빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 미분

다항함수의 미분법

xⁿ의 미분, 상수배·합·차·곱의 미분법으로 다항함수의 도함수를 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

1문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-1 · 2.6절 · 18번우리말 번역

두 곡선 y=x2y=x^2 과 y=−x2+2x−5y=-x^2+2x-5 에 모두 접하는 직선을 모두 구하세요. 답을 그래프로 그려 나타내세요.

영어 원문 보기

Find all lines that are tangent to both of the curves y=x2y=x^2 and y=−x2+2x−5y=-x^2+2x-5. Illustrate your answer with a sketch.

정답·풀이 보기

직선 y=mx+by=mx+b 가 x=αx=\alpha 에서 y=x2y=x^2 에 접할 조건은 2α=m 그리고 α2=mα+b  ⟺  m=2α 그리고 b=−α22\alpha=m\text{ 그리고 }\alpha^2=m\alpha+b \iff m=2\alpha\text{ 그리고 }b=-\alpha^2 이다. 같은 직선 y=mx+by=mx+b 가 x=βx=\beta 에서 y=−x2+2x−5y=-x^2+2x-5 에 접할 조건은

−2β+2=m 그리고 −β2+2β−5=mβ+b  ⟺  m=2−2β 그리고 b=−β2+2β−5−(2−2β)β=β2−5\begin{aligned} -2\beta+2=m&\text{ 그리고 }-\beta^2+2\beta-5=m\beta+b\\ \iff m=2-2\beta&\text{ 그리고 }b=-\beta^2+2\beta-5-(2-2\beta)\beta=\beta^2-5 \end{aligned}

이다. 직선이 두 포물선에 동시에 접하려면 m=2α=2−2β 그리고 b=−α2=β2−5m=2\alpha=2-2\beta\text{ 그리고 }b=-\alpha^2=\beta^2-5 이어야 한다. α=1−β\alpha=1-\beta 를 −α2=β2−5-\alpha^2=\beta^2-5 에 대입하면 −(1−β)2=β2−5-(1-\beta)^2=\beta^2-5, 즉 2β2−2β−4=02\beta^2-2\beta-4=0 이므로 β=−1,2\beta=-1,2 이다. 이에 대응하는 나머지 값은 α=2,−1\alpha=2,-1, m=4,−2m=4,-2, b=−4,−1b=-4,-1 이다. 따라서 두 직선은 y=4x−4y=4x-4 와 y=−2x−1y=-2x-1 이다.

그림

원본 교재 풀이(영어)

The line y=mx+by=mx+b is tangent to y=x2y=x^2 at x=αx=\alpha if 2α=m and α2=mα+b  ⟺  m=2α and b=−α22\alpha=m\text{ and }\alpha^2=m\alpha+b \iff m=2\alpha\text{ and }b=-\alpha^2 The same line y=mx+by=mx+b is tangent to y=−x2+2x−5y=-x^2+2x-5 at x=βx=\beta if

−2β+2=m and −β2+2β−5=mβ+b  ⟺  m=2−2β and b=−β2+2β−5−(2−2β)β=β2−5\begin{aligned} -2\beta+2=m&\text{ and }-\beta^2+2\beta-5=m\beta+b\\ \iff m=2-2\beta&\text{ and }b=-\beta^2+2\beta-5-(2-2\beta)\beta=\beta^2-5 \end{aligned}

For the line to be simultaneously tangent to the two parabolas we need m=2α=2−2β and b=−α2=β2−5m=2\alpha=2-2\beta\text{ and }b=-\alpha^2=\beta^2-5 Substituting α=1−β\alpha=1-\beta into −α2=β2−5-\alpha^2=\beta^2-5 gives −(1−β)2=β2−5-(1-\beta)^2=\beta^2-5 or 2β2−2β−4=02\beta^2-2\beta-4=0 or β=−1,2\beta=-1,2. The corresponding values of the other parameters are α=2,−1\alpha=2,-1, m=4,−2m=4,-2 and b=−4,−1b=-4,-1. The two lines are y=4x−4y=4x-4 and y=−2x−1y=-2x-1.

figure

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 4번
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