미분방정식 전체 연습문제

1.CLP-1 · 3.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 중 $x$ 에 대한 미지 함수 $y$ 의 미분방정식인 것을 고르세요. $\text{(a) } y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \qquad\text{(b) } \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=3\left[y-5\right] \qquad\text{(c) } y=3\left[y-\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}\right] \qquad\text{(d) } e^x=e^y+1 \qquad\text{(e) } y=10e^x$

영어 원문 보기

Which of the following is a differential equation for an unknown function $y$ of $x$ ? $\text{(a) } y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \qquad\text{(b) } \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=3\left[y-5\right] \qquad\text{(c) } y=3\left[y-\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}\right] \qquad\text{(d) } e^x=e^y+1 \qquad\text{(e) } y=10e^x$

정답·풀이 보기

이 절의 처음에서 교재는 “미분방정식은 미지 함수의 도함수를 포함하는, 미지 함수에 대한 방정식이다."라고 말한다. 여기서 미지 함수는 $y$ 이므로, 미분방정식은 $y$ 와 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 를 관련짓는 방정식이다. 이는 (a)와 (b)에는 해당하지만, (c), (d), (e)에는 해당하지 않는다.

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=1$ 임에 주의하자. 이것은 $x$ 를 $x$ 에 대해 미분한 도함수이다.

원본 교재 풀이(영어)

In the beginning of this section, the text says “A differential equation is an equation for an unknown function that involves the derivative of the unknown function." Our unknown function is $y$ , so a differential equation is an equation that relates $y$ and $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ . This applies to (a) and (b), but not (c), (d), or (e).

Note that $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=1$ : this is the derivative of $x$ with respect to $x$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.8절 · 8번

# 지수적 증가와 감소계산기본자동 분류

2.CLP-1 · 3.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

어떤 시료에 처음에 방사성 동위원소가 $C$ g 들어 있고, 시각 $t$ 에서 시료에 남아 있는 방사성 동위원소의 양이 $Q(t)=Ce^{-kt}$ 으로 주어진다고 하자. 여기서 $k$ 는 양의 상수이다. $Q(t)=0$ 이 되는 때는 언제인가요?

영어 원문 보기

Suppose a sample starts out with $C$ grams of a radioactive isotope, and the amount of the radioactive isotope left in the sample at time $t$ is given by $Q(t)=Ce^{-kt}$ for some positive constant $k$ . When will $Q(t)=0$ ?

정답·풀이 보기

구해야 하는 것은 다음이 성립하는 때이다.

$\begin{aligned} Q(t)&=0 \\ \text{즉,} \\ Ce^{-kt}&=0 \end{aligned}$

$C=0$ 이면 모든 $t$ 에 대해 이 등식이 성립한다. 처음부터 동위원소가 없었고, 앞으로도 붕괴하지 않은 동위원소가 영원히 없을 것이다.

$C>0$ 이면 $e^{-kt}>0$ 이므로 $Q(t)>0$ 이다. 따라서 어떤 $t$ 값에 대해서도 $Q(t)$ 는 0이 되지 않는다. (다만 $t$ 가 점점 커질수록 $Q(t)$ 는 0에 점점 가까워진다.)

참고: 이 마지막 결과는 다소 께름칙하다. 분명 어느 시점에는 마지막 원자가 붕괴했을 것이기 때문이다. 우리가 사용한 미분방정식은 $Q$ 가 연속적으로 변한다고 가정하는 모형이다. 이 모형은 원자의 수가 매우 많을 때에만 좋은 근사가 된다. 실제로는 거의 언제나 그러하다.

원본 교재 풀이(영어)

What we're asked to find is when

$\begin{aligned} Q(t)&=0 \\ \text{That is,} \\ Ce^{-kt}&=0 \end{aligned}$

If $C=0$ , then this is the case for all $t$ . There was no isotope to begin with, and there will continue not being any undecayed isotope forever.

If $C>0$ , then since $e^{-kt}>0$ , also $Q(t)>0$ : so $Q(t)$ is never 0 for any value of $t$ . (But as $t$ gets bigger and bigger, $Q(t)$ gets closer and closer to 0.)

Remark: The last result is somewhat disturbing: surely at some point the last atom has decayed. The differential equation we use is a model that assumes $Q$ runs continuously. This is a good approximation only when there is a very large number of atoms. In practice, that is almost always the case.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.3절 · 1번

# 지수적 증가와 감소계산기본자동 분류

3.CLP-2 · 2.4절 · 1번대학 수준우리말 번역

아래는 함수 $y=f(x)$ 와 미분방정식의 짝이다. 각 짝에 대해 그 함수가 미분방정식의 해인지 판단하세요.

$\begin{array}{c|l|l|}\text{ ~} & \text{\textbf{함수}} & \text{\textbf{미분방정식}} \\ \text{ (a)} & y=5(e^x-3x^2-6x-6) & \displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y+15x^2 \\ \text{(b)} & y=\dfrac{-2}{x^2+1} & y'(x)=xy^2 \\ \text{(c)} & y=x^{3/2}+x & \displaystyle\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y \\ \text{}\end{array}$

영어 원문 보기

Below are pairs of functions $y=f(x)$ and differential equations. For each pair, decide whether the function is a solution of the differential equation.

$\begin{array}{c|l|l|}\text{ ~} & \text{\textbf{function}} & \text{\textbf{differential equation}} \\ \text{ (a)} & y=5(e^x-3x^2-6x-6) & \displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y+15x^2 \\ \text{(b)} & y=\dfrac{-2}{x^2+1} & y'(x)=xy^2 \\ \text{(c)} & y=x^{3/2}+x & \displaystyle\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 + \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y \\ \text{}\end{array}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

(c)

정답·풀이 보기

(a) $y=5(e^x-3x^2-6x-6)$ 이면 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 5(e^x-6x-6)$ 이다. 이것이 $y+15x^2$ 과 같은지 확인해 보자.

$\begin{aligned} y+15x^2&=5(e^x-3x^2-6x-6)+15x^2\\ &=5(e^x-3x^2-6x-6+3x^2)\\ &=5(e^x-6x-6)\\ &=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}$

따라서 $y=5(e^x-3x^2-6x-6)$ 은 미분방정식 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y+15x^2$ 의 해가 맞다. (b) $y=\dfrac{-2}{x^2+1}$ 이면 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{4x}{(x+1)^2}$ 이다. 이것이 $xy^2$ 과 같은지 확인해 보자.

$\begin{aligned} xy^2&=x\left(\frac{-2}{x^2+1}\right)^2\\ &=\frac{4x}{(x^2+1)^2}\\ &=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}$

따라서 $y=\dfrac{-2}{x^2+1}$ 은 미분방정식 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy^2$ 의 해가 맞다. (c) $y=x^{3/2}+x$ 이면 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{3}{2}\sqrt{x}+1$ 이다.

$\begin{aligned} \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}+1\right)^2+\frac{3}{2}\sqrt{x}+1\\ &=\frac{9}{4}x+\frac{9}{2}\sqrt{x}+2\\ &\neq \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}$

따라서 $y=x^{3/2}+x$ 는 미분방정식 $\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y$ 의 해가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) If $y=5(e^x-3x^2-6x-6)$ , then $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 5(e^x-6x-6)$ . Let's see whether this is equal to $y+15x^2$ :

$\begin{aligned} y+15x^2&=5(e^x-3x^2-6x-6)+15x^2\\ &=5(e^x-3x^2-6x-6+3x^2)\\ &=5(e^x-6x-6)\\ &=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}$

So, $y=5(e^x-3x^2-6x-6)$ is indeed a solution to the differential equation $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y+15x^2$ . (b) If $y=\dfrac{-2}{x^2+1}$ , then $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{4x}{(x+1)^2}$ . Let's see whether this is equal to $xy^2$ :

$\begin{aligned} xy^2&=x\left(\frac{-2}{x^2+1}\right)^2\\ &=\frac{4x}{(x^2+1)^2}\\ &=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}$

So, $y=\dfrac{-2}{x^2+1}$ is indeed a solution to the differential equation $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy^2$ . (c) If $y=x^{3/2}+x$ , then $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{3}{2}\sqrt{x}+1$ .

$\begin{aligned} \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}+1\right)^2+\frac{3}{2}\sqrt{x}+1\\ &=\frac{9}{4}x+\frac{9}{2}\sqrt{x}+2\\ &\neq \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}$

So, $y=x^{3/2}+x$ is not a solution to the differential equation $\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.3절 · 21번

# 변수분리형 미분방정식계산기본자동 분류

미분방정식 전체 문제