빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 극한·미분 심화

선형근사와 미분소

접선으로 함숫값을 근사하고, dy로 변화량과 오차를 어림한다

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풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

3문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-1 · 3.4절 · 5번대학 수준우리말 번역

선형 근사를 이용하여 5\sqrt{5} 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Use a linear approximation to estimate 5\sqrt{5}.

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4 는 완전제곱수이고 5 에 가까우므로, 함수 f(x)=xf(x)=\sqrt{x} 를 x=4x=4 에서 근사한다.

f(4)=4=2f′(x)=12x⇒f′(4)=124=14f(x)≈f(4)+f′(4)(x−4)=2+14(x−4)f(5)≈2+14(5−4)=94\begin{aligned} f(4)&=\sqrt{4}=2\\ f'(x)&=\frac{1}{2\sqrt{x}} \qquad \Rightarrow \qquad f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}\\ f(x) &\approx f(4)+f'(4)(x-4)=2+\frac{1}{4}(x-4)\\ f(5)&\approx 2+\frac{1}{4}(5-4)=\frac{9}{4} \end{aligned}

5≈94\sqrt{5}\approx\dfrac{9}{4} 로 어림한다.

참고: (94)2=8116\left(\dfrac{9}{4}\right)^2=\dfrac{81}{16} 이고, 이는 8016=5\dfrac{80}{16}=5 에 꽤 가깝다. 따라서 이 근삿값은 꽤 좋아 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

We approximate the function f(x)=xf(x)=\sqrt{x} about x=4x=4, since 4 is a perfect square and it is close to 5.

f(4)=4=2f′(x)=12x⇒f′(4)=124=14f(x)≈f(4)+f′(4)(x−4)=2+14(x−4)f(5)≈2+14(5−4)=94\begin{aligned} f(4)&=\sqrt{4}=2\\ f'(x)&=\frac{1}{2\sqrt{x}} \qquad \Rightarrow \qquad f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}\\ f(x) &\approx f(4)+f'(4)(x-4)=2+\frac{1}{4}(x-4)\\ f(5)&\approx 2+\frac{1}{4}(5-4)=\frac{9}{4} \end{aligned}

We estimate 5≈94\sqrt{5}\approx\dfrac{9}{4}.

Remark: (94)2=8116\left(\dfrac{9}{4}\right)^2=\dfrac{81}{16}, which is pretty close to 8016=5\dfrac{80}{16}=5. Our approximation seems pretty good.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 4번
# 선형근사와 미분소계산보통자동 분류
2.CLP-1 · 3.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

선형 근사를 이용하여 305\sqrt[5]{30} 을 어림하세요

영어 원문 보기

Use a linear approximation to estimate 305\sqrt[5]{30}

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함수 f(x)=x5f(x)=\sqrt[5]{x} 를 근사한다. f(a)f(a) 와 f′(a)f'(a) 를 알 수 있고 aa 가 3030 에서 너무 멀지 않도록, 어떤 값 x=ax=a 를 중심으로 근사해야 한다.

f(x)=x5=x15f′(x)=15x−45=15x54a 는 5제곱근을 아는 수여야 한다. 325=2 이고 32는 30에 꽤 가까우므로 a=32 가 아주 좋은 선택이다.f(32)=325=2f′(32)=15⋅24=180x=32 에서 f(x) 의 선형 근사는f(x)≈2+180(x−32)x=30 일 때:f(30)≈2+180(30−32)=2−140=7940\begin{aligned} f(x)&=\sqrt[5]{x}=x^{\frac{1}{5}}\\ f'(x)&=\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{5\sqrt[5]{x}^4} \\ \text{$a$ 는 5제곱근을 아는 수여야 한다. $\sqrt[5]{32}=2$ 이고 32는 30에 꽤 가까우므로 $a=32$ 가 아주 좋은 선택이다.} \\ f(32)&=\sqrt[5]{32}=2\\ f'(32)&=\frac{1}{5\cdot 2^4}=\frac{1}{80} \\ \text{$x=32$ 에서 $f(x)$ 의 선형 근사는} \\ f(x) &\approx 2+\frac{1}{80}(x-32) \\ \text{$x=30$ 일 때:} \\ f(30) &\approx 2+\frac{1}{80}(30-32)=2-\frac{1}{40}=\frac{79}{40} \end{aligned}

따라서 305≈7940\sqrt[5]{30}\approx \dfrac{79}{40} 로 어림한다.

참고: 7940=1.975\dfrac{79}{40} = 1.975 이고, 305≈1.97435\sqrt[5]{30} \approx 1.97435 이다. 꽤 괜찮은 어림이다.

원본 교재 풀이(영어)

We approximate the function f(x)=x5f(x)=\sqrt[5]{x}. We need to centre the approximation about some value x=ax=a such that we know f(a)f(a) and f′(a)f'(a), and aa is not too far from 3030.

f(x)=x5=x15f′(x)=15x−45=15x54a needs to be a number whose fifth root we know. Since 325=2, and 32 is reasonably close to 30, a=32 is a great choice.f(32)=325=2f′(32)=15⋅24=180The linear approximation of f(x) about x=32 isf(x)≈2+180(x−32)When x=30:f(30)≈2+180(30−32)=2−140=7940\begin{aligned} f(x)&=\sqrt[5]{x}=x^{\frac{1}{5}}\\ f'(x)&=\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{5\sqrt[5]{x}^4} \\ \text{$a$ needs to be a number whose fifth root we know. Since $\sqrt[5]{32}=2$, and 32 is reasonably close to 30, $a=32$ is a great choice.} \\ f(32)&=\sqrt[5]{32}=2\\ f'(32)&=\frac{1}{5\cdot 2^4}=\frac{1}{80} \\ \text{The linear approximation of $f(x)$ about $x=32$ is} \\ f(x) &\approx 2+\frac{1}{80}(x-32) \\ \text{When $x=30$:} \\ f(30) &\approx 2+\frac{1}{80}(30-32)=2-\frac{1}{40}=\frac{79}{40} \end{aligned}

We estimate 305≈7940\sqrt[5]{30}\approx \dfrac{79}{40}.

Remark: 7940=1.975\dfrac{79}{40} = 1.975, while 305≈1.97435\sqrt[5]{30} \approx 1.97435. This is a decent estimation.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 5번
# 선형근사와 미분소계산보통자동 분류
3.CLP-1 · 3.4절 · 3번대학 수준우리말 번역

f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x 라 하자.

(a) 선형 근사를 이용하여 f(5.1)−f(5)f(5.1)-f(5) 를 어림하세요. (b) 이차 근사를 이용하여 f(5.1)−f(5)f(5.1)-f(5) 를 어림하세요.

영어 원문 보기

Let f(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x.

(a) Use a linear approximation to estimate f(5.1)−f(5)f(5.1)-f(5). (b) Use a quadratic approximation to estimate f(5.1)−f(5)f(5.1)-f(5).

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

먼저 x=5x=5 에서 ff 의 1계 미분계수와 2계 미분계수를 구하자.

f′(x)=11+x2f′(5)=126f′′(x)=−2x(1+x2)2f′′(5)=−10262\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{1+x^2} & f'(5)&=\frac{1}{26}\\ f''(x)&=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2} & f''(5)&=\frac{-10}{26^2} \end{aligned}

Δx=110 일 때 Δy 의 선형 근사는Δy≈f′(5)Δx=126⋅110=1260≈0.003846Δx=110 일 때 Δy 의 이차 근사는Δy≈f′(5)Δx+12f′′(5)(Δx)2=126⋅110+12⋅−10262⋅1102=5113520≈0.003772\begin{aligned} \\ \text{$\Delta x = \dfrac{1}{10}$ 일 때 $\Delta y$ 의 선형 근사는} \\ \Delta y &\approx f'(5)\Delta x = \frac{1}{26}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{260} \approx 0.003846 \\ \text{$\Delta x = \dfrac{1}{10}$ 일 때 $\Delta y$ 의 이차 근사는} \\ \Delta y &\approx f'(5)\Delta x + \frac{1}{2}f''(5)\left(\Delta x\right)^2 = \frac{1}{26}\cdot\frac{1}{10}+\frac{1}{2}\cdot\frac{-10}{26^2}\cdot\frac{1}{10^2}=\frac{51}{13520}\approx 0.003772 \end{aligned}

참고: Δy=arctan⁡(5.1)−arctan⁡(5)≈0.003774\Delta y = \arctan(5.1)-\arctan(5)\approx 0.003774 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First, let's find the first and second derivatives of ff when x=5x=5.

f′(x)=11+x2f′(5)=126f′′(x)=−2x(1+x2)2f′′(5)=−10262\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{1+x^2} & f'(5)&=\frac{1}{26}\\ f''(x)&=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2} & f''(5)&=\frac{-10}{26^2} \end{aligned}

The linear approximation for Δy when Δx=110 isΔy≈f′(5)Δx=126⋅110=1260≈0.003846The quadratic approximation for Δy when Δx=110 isΔy≈f′(5)Δx+12f′′(5)(Δx)2=126⋅110+12⋅−10262⋅1102=5113520≈0.003772\begin{aligned} \\ \text{The linear approximation for $\Delta y$ when $\Delta x = \dfrac{1}{10}$ is} \\ \Delta y &\approx f'(5)\Delta x = \frac{1}{26}\cdot \frac{1}{10}=\frac{1}{260} \approx 0.003846 \\ \text{The quadratic approximation for $\Delta y$ when $\Delta x = \dfrac{1}{10}$ is} \\ \Delta y &\approx f'(5)\Delta x + \frac{1}{2}f''(5)\left(\Delta x\right)^2 = \frac{1}{26}\cdot\frac{1}{10}+\frac{1}{2}\cdot\frac{-10}{26^2}\cdot\frac{1}{10^2}=\frac{51}{13520}\approx 0.003772 \end{aligned}

Remark: Δy=arctan⁡(5.1)−arctan⁡(5)≈0.003774\Delta y = \arctan(5.1)-\arctan(5)\approx 0.003774.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 2번
# 선형근사와 미분소계산보통자동 분류