벡터와 공간 전체 연습문제

1.CLP-4 · 1.4절 · 2번대학 수준우리말 번역

공식 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|=|\mathbf{r}'(t)|$ 에서 $s$ 는 속력을 뜻하나요, 아니면 호의 길이를 뜻하나요?

영어 원문 보기

In the formula $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|=|\mathbf{r}'(t)|$ does $s$ stand for speed, or for arclength?

정답·풀이 보기

이 식에서 $s$ 는 호의 길이를 뜻한다.

$t$ 에서 $t+h$ 까지의 아주 작은 구간을 잡으면, 곡선이 직선으로 근사되므로 호의 길이의 변화량 $s(t+h)-s(t)$ 는 근사적으로 $|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|$ 이다. 따라서 $\frac{s(t+h)-s(t)}{h} \approx \frac{|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|}{h}$ 이고, 이로부터 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}|=|\mathbf{v}(t)|$ 를 얻는다.

속도의 크기는 속력이며, 이 교재에서는 보통 이것을 $v$ 로 나타낸다. 즉 $v=|\mathbf{v}(t)|$ 이다. 이 때문에 $s$ 는 호의 길이를, $v$ 는 속력을 뜻한다는, 혼동하기 쉽지만 표준적인 관례가 생긴다.

원본 교재 풀이(영어)

In this equation, $s$ stands for arclength.

When we take a very small interval from $t$ to $t+h$ , the change in arclength $s(t+h)-s(t)$ is approximately $|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|$ , because our curve is approximated by a straight line. So, $\frac{s(t+h)-s(t)}{h} \approx \frac{|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|}{h}$ , leading to $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}|=|\mathbf{v}(t)|$ .

The magnitude of velocity is speed; in this text we generally call this $v$ . That is, $v=|\mathbf{v}(t)|$ . This leads to the potentially confusing (but standard) convention that $s$ stands for arclength, while $v$ stands for speed.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.4절 · 31번

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