$\begin{aligned} \bar x = \frac{\iint _D x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\iint _D \mathrm{d}x\mathrm{d}y}\qquad \bar y = \frac{\iint _D y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\iint _D \mathrm{d}x\mathrm{d}y} \end{aligned}$

of $x$ and $y$ over $D$ . As the disk $D$ has area $4\pi$ ,

$\iint _D x\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =4\pi\bar x =0\qquad \iint _D y\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y =4\pi\bar y =8\pi$

and $\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S =-4\pi(2\bar x+3\bar y) =-4\pi(2\times 0+3\times 2) =-24\pi$ As

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F} &=\frac{\partial }{\partial x}(x+x^2y) +\frac{\partial }{\partial y}(y-xy^2) +\frac{\partial }{\partial z}(z+2x+3y) =(1+2xy)+(1-2xy)+(1)\\ &=3 \end{aligned}$

the divergence theorem gives

$\begin{aligned} \iint _{\mathcal{S}}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S &=\iiint _R{ \boldsymbol{\nabla} }\cdot\mathbf{F}\ \mathrm{d}V -\iint _{D}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{n}}\,\mathrm{d}S\\ &=\iiint _R3\ \mathrm{d}V -(-24\pi) =3\text{Vol}(R)+24\pi =3\times10+24\pi \\ &=30+24\pi \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 45번

# 발산 정리활용도전자동 분류