문제 은행 · 기초 수학 · 공통수학2 · 함수와 그래프

함수와 그래프 전체 문제

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유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

4문제 · 1 / 1쪽

1.OpenStax Intermediate Algebra · 8.6절 · 49번우리말 풀이

무리방정식 $\sqrt{a+5}-\sqrt{a}=1$ 을 푸세요.

영어 원문 보기

Solve Radical Equations with Two Radicals

In the following exercises, solve.

$\sqrt{a+5}-\sqrt{a}=1$

답 쓰고 채점

풀이 보기

근호를 한쪽에 하나만 남기고 제곱해서 근호를 없애요. 제곱하면 가짜 해가 생길 수 있으니 마지막에 꼭 대입해 확인해요.

1
근호를 한쪽으로 옮겨요. $\sqrt{a+5}=1+\sqrt{a}$ 예요.
2
양변을 제곱해요. $a+5=1+2\sqrt{a}+a$ 예요.
3
정리해요. $a$ 가 양쪽에서 사라져서 $4=2\sqrt{a}$ , 곧 $\sqrt a=2$ 가 돼요.
4
한 번 더 제곱해요. $a=4$ 예요.
5
검증해요. $\sqrt{4+5}-\sqrt4=3-2=1$ 로 맞아요. 그래서 $a=4$ 는 참인 해예요.

답

$a=4$

자주 하는 실수

$(1+\sqrt a)^2$ 을 $1+a$ 로 전개해서 가운데 항 $2\sqrt a$ 를 빼먹기 쉬워요. 제곱 뒤 검증도 잊지 마세요.

원본 교재 풀이(영어)

$a=4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 9.6절 · 3번

# 무리함수계산도전

2.OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 11번우리말 풀이

두 함수 $f(x)=2x^3$ , $g(x)=3x^2+2$ 에 대하여 ⓐ $(f\circ g)(-1)$ ⓑ $(g\circ f)(1)$ ⓒ $(g\circ g)(1)$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, find the values described.

For functions $f(x)=2{x}^{3}$ and $g(x)=3{x}^{2}+2,$ find ⓐ $(f\circ g)(-1)$ ⓑ $(g\circ f)(1)$ ⓒ $(g\circ g)(1)$

답 쓰고 채점

ⓐ

ⓑ

ⓒ

풀이 보기

$(f\circ g)(x)=f(g(x))$ 는 안쪽 함수의 값을 먼저 구한 뒤 바깥 함수에 넣어요.

1
ⓐ $g(-1)=3\cdot1+2=5$ 이고 $f(5)=2\cdot125=250$ 이에요.
2
ⓑ $f(1)=2\cdot1=2$ 이고 $g(2)=3\cdot4+2=14$ 예요.
3
ⓒ $g(1)=3+2=5$ 이고 $g(5)=3\cdot25+2=77$ 이에요.
4
순서를 기억해요. ⓐ와 ⓑ는 같은 두 함수를 쓰지만 순서가 바뀌면 값이 $250$ 과 $14$ 로 달라요.

답

ⓐ $250$ ⓑ $14$ ⓒ $77$

자주 하는 실수

$(f\circ g)(x)$ 를 $g$ 에 먼저 넣지 않고 $f$ 에 먼저 넣는 실수가 많아요. 안쪽(오른쪽)에 있는 함수부터 계산해요.

원본 교재 풀이(영어)

ⓐ 250 ⓑ 14 ⓒ 77

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 1번

# 합성함수와 역함수계산보통

3.OpenStax Algebra and Trigonometry · 3.4절 · 77번우리말 풀이

$f(x)=2x^{2}+1,\ g(x)=3x+5$ 일 때, 합성함수 $f(g(x))$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the functions $f(x)=2{x}^{2}+1$ and $g(x)=3x+5$ to evaluate or find the composite function as indicated.

$f(g(x))$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$f(g(x))$ 는 $f$ 의 $x$ 자리에 $g(x)$ 전체를 넣는 거예요.

1
안쪽 함수를 대입해요. $f(g(x))=2\,(g(x))^{2}+1=2(3x+5)^{2}+1$
2
제곱을 전개해요. $(3x+5)^{2}=9x^{2}+30x+25$ 예요.
3
2배 하고 1을 더해요. $2(9x^2+30x+25)+1=18x^2+60x+50+1=18x^2+60x+51$

답

$f(g(x))=18x^{2}+60x+51$

자주 하는 실수

$(3x+5)^2$ 를 $9x^2+25$ 로 쓰면 가운데 항 $30x$ 가 빠져요. 또 순서를 바꿔 $g(f(x))$ 를 구하면 $6x^2+8$ 이 되어 완전히 달라요.

원본 교재 풀이(영어)

$18{x}^{2}+60x+51$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Intermediate Algebra · 10.1절 · 11번

# 합성함수와 역함수계산보통

4.OpenStax Algebra and Trigonometry · 5.6절 · 17번우리말 풀이

함수 $f(x)=\dfrac{x+5}{x^{2}-25}$ 의 정의역, 수직점근선, 수평점근선을 구하세요.

영어 원문 보기

For the following exercises, find the domain, vertical asymptotes, and horizontal asymptotes of the functions.

$f(x)=\frac{x+5}{{x}^{2}-25}$

풀이 보기

분모가 $0$ 이 되는 값은 정의역에서 빼요. 분자와 분모에 공통인수가 있으면 약분해서 구멍과 수직점근선을 구별해요.

1
정의역을 구해요. 분모 $x^2-25=(x-5)(x+5)=0$ 에서 $x=5,\ -5$ 이므로 정의역은 $x\ne 5,\ -5$ 인 모든 실수예요.
2
약분해서 모양을 봐요. $f(x)=\dfrac{x+5}{(x-5)(x+5)}=\dfrac{1}{x-5}$ (단, $x\ne -5$ ) 예요.
3
수직점근선을 찾아요. 약분하고도 분모에 남은 $x-5$ 때문에 $x=5$ 가 수직점근선이에요. $x=-5$ 는 약분되어 사라지므로 점근선이 아니라 그래프에 구멍이 생기는 곳이에요.
4
수평점근선을 찾아요. 분자의 차수( $1$ )가 분모의 차수( $2$ )보다 작으니 $x\to\pm\infty$ 일 때 $f(x)\to 0$ 이라서 $y=0$ 이에요.

답

정의역: $x\ne 5,\,-5$ 인 모든 실수 / 수직점근선: $x=5$ / 수평점근선: $y=0$

자주 하는 실수

분모가 $0$ 인 $x=-5$ 도 수직점근선이라고 쓰는 실수가 많아요. 분자에도 $x+5$ 가 있어 약분되는 값은 구멍이에요.

원본 교재 풀이(영어)

V.A. at $x=5;$ H.A. at $y=0;$ Domain is all reals $x\ne 5,-5$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax Elementary Algebra · 8.1절 · 9번

# 유리함수개념 확인도전