미분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

1.OpenStax 1권 · 3.1절 · 1번우리말 풀이

다음 문제에서는 $Q=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 써서 각 함수 $y=f(x)$ 의 $x_1$ 과 $x_2$ 사이 할선의 기울기를 구하세요.

$f(x)=4x+7;\ x_1=2,\ x_2=5$

영어 원문 보기

For the following exercises, use $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ to find the slope of the secant line between the values ${x}_{1}$ and ${x}_{2}$ for each function $y=f(x).$

$f(x)=4x+7;{x}_{1}=2,{x}_{2}=5$

답 쓰고 채점

풀이 보기

할선의 기울기는 두 점 사이의 평균변화율, 즉 $\dfrac{y\text{의 변화량}}{x\text{의 변화량}}$ 이에요.

1
두 점의 $y$ 값을 구해요. $f(2)=4\cdot2+7=15$ , $f(5)=4\cdot5+7=27$ 이에요.
2
기울기 공식에 넣어요.

$\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{27-15}{3}=\frac{12}{3}=4$
3
확인해요. 일차함수의 그래프는 직선이라 어느 두 점을 잡아도 기울기가 같아요. 계수 $4$ 와 같은 값이 나온 것이 맞아요.

답

$4$

자주 하는 실수

분자와 분모를 빼는 순서를 서로 다르게 해서 부호가 틀려요.

원본 교재 풀이(영어)

$4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 5번

# 평균변화율과 미분계수계산기본

2.OpenStax 1권 · 3.1절 · 5번우리말 풀이

다음 문제에서 $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 이용해, 각 함수 $y=f(x)$ 에서 $x_1$ 과 $x_2$ 사이의 할선의 기울기를 구하세요.

$f(x)=\frac{4}{3x-1};\ x_1=1,\ x_2=3$

영어 원문 보기

For the following exercises, use $Q=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ to find the slope of the secant line between the values ${x}_{1}$ and ${x}_{2}$ for each function $y=f(x).$

$f(x)=\frac{4}{3x-1};{x}_{1}=1,{x}_{2}=3$

답 쓰고 채점

풀이 보기

두 점을 지나는 할선의 기울기는 두 점의 $y$ 좌표 차를 $x$ 좌표 차로 나눈 평균변화율이에요.

1
두 점의 함숫값을 구해요. $f(1)=\dfrac{4}{3-1}=2$ , $f(3)=\dfrac{4}{9-1}=\dfrac{1}{2}$ 예요. 따라서 두 점은 $(1,2)$ , $\left(3,\tfrac12\right)$ 이에요.
2
기울기 공식에 넣어요. $Q=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{\frac12-2}{2}=\frac{-\frac32}{2}=-\frac34$

답

$-\dfrac{3}{4}$

자주 하는 실수

분모 $3x-1$ 에 $x$ 를 넣을 때 $3\cdot 3-1=8$ 을 $3\cdot 3-1=6$ 처럼 계산 실수하는 경우가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{3}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 37번

# 평균변화율과 미분계수계산기본

3.OpenStax 1권 · 3.1절 · 13번우리말 풀이

다음 함수에 대해

a. $m_{\tan}=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 를 써서 접선의 기울기 $m_{\tan}=f'(a)$ 를 구하세요. b. $x=a$ 에서 $f$ 의 접선의 방정식을 구하세요.

$f(x)=x^{2}+x,\ a=1$

영어 원문 보기

For the following functions,

a. use ${m}_{\tan }=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ to find the slope of the tangent line ${m}_{\tan }={f}^{'}(a),$ and b. find an equation of the tangent line to $f$ at $x=a.$

$f(x)={x}^{2}+x,a=1$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

풀이 보기

미분계수는 정의대로 극한을 구하고, 접선은 점 $(a,f(a))$ 와 그 기울기로 직선을 세워요.

1
(a) 필요한 값을 준비해요. $f(1)=1^2+1=2$ 이고 $f(1+h)=(1+h)^2+(1+h)=2+3h+h^2$ 이에요.
2
차를 구해서 $h$ 로 나눠요.

$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{3h+h^2}{h}=3+h$
3
극한을 취해요. $h\to0$ 이면 $3+h\to3$ 이므로 $f'(1)=3$ 이에요.
4
(b) 접선을 세워요. 접점은 $(1,2)$ , 기울기는 $3$ 이므로 $y-2=3(x-1)$ 이고 정리하면 $y=3x-1$ 이에요.

답

(a) $3$ (b) $y=3x-1$

자주 하는 실수

$h$ 로 나누기 전에 $h\to0$ 을 먼저 넣어 $0/0$ 이 되어 막혀요. 먼저 식을 정리해 $h$ 를 약분해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $3$ b. $y=3x-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 29번

# 평균변화율과 미분계수계산보통

4.OpenStax 1권 · 3.1절 · 17번우리말 풀이

다음 함수에 대해

a. $m_{\tan}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 를 이용해 접선의 기울기 $m_{\tan}=f'(a)$ 를 구하고, b. $x=a$ 에서 $f$ 에 접하는 직선의 방정식을 구하세요.

$f(x)=2-3x^2,\ a=-2$

영어 원문 보기

For the following functions,

a. use ${m}_{\tan }=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ to find the slope of the tangent line ${m}_{\tan }={f}^{'}(a),$ and b. find an equation of the tangent line to $f$ at $x=a.$

$f(x)=2-3{x}^{2},a=-2$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

풀이 보기

미분계수의 정의 식에서 분자를 전개하면 $h$ 가 약분되고, 남은 식에 $h\to 0$ 을 넣어요.

1
함숫값을 구해요. $f(-2)=2-3\cdot 4=-10$ 이에요. 그리고 $f(-2+h)=2-3(4-4h+h^2)=-10+12h-3h^2$
2
a: 정의 식을 계산해요. $\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\frac{12h-3h^2}{h}=12-3h$ 이제 $h\to 0$ 이면 $12-3h\to 12$ 이므로 $f'(-2)=12$ 예요.
3
b: 접선의 방정식을 세워요. 접점은 $(-2,-10)$ , 기울기는 $12$ 이므로 $y+10=12(x+2)\ \Rightarrow\ y=12x+14$

답

a. $12$ b. $y=12x+14$

자주 하는 실수

$(-2+h)^2$ 를 전개할 때 $4+h^2$ 으로 가운데 항을 빠뜨리는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $12$ b. $y=12x+14$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.1절 · 3번

# 접선의 방정식계산보통

5.OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번우리말 풀이

다음 함수 $y=f(x)$ 에 대해 $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 써서 $f'(a)$ 를 구하세요.

$f(x)=\sqrt{x},\ a=4$

영어 원문 보기

For the following functions $y=f(x),$ find ${f}^{'}(a)$ using ${f}^{'}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .

$f(x)=\sqrt{x},a=4$

답 쓰고 채점

풀이 보기

$\sqrt{x}-2$ 처럼 제곱근이 있는 분자는 켤레식 $\sqrt{x}+2$ 를 곱해서 $x-4$ 를 만들면 약분돼요.

1
식을 세워요. $f(4)=\sqrt4=2$ 이므로

$f'(4)=\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$

대입하면 $\dfrac00$ 꼴이라 식을 바꿔야 해요.
2
분자를 유리화해요. 분자와 분모에 $\sqrt{x}+2$ 를 곱하면 $(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4$ 가 돼요.

$\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}$
3
약분하고 극한을 구해요. $x\ne4$ 이므로 $x-4$ 를 약분하면 $\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$ 이고, $x\to4$ 이면 $\dfrac{1}{2+2}=\dfrac14$ 이에요.

답

$\dfrac14$

자주 하는 실수

$\sqrt{x}-2$ 를 $\sqrt{x-4}$ 처럼 합쳐서 계산하거나, 켤레식을 분자에만 곱해요.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 13번

# 평균변화율과 미분계수계산보통

6.OpenStax 1권 · 3.1절 · 29번우리말 풀이

다음 함수 $y=f(x)$ 에 대해 $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 를 이용해 $f'(a)$ 를 구하세요.

$f(x)=\dfrac{1}{x^3},\ a=1$

영어 원문 보기

For the following functions $y=f(x),$ find ${f}^{'}(a)$ using ${f}^{'}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .

$f(x)=\frac{1}{{x}^{3}},a=1$

답 쓰고 채점

풀이 보기

분수식은 먼저 통분하고, $0/0$ 꼴이 되면 인수분해해서 $x-1$ 을 약분해요.

1
정의 식에 대입해요. $f(1)=1$ 이므로 $f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x^3}-1}{x-1}$
2
분자를 통분해요. $\dfrac{1}{x^3}-1=\dfrac{1-x^3}{x^3}$ 이므로 $\frac{1-x^3}{x^3(x-1)}$ 이 돼요. 그대로 $x=1$ 을 넣으면 $\frac00$ 꼴이라 더 정리해야 해요.
3
인수분해로 약분해요. $1-x^3=-(x-1)(x^2+x+1)$ 이므로 $\frac{-(x-1)(x^2+x+1)}{x^3(x-1)}=-\frac{x^2+x+1}{x^3}\quad(x\neq 1)$
4
극한값을 구해요. $x\to 1$ 이면 $-\dfrac{1+1+1}{1}=-3$ 이에요. 그러므로 $f'(1)=-3$ 이에요.

답

$-3$

자주 하는 실수

$1-x^3$ 의 부호를 잘못 처리해 답의 부호가 바뀌는 실수가 많아요. $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ 에서 부호를 확인하세요.

원본 교재 풀이(영어)

$-3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.2절 · 8번

# 평균변화율과 미분계수계산보통

7.OpenStax 1권 · 3.1절 · 37번우리말 풀이

[계산기 사용] 다음 위치함수 $y=s(t)$ 로 직선 위를 움직이는 물체가 있어요. 여기서 $t$ 는 초, $s$ 는 미터 단위예요. 다음을 구하세요.

a. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지의 평균속도를 간단히 나타낸 식 b. $t=2$ 와 $t=2+h$ 사이의 평균속도. 단, (i) $h=0.1$ , (ii) $h=0.01$ , (iii) $h=0.001$ , (iv) $h=0.0001$ c. a의 결과를 이용해 $t=2$ 초에서의 순간속도를 어림하기

$s(t)=2t^3+3$

영어 원문 보기

[T] For the following position functions $y=s(t),$ an object is moving along a straight line, where $t$ is in seconds and $s$ is in meters. Find

a. the simplified expression for the average velocity from $t=2$ to $t=2+h;$ b. the average velocity between $t=2$ and $t=2+h,$ where $\text{(i)}\,h=0.1,$ $\text{(ii)}\,h=0.01,$ $\text{(iii)}\,h=0.001,$ and $\text{(iv)}\,h=0.0001;$ and c. use the answer from a. to estimate the instantaneous velocity at $t=2$ second.

$s(t)=2{t}^{3}+3$

풀이 보기

평균속도는 (위치의 변화량)÷(걸린 시간)이고, 시간 간격 $h$ 를 0에 가깝게 하면 순간속도(미분계수)에 가까워져요.

1
평균속도의 식을 세워요. 평균속도는 위치가 얼마나 변했는지를 걸린 시간으로 나눈 값이에요. $t=2$ 에서 $t=2+h$ 까지 걸린 시간은 $h$ 이므로 $\frac{s(2+h)-s(2)}{h}$ 를 계산하면 돼요. 먼저 $s(2)=2\cdot 2^3+3=19$ 예요.
2
$s(2+h)$ 를 전개해요. $(2+h)^3=8+12h+6h^2+h^3$ 이므로 $s(2+h)=2(8+12h+6h^2+h^3)+3=19+24h+12h^2+2h^3$ 예요. 그러면 $s(2+h)-s(2)=24h+12h^2+2h^3$ 이에요.
3
$h$ 로 나누어 간단히 해요. 분자의 모든 항에 $h$ 가 들어 있으니 약분할 수 있어요. $\frac{24h+12h^2+2h^3}{h}=24+12h+2h^2=2(h^2+6h+12)$ 이것이 a의 답이에요.
4
b: $h$ 값을 차례로 넣어요. $2(h^2+6h+12)$ 에 대입하면
- $h=0.1$ : $2(0.01+0.6+12)=25.22$ (m/s)
- $h=0.01$ : $2(0.0001+0.06+12)=24.1202\approx 24.12$ (m/s)
- $h=0.001$ : $24.012\approx 24.01$ (m/s)
- $h=0.0001$ : $24.0012\approx 24.00$ (m/s)
5
c: 값이 어디로 다가가는지 봐요. $h$ 가 작아질수록 평균속도가 $24$ 에 가까워져요. 식으로도 $h\to 0$ 이면 $2(h^2+6h+12)\to 2\cdot 12=24$ 예요. 그러므로 $t=2$ 초의 순간속도는 $24$ m/s 예요.

답

a. $2(h^2+6h+12)$ b. (i) $25.22$ m/s (ii) $24.12$ m/s (iii) $24.01$ m/s (iv) $24$ m/s c. $24$ m/s

자주 하는 실수

$(2+h)^3$ 을 $8+h^3$ 으로 잘못 전개하는 실수가 많아요. $12h+6h^2$ 항을 꼭 챙기세요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $2({h}^{2}+6h+12);$ b. $\text{(i)}\,25.22$ m/s, $\text{(ii)}\,24.12$ m/s, $\text{(iii)}\,24.01$ m/s, $\text{(iv)}\,24$ m/s; c. $24$ m/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 25번

# 평균변화율과 미분계수활용보통

8.OpenStax 1권 · 3.1절 · 41번우리말 풀이

다음 문제에서 미분계수의 정의(극한식)를 이용해, 주어진 각 함수가 $x=a$ 에서 도함수가 존재하지 않음을 보이세요.

$f(x)=x^{1/3},\ x=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, use the limit definition of derivative to show that the derivative does not exist at $x=a$ for each of the given functions.

$f(x)={x}^{1/3},x=0$

풀이 보기

미분계수의 정의 식을 쓴 극한이 한 값으로 정해지지 않고 $\infty$ 로 커지면 미분계수가 존재하지 않아요.

1
정의 식을 써요. $x=0$ 에서의 미분계수는 $f(0)=0$ 이므로 $f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{x^{1/3}}{x}$ 이 극한이 존재하는지 보면 돼요.
2
식을 정리해요. $\dfrac{x^{1/3}}{x}=x^{1/3-1}=x^{-2/3}=\dfrac{1}{x^{2/3}}$ 예요.
3
좌극한을 구해요. $x\to 0^-$ 일 때 $x^{2/3}=\left(x^{1/3}\right)^2$ 은 항상 양수이면서 $0$ 에 가까워지므로 $\dfrac{1}{x^{2/3}}\to\infty$ 예요. 우극한도 같은 이유로 $\infty$ 예요.
4
결론을 내려요. 극한이 유한한 값이 아니라 $\infty$ 로 발산하므로 $f'(0)$ 은 존재하지 않아요. 그래프로 보면 $x=0$ 에서 접선이 $y$ 축과 나란한 수직선이 되어 기울기를 정할 수 없는 거예요.

답

$\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{x^{1/3}-0}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^{2/3}}=\infty$ 이므로 $f'(0)$ 은 존재하지 않는다

자주 하는 실수

$x^{1/3}$ 이 $x=0$ 에서 연속이라서 미분도 된다고 생각하는 실수가 많아요. 연속이어도 미분가능하지 않을 수 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

$\lim_{x\to {0}^{-}}\frac{{x}^{1/3}-0}{x-0}=\lim_{x\to {0}^{-}}\frac{1}{{x}^{2/3}}=\infty$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.7절 · 10번

# 미분가능성과 연속성증명·논술보통

9.OpenStax 1권 · 3.2절 · 12번우리말 풀이

다음 문제에서 $y=f(x)$ 의 그래프를 이용해 도함수 $f'(x)$ 의 그래프를 그려 보세요.

함수 f(x)는 (−1.5, 20) 근처에서 시작해 감소하여 (0, 10)을 지나는데 이곳에서 기울기가 0인 것처럼 보인다. 이어서 계속 감소하여 (1.7, 0)을 지나 (3, −17)에서 최솟값을 갖고, 그 뒤 빠르게 증가하여 (3.8, 0)을 지나 (4, 20)에 이른다.

영어 원문 보기

For the following exercises, use the graph of $y=f(x)$ to sketch the graph of its derivative ${f}^{'}(x).$

The function f(x) starts at (−1.5, 20) and decreases to pass through (0, 10), where it appears to have a derivative of 0. Then it further decreases, passing through (1.7, 0) and achieving a minimum at (3, −17), at which point it increases rapidly through (3.8, 0) to (4, 20).

풀이 보기

$f$ 의 그래프에서 각 점의 접선의 기울기가 곧 $f'(x)$ 의 값이에요. 기울기를 읽어 점으로 찍으면 도함수 그래프가 돼요.

1
기울기가 0인 곳을 먼저 찾아요. 도함수의 값은 접선의 기울기예요. 그래프를 보면 $x=0$ 근처(높이 10)에서 평평하게 눌려 있고, $x=3$ 에서 가장 낮아요(극솟점). 따라서 $f'(0)=0$ , $f'(3)=0$ 이에요. 즉 $f'$ 의 그래프는 $x=0$ 과 $x=3$ 에서 $x$ 축과 만나요.
2
부호를 구간별로 살펴요. $x<3$ 에서는 (평평한 $x=0$ 을 제외하고) $f$ 가 계속 내려가므로 기울기가 음수, 즉 $f'(x)<0$ 이에요. $x=0$ 에서는 0이 되지만 앞뒤 모두 음수라서 $x$ 축에 닿기만 하고 통과하지 않아요. $x>3$ 에서는 $f$ 가 올라가므로 $f'(x)>0$ 이에요.
3
크기를 어림해요. 왼쪽 끝 $x=-1.5$ 근처에서는 내려가는 정도가 아주 가팔라서 $f'$ 는 큰 음수예요. 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 기울기가 완만해져 $x=0$ 에서 0이 돼요. 그 뒤 다시 가팔라져서 $x=2$ 근처에서 가장 가파르게 내려가므로 $f'$ 는 여기서 가장 작은 값(약 $-16$ )을 가져요. 이후 기울기가 완만해져 $x=3$ 에서 0이 되고, 그 뒤로는 양수로 빠르게 커져요.
4
그래프를 이어요. 위 점들을 매끄럽게 이으면 $f'$ 의 그래프는 '왼쪽 위에서 음수로 내려오다가 $x=0$ 에서 $x$ 축에 닿고, $x=2$ 근처에서 최저가 되었다가 $x=3$ 에서 $x$ 축을 통과해 위로 올라가는' 삼차함수 모양이에요.

답

$f'$ 의 그래프는 $x=0$ 에서 $x$ 축에 닿고(접하고), $x=2$ 근처에서 최솟값 약 $-16$ , $x=3$ 에서 $x$ 축을 지나 위로 올라가는 곡선

자주 하는 실수

$f$ 의 값이 큰 곳에서 $f'$ 도 크다고 생각하는 실수가 많아요. $f'$ 는 높이가 아니라 기울기예요.

원본 교재 풀이(영어)

The function starts in the third quadrant and increases to touch the origin, then decreases to a minimum at (2, −16), before increasing through the x axis at x = 3, after which it continues increasing.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 8번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석보통

10.OpenStax 1권 · 3.2절 · 36번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 $f(x)$ 의 그래프를 그리세요. 도함수 $f'(x)$ 를 구한 뒤 계산기로 $f'(x)$ 의 그래프도 그리세요.

[계산기 사용] $f(x)=x^3+1$

영어 원문 보기

For the following exercises, use a calculator to graph $f(x).$ Determine the function ${f}^{'}(x),$ then use a calculator to graph ${f}^{'}(x).$

[T] $f(x)={x}^{3}+1$

풀이 보기

$x^n$ 의 도함수는 $nx^{n-1}$ 이고, 상수의 도함수는 0이에요.

1
도함수를 구해요. $x^3$ 은 $3x^2$ 으로 미분되고, 상수 $1$ 은 미분하면 $0$ 이에요. 따라서 $f'(x)=3x^2+0=3x^2$
2
$f$ 의 그래프를 생각해요. $y=x^3+1$ 은 $y=x^3$ 의 그래프를 위로 1만큼 평행이동한 곡선이에요. 위로 옮겨도 기울기는 변하지 않으므로 $f'$ 가 $x^3$ 의 도함수와 같은 것과 맞아요.
3
$f'$ 의 그래프를 생각해요. $y=3x^2$ 은 꼭짓점이 원점인 아래로 볼록한 포물선이에요. $y=x^2$ 보다 3배 가파르게 올라가요. 또 $f'(0)=0$ 이어서 $f$ 는 $x=0$ 에서 접선이 수평이고(그림에서 평평하게 눌린 부분), $f'\ge 0$ 이므로 $f$ 는 늘 증가해요. 주어진 그림에서도 점선(포물선)이 $f'$ 이고 실선이 $f$ 예요.

답

$f'(x)=3x^2$ (그래프: 원점을 꼭짓점으로 하는 아래로 볼록한 포물선)

자주 하는 실수

상수항 $1$ 이 미분 후에도 남는다고 착각하는 실수가 있어요. 상수의 도함수는 0이에요.

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=3{x}^{2}$

The function f(x) starts is the graph of the cubic function shifted up by 1. The function f’(x) is the graph of a parabola that is slightly steeper than the normal squared function.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.2절 · 12번

# 도함수의 뜻그래프·표 해석기본

11.OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번우리말 풀이

다음 문제에서 각 함수의 $f'(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=x^2\left(\frac{2}{x^2}+\frac{5}{x^3}\right)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find ${f}^{'}(x)$ for each function.

$f(x)={x}^{2}\left(\frac{2}{{x}^{2}}+\frac{5}{{x}^{3}}\right)$

풀이 보기

곱의 미분법을 쓰기 전에 식을 먼저 정리하면 훨씬 간단해져요.

1
식부터 정리해요. 곱의 미분법을 바로 써도 되지만, 괄호를 풀면 훨씬 쉬워요. $x^2$ 를 각 항에 곱하면 $f(x)=x^2\cdot\frac{2}{x^2}+x^2\cdot\frac{5}{x^3}=2+\frac{5}{x}\quad(x\neq 0)$
2
미분하기 좋은 꼴로 써요. $\dfrac{5}{x}=5x^{-1}$ 이므로 $f(x)=2+5x^{-1}$ 이에요.
3
항별로 미분해요. 상수 $2$ 의 도함수는 $0$ , $5x^{-1}$ 의 도함수는 $5\cdot(-1)x^{-2}=-5x^{-2}$ 예요. 그러므로 $f'(x)=-\frac{5}{x^2}$

답

$f'(x)=-\dfrac{5}{x^2}$

자주 하는 실수

지수가 음수일 때 $x^{-1}$ 의 도함수를 $-x^{0}$ 으로 잘못 계산해요. 지수에서 1을 빼면 $x^{-2}$ 가 돼요.

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=\frac{-5}{{x}^{2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 38번

# 다항함수의 미분법계산기본

12.OpenStax 1권 · 3.3절 · 16번우리말 풀이

주어진 점에서 함수의 그래프에 접하는 접선 $T(x)$ 의 방정식을 구하세요. 그래프 계산기로 함수와 접선을 그려 보세요.

[계산기 사용] $y=\frac{2}{x}-\frac{3}{{x}^{2}}$ , 점 $(1,-1)$

영어 원문 보기

For the following exercises, find an equation of the tangent line $T(x)$ to the graph of the given function at the indicated point. Use a graphing calculator to graph the function and the tangent line.

[T] $y=\frac{2}{x}-\frac{3}{{x}^{2}}$ at $(1,-1)$

풀이 보기

접선은 (점의 좌표)와 (그 점의 미분계수 = 기울기) 두 가지만 있으면 정해져요.

1
분수식을 음의 거듭제곱으로 바꾸면 미분이 쉬워요.

$y=2x^{-1}-3x^{-2}$
2
$(x^n)'=nx^{n-1}$ 로 미분해요.

$y'=-2x^{-2}+6x^{-3}=-\frac{2}{x^2}+\frac{6}{x^3}$
3
$x=1$ 에서의 기울기는 $y'(1)=-2+6=4$ 예요.
4
점 $(1,-1)$ 을 지나고 기울기가 $4$ 인 직선이에요.

$T(x)=4(x-1)-1=4x-5$

그래프에서도 곡선이 $(1,-1)$ 에서 직선 $T(x)$ 에 닿고, 이 직선이 $y$ 절편 $-5$ 를 지나는 것을 확인할 수 있어요.

답

$T(x)=4x-5$

자주 하는 실수

기울기를 구할 때 함숫값 $y(1)=-1$ 을 기울기로 착각해요. 기울기는 도함수의 값이에요.

원본 교재 풀이(영어)

The graph y is a two crescents with the crescent in the third quadrant sloping gently from (−3, −1) to (−1, −5) and the other crescent sloping more sharply from (0.8, −5) to (3, 0.2). The straight line T(x) is drawn through (0, −5) with slope 4.

$T(x)=4x-5$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 32번

# 접선의 방정식그래프·표 해석기본

13.OpenStax 1권 · 3.3절 · 32번우리말 풀이

$f(x)=2x^3+4x^2-5x-3$ 의 그래프에서 $x=-1$ 인 점에서의 접선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of the tangent line to the graph of $f(x)=2{x}^{3}+4{x}^{2}-5x-3$ at $x=-1.$

답 쓰고 채점

풀이 보기

접점의 좌표와 그 점의 미분계수(기울기)만 알면 접선이 정해져요.

1
접점의 좌표를 구해요. $x=-1$ 일 때 $f(-1)=2(-1)^3+4(-1)^2-5(-1)-3=-2+4+5-3=4$ 이므로 접점은 $(-1,\,4)$ 예요.
2
기울기를 구해요. 접선의 기울기는 미분계수 $f'(-1)$ 이에요. 먼저 도함수는 $f'(x)=6x^2+8x-5$ 이고, $x=-1$ 을 넣으면 $f'(-1)=6-8-5=-7$ 이에요.
3
직선의 방정식을 세워요. 점 $(-1,4)$ 를 지나고 기울기가 $-7$ 인 직선은 $y-4=-7(x+1)\ \Rightarrow\ y=-7x-3$

답

$y=-7x-3$

자주 하는 실수

접점의 $y$ 좌표를 구하지 않고 $f'(-1)$ 만으로 직선을 쓰려는 실수가 있어요. 점과 기울기가 둘 다 필요해요.

원본 교재 풀이(영어)

$y=-7x-3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 17번

# 접선의 방정식계산보통

14.OpenStax 1권 · 3.3절 · 38번우리말 풀이

다음 조건을 만족하는 이차다항식을 구하세요. $f(1)=5,\ f'(1)=3,\ f''(1)=-6$

영어 원문 보기

For the following exercises,

a. evaluate ${f}^{'}(a),$ and b. graph the function $f(x)$ and the tangent line at $x=a.$

Find a quadratic polynomial such that $f(1)=5,{f}^{'}(1)=3$ and ${f}^{''}(1)=-6.$

답 쓰고 채점

풀이 보기

이차식을 $ax^2+bx+c$ 로 놓고 $f''$ , $f'$ , $f$ 순서로 조건을 대입하면 $a$ , $b$ , $c$ 가 차례로 정해져요.

1
구하려는 함수를 $f(x)=ax^2+bx+c$ 로 놓아요. 미분하면

$f'(x)=2ax+b,\qquad f''(x)=2a$
2
가장 간단한 조건인 $f''(1)=-6$ 부터 써요. $f''$ 는 상수 $2a$ 이므로 $2a=-6$ , 즉 $a=-3$ 이에요.
3
$f'(1)=2a+b=3$ 이고 $a=-3$ 이므로 $-6+b=3$ , 즉 $b=9$ 예요.
4
$f(1)=a+b+c=5$ 에서 $-3+9+c=5$ 이므로 $c=-1$ 이에요.

$f(x)=-3x^2+9x-1$

답

$f(x)=-3x^{2}+9x-1$

자주 하는 실수

$f''(1)=-6$ 을 $a=-6$ 으로 읽어요. $f''=2a$ 이므로 $a=-3$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

$y=-3{x}^{2}+9x-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3장 복습 · 9번

# 다항함수의 미분법계산보통

15.OpenStax 1권 · 3.4절 · 6번우리말 풀이

위치 함수 $s(t)=t^2-3t-4$ 는 차고에서 후진해 나온 뒤 일직선으로 달리는 자동차 뒤쪽의 위치를 나타내요. $s$ 의 단위는 피트, $t$ 의 단위는 초예요. 여기서 $s(t)=0$ 은 자동차 뒤쪽이 차고 문에 있는 순간이고, $s(0)=-4$ 는 처음 위치가 차고 안쪽 4피트라는 뜻이에요.

a. $s(t)=0$ 일 때 자동차의 속도를 구하세요. b. $s(t)=14$ 일 때 자동차의 속도를 구하세요.

영어 원문 보기

The position function $s(t)={t}^{2}-3t-4$ represents the position of the back of a car backing out of a driveway and then driving in a straight line, where $s$ is in feet and $t$ is in seconds. In this case, $s(t)=0$ represents the time at which the back of the car is at the garage door, so $s(0)=-4$ is the starting position of the car, 4 feet inside the garage.

a. Determine the velocity of the car when $s(t)=0.$ b. Determine the velocity of the car when $s(t)=14.$

풀이 보기

속도는 위치를 시간에 대해 미분한 값이에요. 먼저 그 위치가 되는 시각 $t$ 를 찾고 속도에 넣어요.

1
위치를 미분하면 속도예요. $v(t)=s'(t)=2t-3$ 이에요.
2
(a) $s(t)=0$ 인 시각을 찾아요. $t^2-3t-4=(t-4)(t+1)=0$ 에서 $t=4$ 또는 $t=-1$ 이에요. 시간은 $0$ 이상이어야 하므로 $t=4$ 예요. 속도는 $v(4)=2\cdot4-3=5$ (피트/초)예요.
3
(b) $s(t)=14$ 이면 $t^2-3t-18=0$ 이고, $(t-6)(t+3)=0$ 이므로 $t=6$ (음수인 $t=-3$ 은 버려요). 속도는 $v(6)=2\cdot6-3=9$ (피트/초)예요.

답

(a) $5\text{ 피트/초}$ (b) $9\text{ 피트/초}$

자주 하는 실수

방정식을 풀 때 나온 음수 시각 $t$ 를 버리지 않고 그대로 속도에 넣는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

a. 5 ft/s b. 9 ft/s

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.4절 · 20번

# 속도와 가속도활용기본

16.OpenStax 1권 · 3.4절 · 12번우리말 풀이

어떤 디지털 시계 라디오의 가격 $p$ (달러)와 수요량 $x$ 사이의 관계가 $p=10-0.001x$ 로 주어져요.

a. 수입 함수 $R(x)$ 를 구하세요. b. 한계수입 함수를 구하세요. c. $x=2000$ 과 $x=5000$ 에서의 한계수입을 구하세요.

영어 원문 보기

The price $p$ (in dollars) and the demand $x$ for a certain digital clock radio is given by the price–demand function $p=10-0.001x.$

a. Find the revenue function $R(x).$ b. Find the marginal revenue function. c. Find the marginal revenue at $x=2000$ and $5000.$

풀이 보기

수입은 (가격)×(판매량)이고, 한계수입은 수입 함수를 미분한 값(한 개 더 팔 때 늘어나는 수입)이에요.

1
(a) 수입은 가격에 판매량을 곱한 값이에요. $R(x)=x\cdot p=x(10-0.001x)=10x-0.001x^2$ 이에요.
2
(b) 한계수입은 수입 함수의 도함수예요. $R'(x)=10-0.002x$ 예요.
3
(c) 값을 대입해요. $R'(2000)=10-0.002\cdot2000=6$ , $R'(5000)=10-0.002\cdot5000=0$ 이에요. 즉 2000개를 판매한 시점에서는 한 개 더 팔면 수입이 약 6달러 늘고, 5000개에서는 더 늘지 않아요.

답

(a) $R(x)=10x-0.001x^2$ (b) $R'(x)=10-0.002x$ (c) $x=2000$ 에서 $6$ , $x=5000$ 에서 $0$ (단위: 달러/개)

자주 하는 실수

수입 $R(x)$ 를 구하지 않고 가격 $p$ 를 그대로 미분해 $-0.001$ 이라고 답하는 실수가 있어요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $R(x)=10x-0.001{x}^{2}$ b. ${R}^{'}(x)=10-0.002x$ c. $6 per item, $0 per item

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.3절 · 8번

# 다항함수의 미분법활용기본

17.OpenStax 1권 · 3.4절 · 18번우리말 풀이

[계산기 사용]

a. 계산기나 컴퓨터 프로그램으로 인구를 가장 잘 나타내는 일차함수(최적 직선)를 구하세요. b. a에서 구한 식을 미분하고, 그 물리적 의미를 설명하세요. c. 그 식의 이계도함수를 구하고, 그 물리적 의미를 설명하세요.

영어 원문 보기

[T]

a. Using a calculator or a computer program, find the best-fit linear function to measure the population. b. Find the derivative of the equation in a. and explain its physical meaning. c. Find the second derivative of the equation and explain its physical meaning.

풀이 보기

일차함수 $P(t)=at+b$ 의 도함수는 기울기 $a$ 하나뿐이고, 이계도함수는 $0$ 이에요.

1
(a) 문제의 자료 표를 계산기에 입력해 일차 회귀(최소제곱 직선)를 구해요. 결과는 $P(t)=0.03983t+0.4280$ 이에요.
2
(b) 일차함수 $at+b$ 를 미분하면 상수 $a$ 예요. $P'(t)=0.03983$ 이고, 이 값은 양수이므로 인구가 시간에 따라 증가하고 있다는 뜻이에요. 증가 속도는 단위 시간당 약 $0.03983$ 이에요.
3
(c) 상수를 미분하면 $0$ 이므로 $P''(t)=0$ 이에요. 인구가 증가하는 속도가 변하지 않고 일정하다는 뜻이에요.

답

(a) $P(t)=0.03983t+0.4280$ (b) $P'(t)=0.03983$ , 인구가 증가하고 있다 (c) $P''(t)=0$ , 증가 속도가 일정하다

자주 하는 실수

$P'(t)$ 가 양수이니 $P''(t)$ 도 양수라고 착각해요. 이계도함수는 증가 속도가 변하는 정도이고, 직선이면 $0$ 이에요.

원본 교재 풀이(영어)

a. $P(t)=0.03983+0.4280$ b. ${P}^{'}(t)=0.03983.$ The population is increasing. c. ${P}^{''}(t)=0.$ The rate at which the population is increasing is constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.1절 · 1번

# 평균변화율과 미분계수활용보통

18.OpenStax 1권 · 4.3절 · 4번우리말 풀이

임계점을 찾을 때 $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점도 함께 살펴야 하는 이유를 설명하세요. 그래프를 그려 설명을 뒷받침하세요.

영어 원문 보기

When you are checking for critical points, explain why you also need to determine points where $f'(x)$ is undefined. Draw a graph to support your explanation.

풀이 보기

극값은 접선이 수평인 곳에서만 생기는 것이 아니에요. 그래프가 뾰족하게 꺾여 미분이 안 되는 점에서도 극값이 생길 수 있어요.

1
극값 후보를 정리해요. 미분가능한 함수에서 극값이 생기면 그 점에서 $f'(x)=0$ 이에요. 하지만 이것은 '미분가능할 때'만 성립하는 이야기예요. 미분이 안 되는 점은 이 방법으로 걸러 낼 수 없어요.
2
예를 들어 볼게요. $f(x)=|x|$ 의 그래프는 $x=0$ 에서 뾰족한 V자 모양이에요. $x=0$ 에서 좌미분계수는 $-1$ , 우미분계수는 $1$ 이라 $f'(0)$ 이 존재하지 않아요. 그런데 $f(0)=0$ 은 모든 $x$ 에서의 값 중 가장 작은 값, 즉 극솟값(최솟값)이에요.
3
결론을 말해요. 만약 $f'(x)=0$ 인 점만 조사하면 $y=|x|$ 의 극솟점 $x=0$ 을 놓쳐요(그 점에서 $f'(x)=0$ 이 되는 곳은 없으니까요). 그래서 $f'(x)=0$ 인 점뿐 아니라 $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점까지 모두 임계점 후보로 확인해야 해요.

답

예시 답: $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점에서도 극값이 생길 수 있다. 예를 들어 $f(x)=|x|$ 는 $x=0$ 에서 미분불가능하지만 극솟값 $0$ 을 갖는다. 그러므로 $f'(x)=0$ 인 점뿐 아니라 $f'$ 가 정의되지 않는 점도 조사해야 한다.

자주 하는 실수

극값은 항상 $f'(x)=0$ 인 점에서만 생긴다고 외우는 실수가 많아요.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.3절 · 8번

# 극대와 극소개념 확인보통

19.OpenStax 1권 · 4.3절 · 32번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 정의역에서 함수의 극값 또는 최댓값·최솟값을 구하세요.

구간 $(0,1)$ 에서 $y=\dfrac{1}{x-x^2}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the local and/or absolute extrema for the functions over the specified domain.

$y=\frac{1}{(x-{x}^{2})}$ over $(0,1)$

풀이 보기

분모가 가장 클 때 분수는 가장 작아져요. 그래서 분모 $x-x^2$ 의 최댓값을 찾아도 되고, 도함수가 0인 곳을 찾아도 돼요.

1
분모를 살펴요. $0<x<1$ 에서 $x-x^2=x(1-x)>0$ 이라서 $y>0$ 이에요. 분모를 완전제곱 꼴로 바꾸면 $x-x^2=-\left(x-\tfrac12\right)^2+\tfrac14$ 이므로 $x=\tfrac12$ 일 때 분모가 최대 $\tfrac14$ 예요.
2
함수의 값을 구해요. 분모가 가장 클 때 $y$ 가 가장 작으므로 $x=\tfrac12$ 에서 $y=\dfrac{1}{1/4}=4$ 가 최솟값이에요. (도함수로도 확인해요. $y'=-\dfrac{1-2x}{(x-x^2)^2}$ 이고 $x<\tfrac12$ 에서 음수, $x>\tfrac12$ 에서 양수라서 $x=\tfrac12$ 에서 극소예요.)
3
최댓값이 있는지 봐요. $x\to0^+$ 또는 $x\to1^-$ 이면 분모가 $0$ 에 가까워져 $y\to\infty$ 예요. 값이 한없이 커지므로 최댓값은 없어요.

답

$x=\dfrac12$ 에서 절대(최)솟값 $y=4$ , 최댓값은 없다

자주 하는 실수

열린 구간에서는 끝점을 대입할 수 없어요. 끝으로 갈 때의 극한을 따져 최댓값이 없음을 말해야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

Absolute minimum: $x=\frac{1}{2},$ $y=4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.7절 · 25번

# 최댓값·최솟값과 최적화계산보통

20.OpenStax 1권 · 4.4절 · 10번우리말 풀이

다음 문제에서 계산기로 함수의 그래프를 그리고, 양 끝점을 잇는 할선을 그려 보세요. $f'(c)(b-a)=f(b)-f(a)$ 를 만족하는 점 $c$ 의 개수를 어림하세요.

[계산기 사용] 구간 $[-1,1]$ 에서 $y=3x^3+2x+1$

영어 원문 보기

For the following exercises, graph the functions on a calculator and draw the secant line that connects the endpoints. Estimate the number of points $c$ such that ${f}^{'}(c)(b-a)=f(b)-f(a).$

[T] $y=3{x}^{3}+2x+1$ over $[-1,1]$

답 쓰고 채점

점

풀이 보기

평균값 정리는 구간의 평균변화율과 같은 기울기(도함수 값)를 갖는 점 $c$ 가 있다는 정리예요. 방정식 $f'(c)=\text{평균변화율}$ 을 풀면 개수까지 알 수 있어요.

1
평균변화율을 구해요. $f(1)=3+2+1=6$ , $f(-1)=-3-2+1=-4$ 이므로 $\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\frac{6-(-4)}{2}=5$ 즉 양 끝점을 잇는 할선의 기울기는 $5$ 예요.
2
도함수가 5가 되는 곳을 찾아요. $f'(x)=9x^2+2$ 이므로 $f'(c)=5$ 를 풀면 $9c^2+2=5\ \Rightarrow\ c^2=\tfrac13\ \Rightarrow\ c=\pm\frac{1}{\sqrt3}\approx\pm0.577$
3
구간 안에 있는지 확인해요. 두 값 모두 $-1<c<1$ 이므로 조건에 맞아요. 따라서 점 $c$ 는 모두 2개예요. 그래프로 보면 할선과 나란한 접선을 곡선의 왼쪽과 오른쪽에서 각각 한 번씩 그을 수 있다는 뜻이에요.

답

$2$ 개 ( $c=\pm\dfrac{1}{\sqrt3}$ )

자주 하는 실수

평균값 정리의 $c$ 는 구간 안의 점이어야 해요. 방정식의 해가 구간 밖이면 버려야 해요.

원본 교재 풀이(영어)

2 points

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.4절 · 20번

# 롤의 정리와 평균값 정리계산보통

미분 전체 문제